平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用省賽一等獎(jiǎng)

第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用考試要求1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2了解平面向量的數(shù)量積；3掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；4能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；5會(huì)用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題；1平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念知識(shí)梳理|a||b|cosθ2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示3平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1a·b＝b·a交換律 2λa·b＝λa·b＝a·λb結(jié)合律 3a＋b·c＝a·c＋b·c分配律4平面幾何中的向量方法 三步曲：1用向量表示問(wèn)題中的幾何元素，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題； 2通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系； 3把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線2平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式 1a＋b·a－b＝a2－b2； 2a±b2＝a2±2a·b＋b2診斷自測(cè)1判斷下列結(jié)論正誤在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”2老教材必修4P108AT1改編設(shè)a，b是非零向量“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的 A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 解析·b＝|a|·|b|cosθ＝|a|·|b|，所以cosθ＝1，即a與b的夾角為0°，故a∥b 當(dāng)a∥b時(shí)，a與b的夾角為0°或180°， 所以a·b＝|a|·|b|cosθ＝±|a|·|b|， 所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要條件 答案Ab·2a－b＝2a·b－b2＝－18答案D答案C答案D62017·全國(guó)Ⅰ卷已知向量a＝－1，2，b＝m，1若向量a＋b與a垂直，則m＝________ 解析由題意得a＋b＝m－1，3， 因?yàn)閍＋b與a垂直，所以a＋b·a＝0，所以－m－1＋2×3＝0，解得m＝7 答案7考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積運(yùn)算＝15－10－12＋6＝－1解析1如圖，在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2答案1－12A規(guī)律方法平面向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法：1（基底法）當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉2（坐標(biāo)法）當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝1，y1，b＝2，y2，則a·b＝12＋y1y2解析1因?yàn)閨a|＝|b|＝1，向量a與b的夾角為45°，角度1垂直問(wèn)題考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用多維探究答案A規(guī)律方法兩個(gè)向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0，即：a＝1，y1，b＝2，y2，則a⊥b?a·b＝0?12＋y1y2＝0應(yīng)認(rèn)識(shí)到此充要條件對(duì)含零向量在內(nèi)的所有向量均成立，因?yàn)榭梢暳阆蛄颗c任意向量垂直角度2長(zhǎng)度問(wèn)題答案1B2D∴a－2b2＝a2－4a·b＋4b2＝16，∴|a－2b|＝4角度3夾角問(wèn)題解析由a－b⊥b，可得a－b·b＝0，∴a·b＝b2答案B考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)規(guī)律方法平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路：1題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解2給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的模或者其他向量的表達(dá)形式，解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性求解因?yàn)閍2＝b2＋c2－2bccosA，所以12＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2＝bc＋12≥2bc，贏得高分巧用解析法解平面向量壓軸題平面向量問(wèn)題一般有兩種解決方法：一是利用平面向量基本定理選擇基底，利用向量的線性運(yùn)算解決；二是通過(guò)建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算解決思維升華對(duì)比以上兩種方法，你會(huì)發(fā)現(xiàn)第二種解法，即解析法思路更加簡(jiǎn)單，解析法可能不是最快的解題方法，但一定是思路最簡(jiǎn)單的方法，這種方法可能運(yùn)算繁瑣，但和線性運(yùn)算相比，可大大減少思路卡殼的可能法二以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模——平面向量與三角形的“四心”1數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)通過(guò)學(xué)習(xí)平面向量與三角形的“四心”，學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，形成規(guī)范、細(xì)致運(yùn)算的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神2數(shù)學(xué)建模要求在熟悉的情境中，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，理解數(shù)學(xué)建模的意義本專題通過(guò)學(xué)習(xí)平面向量與三角形的“四心”模型，能夠培養(yǎng)學(xué)生用模型的思想解決相關(guān)問(wèn)題類型1平面向量與三角形的“重心”∴點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的重心答案C類型2平面向量與三角形的“內(nèi)心”問(wèn)題解析根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形及其內(nèi)部，其面積為△BOC的面積的2倍在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)