20182019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.3數(shù)學(xué)歸納法第一課時利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式不等式問題講義含解析蘇教版選修2220190416349

2.3數(shù)學(xué)歸納法第一課時利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式、不等式問題[對應(yīng)學(xué)生用書P48]在學(xué)校，我們經(jīng)常會看到這樣的一種現(xiàn)象：排成一排的自行車，如果一個同學(xué)將第一輛自行車不小心弄倒了，那么整排自行車就會倒下．問題1：試想要使整排自行車倒下，需要具備哪幾個條件？提示：(1)第一輛自行車倒下；(2)任意相鄰的兩輛自行車，前一輛倒下一定導(dǎo)致后一輛倒下．問題2：利用這種思想方法能解決哪類數(shù)學(xué)問題？提示：一些與正整數(shù)n有關(guān)的問題．?dāng)?shù)學(xué)歸納法一般地，對于某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們有數(shù)學(xué)歸納法公理：如果(1)當(dāng)n取第一個值n0(例如n0＝1,2等)時結(jié)論正確；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，且k≥n0)時結(jié)論正確，證明當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論也正確．那么，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的兩個步驟之間的聯(lián)系：第一步是驗證命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是論證命題遞推的依據(jù)，這兩個步驟缺一不可，只完成步驟(1)而缺少步驟(2)就作出判斷，可能得不出正確的結(jié)論，因為單靠步驟(1)，無法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)時命題是否正確，我們無法判斷．同樣只有步驟(2)而缺少步驟(1)時，也可能得出不正確的結(jié)論，缺少步驟(1)這個基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟(2)也就沒有意義了． 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式[例1]用數(shù)學(xué)歸納法證明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.[思路點撥]等式的左邊有2n項，右邊共有n項，f(k)與f(k＋1)相比左邊增二項，右邊增一項，而且左右兩邊的首項不同．因此，從n＝k到n＝k＋1時要注意項的合并．[精解詳析](1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1－＝，右邊＝，命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時命題成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，那么當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋＋.右邊＝＋＋…＋＋＋，左邊＝右邊，上式表明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立．由(1)和(2)知，命題對一切非零自然數(shù)均成立．[一點通](1)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式命題，關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān)．由n＝k到n＝k＋1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項．(2)證明n＝k＋1時成立，必須用到假設(shè)n＝k成立的結(jié)論．1．用數(shù)列歸納法證明：當(dāng)n∈N*時，－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)n·n.證明：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝－1，右邊＝－1，所以左邊＝右邊，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k＞1，k∈N*)時等式成立，即－1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＝(－1)k·k.那么當(dāng)n＝k＋1時，－1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＋(－1)k＋1·(2k＋1)＝(－1)k·k＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(－k)＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(2k＋1－k)＝(－1)k＋1(k＋1)這就是說n＝k＋1時等式也成立，由(1)(2)可知，對任何n∈N*等式都成立．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．證明：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－1×(2×1＋1)＝－3，所以左邊＝右邊，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立．則當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋[2(k＋1)－1]2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝(2k＋1)(k＋1)－4(k＋1)2＝(k＋1)[2k＋1－4(k＋1)]＝(k＋1)(－2k－3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]＝右邊，所以當(dāng)n＝k＋1時，等式成立．由(1)(2)可知對于任意正整數(shù)n，等式都成立． 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式[例2]求證：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．[思路點撥]運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明時仔細(xì)觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征，在第二步證明當(dāng)n＝k＋1時，如何進(jìn)行不等式的變換是關(guān)鍵．另外，要注意本題n的初始值為2.[精解詳析](1)當(dāng)n＝2時，左邊＝＋＋＋＝>，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時不等式成立，即＋＋…＋>，則當(dāng)n＝k＋1時，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋－>＋>＋＝，所以當(dāng)n＝k＋1時不等式也成立．由(1)(2)可知原不等式對一切n≥2，n∈N*都成立．[一點通]利用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式是數(shù)學(xué)歸納法的主要應(yīng)用之一，應(yīng)用過程中注意：(1)證明不等式的第二步即從n＝k到n＝k＋1的推導(dǎo)過程中要應(yīng)用歸納假設(shè)，有時需要對目標(biāo)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s來實現(xiàn)；(2)與n有關(guān)的不等式的證明有時并不一定非用數(shù)學(xué)歸納法不可，還經(jīng)常用到不等式證明中的比較法、分析法、配方法、放縮法等．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋＞的過程中，由n＝k推導(dǎo)n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是________．解析：n＝k，左邊＝＋＋…，n＝k＋1時，左邊＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋＋＋－＝＋＋…＋＋.答案：4．求證＋＋＋…＋＞(n≥2且n∈N*)．證明：當(dāng)n＝2時，左邊＝＋＝，右邊＝＝0，左邊＞右邊，此時不等式成立．假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N*)時，不等式成立，即＋＋＋…＋＞.當(dāng)n＝k＋1時，＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＝＋＝＋＝＝，即當(dāng)n＝k＋1時，不等式也成立．綜上所述，對任何n≥2且n∈N*，不等式都成立．5．證明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．證明：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝2＝2.顯然命題成立．(2)假設(shè)n＝k時命題成立，即1＋＋＋…＋<2.則當(dāng)n＝k＋1時，1＋＋＋…＋＋<2＋＝<＝＝2這就是說，當(dāng)n＝k＋1時，不等式也成立．根據(jù)(1)(2)，可知不等式對任意正整數(shù)n都成立．應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時應(yīng)注意的問題(1)第一步的驗證，對于有些問題驗證的并不是n＝1，有時需驗證n＝2，n＝3甚至需要驗證n＝10，如證明：對足夠大的正整數(shù)n，有2n>n3，就需要驗證n＝10時不等式成立．(2)n＝k＋1時式子的項數(shù)，特別是尋找n＝k與n＝k＋1的關(guān)系時，項數(shù)發(fā)生什么變化容易被弄錯．因此對n＝k與n＝k＋1這兩個關(guān)系式的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障．(3)“假設(shè)n＝k(k≥1)時命題成立，利用這一假設(shè)證明n＝k＋1時命題成立”，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的核心環(huán)節(jié)，因此在第二步的證明過程中一定要用上歸納假設(shè)，否則這樣的證明就不再是數(shù)學(xué)歸納法了．另外在推導(dǎo)過程中要把步驟寫完整，注意證明過程中的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性．[對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(十八)]一、填空題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”，在驗證n＝1成立時，左邊＝________.解析：因為左邊式子中a的最高指數(shù)是n＋1，所以當(dāng)n＝1時，a的最高指數(shù)為2，根據(jù)左邊式子規(guī)律可得，當(dāng)n＝1時，左邊＝1＋a＋a2.答案：1＋a＋a22．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式，當(dāng)n＝k時，表達(dá)式為1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，則當(dāng)n＝k＋1時，表達(dá)式為________．答案：1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)23．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少應(yīng)取________．解析：左邊＝1＋＋＋…＋＝＝2－代入驗證可知n的最小值為8.答案：84．對于不等式<n＋1(n∈N*)，某學(xué)生證明過程如下：(1)當(dāng)n＝1時，<1＋1，不等式成立；(2)假設(shè)n＝k(k∈N*)時，不等式成立，即<k＋1(k∈N*)，則當(dāng)n＝k＋1時，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以當(dāng)n＝k＋1時，命題成立．上述證法的錯誤在于_______________________________________________________．答案：沒有用歸納假設(shè)5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”．從“k到k＋1”左端需增乘的代數(shù)式為________．解析：當(dāng)n＝k時左端的第一項為(k＋1)，最后一項為(k＋k)，當(dāng)n＝k＋1時，左端的第一項為(k＋2)，最后一項為(2k＋2)，所以左邊乘以(2k＋1)(2k＋2)，同時還要除以(k＋1)．答案：2(2k＋1)二、解答題6．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋5＋9＋13＋…＋(4n－3)＝2n2－n(n∈N*)．證明：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，命題成立．(2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時，命題成立，即1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k.則當(dāng)n＝k＋1時，1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)＝2k2－k＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1)．所以當(dāng)n＝k＋1時，命題成立．綜上所述，原命題成立．7．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．證明：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立；(2)假設(shè)n＝k(k∈N*)時等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1.則n＝k＋1時，左邊＝1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1)＝2k2＋2k＋1＝2(k＋1)2－2(k＋1)＋1，