第七節(jié)函數(shù)的圖象

第七節(jié)函數(shù)的圖象學(xué)習(xí)要求:1在實際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈ鐖D象法、列表法、解

析法表示函數(shù)2會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì),解決方程解的個數(shù)與不等式

解的問題1利用描點法作函數(shù)圖象的步驟1確定函數(shù)的定義域2化簡函數(shù)的解析式3討論函數(shù)的性質(zhì)奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值等4描點連線必備知識

·

整合

2圖象變換1平移變換:y=f?y=⑤

fω

;y=f?y=⑥

Af

3對稱變換:y=f?y=⑦

-f

;y=f?y=⑧

f-

;y=f?y=⑨

-f-

2伸縮變換:y=f?y=⑩

f||

;y=f?y=?

|f|

4翻折變換:知識拓展關(guān)于對稱的四個重要結(jié)論:1函數(shù)y=f與y=f2a-的圖象關(guān)于直線=a對稱2函數(shù)y=f與y=2b-f2a-的圖象關(guān)于點a,b中心對稱3若函數(shù)y=f的定義域內(nèi)任意自變量均滿足fa=fa-,則函數(shù)y=f的

圖象關(guān)于直線=a對稱4y=f的圖象關(guān)于直線y=n對稱的圖象是函數(shù)y=2n-f的圖象1判斷正誤正確的打“√”,錯誤的打“?”1當(dāng)∈0,∞時,函數(shù)y=|f|與y=f||的圖象相同2函數(shù)y=af與y=faa>0且a≠1的圖象相同?3函數(shù)y=f與y=-f的圖象關(guān)于原點對稱4若函數(shù)y=f滿足f1=f1-,則函數(shù)f的圖象關(guān)于直線=1對稱?

5將函數(shù)y=f-的圖象向右平移1個單位長度得到函數(shù)y=f--1的圖象?

???√?2新教材人教A版必修第一冊P68例5改編下列圖象是函數(shù)y=?的圖象的是?

C3新教材人教A版必修第一冊P95綜合運用T1改編小明騎車上學(xué),開始時勻

速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時間后,為了趕時間加快速度行駛,與以

上事件吻合得最好的圖象是?

C=2bc的圖象向右平移2個單位長度,再向下平移3個單位長

度,所得圖象的函數(shù)解析式為y=2-2-3,則Ab=2,c=2

Bb=-2,c=-1Cb=2,c=0

Db=-3,c=2C考點一作函數(shù)的圖象關(guān)鍵能力

·

突破

典例1作出下列函數(shù)的大致圖象1y=?;2y=?;3y=|log2-1|;4y=2-2||-1解析(1)易知函數(shù)y=

的定義域為{x|x∈R且x≠-1},y=

=-1+

.由y=

的圖象向左平移1個單位長度,再向下平移1個單位長度即可得到函數(shù)y=

的圖象,如圖①所示.

(2)先作出y=

,x∈[0,+∞)的圖象,然后作其關(guān)于y軸的對稱圖象,再將整個圖象向左平移1個單位長度,即得到y(tǒng)=

的圖象,如圖②所示.

(3)先作出y=log2x的圖象,再將圖象向下平移1個單位長度,保留x軸上方的部

分,將x軸下方的圖象翻折到x軸上方,即得到y(tǒng)=|log2x-1|的圖象,如圖③所示.

(4)y=x2-2|x|-1=

的圖象如圖④所示.

名師點評作函數(shù)圖象的一般方法1直接法:當(dāng)函數(shù)解析式或變形后的解析式是熟悉的函數(shù)時,就可根據(jù)這些

函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點直接作出;2圖象變換法:若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱

得到,則可利用圖象變換作出,并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單

位及解析式的影響作出下列函數(shù)的大致圖象,并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域1y=?;2y=2-4||解析(1)y=

=1+

的圖象如圖所示:

由圖象知函數(shù)在(-∞,2)和(2,+∞)上為減函數(shù).因為

≠0,所以1+

≠1,故值域為(-∞,1)∪(1,+∞).(2)y=x2-4|x|=

作出圖象如圖所示:

由圖象可知函數(shù)在(-∞,-2]和[0,2]上為減函數(shù),在[-2,0]和[2,+∞)上為增函數(shù),當(dāng)x=±2時,y取得最小值-4,故值域為[-4,+∞).考點二函數(shù)圖象的識別角度一由式識圖或由圖辨式典例2

多選題2020山東濰坊模擬函數(shù)f=?的圖象可能是?

ABC解析

函數(shù)f(x)=

,若a=0,則f(x)=

=

,故C中圖象可能;若a>0,則函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(0)=0,故B中圖象可能;若a<0,則x≠±

,故A中圖象可能,故選ABC.角度二借助動點研究函數(shù)的圖象典例3如圖,點是CD的中點,當(dāng)運動時,設(shè)點的面積為y,則函數(shù)y=f的圖象大致

是?

A解析

當(dāng)點P在AB上時,y=

×x×1=

x,0≤x≤1;當(dāng)點P在BC上時,y=S正方形ABCD-S△ADM-S△ABP-S△PCM=-

x+

,1<x≤2;當(dāng)點P在CM上時,y=

×

×1=-

x+

,2<x≤

,所以y=

故選A.名師點評1抓住函數(shù)的性質(zhì),定性分析:1由函數(shù)的定義域判斷圖象的左右位置;由函數(shù)的值域判斷圖象的上下位

置;2由函數(shù)的單調(diào)性判斷圖象的變化趨勢;3由函數(shù)的周期性判斷圖象的

循環(huán)往復(fù);4由函數(shù)的奇偶性判斷圖象的對稱性2抓住函數(shù)的特征,定量計算:從函數(shù)的特征點出發(fā),利用特征點、特殊值的計算分析解決問題12020河南鄭州模擬函數(shù)f=?的部分圖象大致為?

B解析

因為f(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱,且f(-x)=

=-

=

=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,排除選項A、C,f(2)=

=-

sin2,因為

<2<π,所以sin2>0,所以f(2)<0,排除選項D.故選B.22020河北衡水中學(xué)三模如圖所示的是函數(shù)f的部分圖象,則f的解析式

可能是?Af=|sincos|

Bf=sin2cos2Cf=|sin||cos|

Df=sin||cos||B解析

由題圖可知,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,所以f(x)應(yīng)為偶函數(shù),排除A選項;由題圖可知函數(shù)f(x)能取到小于0的值,所以排除C選項;對于D選項,當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)=sinx+cosx=

sin

,而當(dāng)x∈

時,

∈

,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可知D選項不正確,故選B.考點三函數(shù)圖象的應(yīng)用角度一研究函數(shù)的性質(zhì)典例4

2020山東淄博二模已知方程||y|y|=-1表示的曲線為y=f的圖象,

對于函數(shù)y=f有如下結(jié)論:①f在-∞,∞上單調(diào)遞減;②函數(shù)F=f

至少存在一個零點;③y=f||的最大值為1;④若函數(shù)g和f的圖象關(guān)于原

點對稱,則y=g由方程y|y|||=1所確定,其中正確結(jié)論的序號為?A①③

B②③C①④

D②④C解析

當(dāng)x≥0,y≥0時,x2+y2=-1,此方程不存在;當(dāng)x≥0,y<0時,x2-y2=-1,此時圖象為實軸在y軸上的雙曲線的一部分;當(dāng)x<0,y≥0時,y2-x2=-1,此時圖象為實軸在x軸上的雙曲線的一部分;當(dāng)x<0,y<0時,x2+y2=1,此時圖象為以原點為圓心,1為半徑的圓的一部分.畫出y=f(x)的圖象,如圖所示:由圖象可得f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,所以①中結(jié)論正確;函數(shù)y=f(x)的圖象

與直線y=-x沒有交點,即f(x)=f(x)+x沒有零點,所以②中結(jié)論錯誤;由函數(shù)圖象

的對稱性可知③中結(jié)論錯誤;若函數(shù)g(x)和f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,則在x|x|+y|y|=-1中,用-x代替x,用-y代替y,可得y|y|+x|x|=1,所以④中結(jié)論正確.故選C.角度二求不等式的解集典例5

2020河南鄭州一模已知定義在R上的函數(shù)f在-∞,-2上是減函數(shù),

若g=f-2是奇函數(shù),且g2=g0=0,則不等式f≤0的解集是?A-∞,-2]∪∪∪∪[0,∞C解析

g(x)=f(x-2)的圖象是由函數(shù)f(x)的圖象向右平移2個單位長度得到的,且g(2)=g(0)=0,所以f(-4)=g(-2)=-g(2)=0,f(-2)=g(0)=0,f(0)=g(2)=0,畫出f(x)的

大致圖象,如圖所示:

結(jié)合函數(shù)的圖象可知,當(dāng)x≤-4或x≥-2時,xf(x)≤0,故選C.角度三求參數(shù)的取值范圍典例6

2020廣東深圳模擬已知函數(shù)f=?若不等式f-1<0的解集為空集,則實數(shù)的取值范圍是?A2-2?,0]

B2-3?,0]CC解析

因為不等式f(x)-kx+k+1<0的解集為空集,所以不等式f(x)-kx+k+1≥

0恒成立,即f(x)≥k(x-1)-1恒成立.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f(x),y=k(x-1)-1的圖象,如圖所示:

直線y=-1-1過定點A1,-1,當(dāng)直線y=-1-1與y=2≤0的圖象相切時,方程f-1=0有一個實數(shù)

解,可得2=-1-1,即2-1=0,由Δ=2-41=0,可得=2-2?或=22?舍去,由函數(shù)圖象可知使不等式恒成立的實數(shù)的取值范圍是名師點評1利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)對于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象

的函數(shù)是常用的,函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值值域、零點

也常借助于圖象研究,但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對應(yīng)關(guān)系2利用函數(shù)的圖象可解決某些方程和不等式的求解問題,方程f=g的根就

是函數(shù)f與g圖象交點的橫坐標(biāo);不等式f<g的解集是函數(shù)f的圖象

位于g圖象下方的點的橫坐標(biāo)的集合,這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想=||-2,則下列結(jié)論正確的是?Af是偶函數(shù),遞增區(qū)間是0,∞Bf是偶函數(shù),遞減區(qū)間是-∞,1Cf是奇函數(shù),遞減區(qū)間是-1,1Df是奇函數(shù),遞增區(qū)間是-∞,0C解析

將函數(shù)f