常用邏輯用語(yǔ)　

PAGE用心愛(ài)心專心第十六章常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)常用邏輯用語(yǔ)簡(jiǎn)易邏輯常用邏輯用語(yǔ)簡(jiǎn)易邏輯邏輯聯(lián)結(jié)詞簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題命題的四種形式及其關(guān)系充要條件全稱量詞與存在量詞第1講命題及其關(guān)系,充分條件與必要條件★知識(shí)梳理★1．用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假、的陳述句稱為命題．其中判斷為真的語(yǔ)句稱為真命題，判斷為假的語(yǔ)句稱為假命題2．（1）如果第一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論_和條件_，那么這兩個(gè)命題叫互逆命題.（2）如果第一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么這兩個(gè)命題叫互否命題.（3）如果第一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定_和_條件的否定_____，那么這兩個(gè)命題叫互否命題.3．一般地，把條件的否定和結(jié)論的否定，分別記為“┐”和“┐”，則命題的四種形式可寫(xiě)為：原命題：“若若”逆命題：“若若”否命題：“若┐是┐”逆否命題：“若┐是┐”特別提醒：可以發(fā)現(xiàn)：（1）原命題、逆命題、否命題、逆否命題的關(guān)系如下圖所示：原命題若原命題若p則q逆命題若q則p否命題若非p則非q逆否命題若非q則非p互逆互互互為為互否逆逆否否否互逆（2）互為逆否命題的真假性是一致的,互逆命題或互否命題真假性沒(méi)有關(guān)系.4.用反證法證明的一般步驟是：(1)反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；(2)歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；(3)結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.特別提醒：1、適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題：(1)結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)的命題.(2)關(guān)于唯一性、存在性的的命題.(3)結(jié)論以“至多”，“至少”等形式出現(xiàn)的命題.(4)結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體或更易于研究的命題.2.用反證法證明引出矛盾的四種常見(jiàn)形式:(1)與定義、公理、定理矛盾.(2)與已知條件矛盾.(3)與假設(shè)矛盾.(4)自相矛盾.如果“若則”為真,記為,如果“若則”為假,記為.6．若則是的充分,是的必要___7．判斷方法：（1）定義法：①p是q的充分不必要條件②p是q的必要不充分條件③p是q的充要條件④p是q的既不充分也不必要條件（2）集合法：設(shè)P={p},Q={q},①若__PQ,則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件.②若___P=Q_______，則p是q的充要條件（q也是p的充要條件）.③若______PQ且QP_______，則p是q的既不充分也不必要條件.（3）逆否命題法：①q是p的充分條件不必要條件p是q的______充分條件不必要條件_②q是p的必要條件不充分條件p是q的___充分條件不必要條件③q是p的充分要條件p是q的__________充要條件_____④q是p的既不充分條件與不必要條件p是q的__既不充分條件與不必要條件_特別提醒：1、解決充要條件的逆向問(wèn)題時(shí),往往從集合角度考慮,會(huì)更文便快捷,設(shè)P={p},Q={q},①若p是q的充分不必要條件，則PQ②若q是p的必要不充分條件，則PQ③若P=Q，則p是q的充要條件（q也是p的充要條件）.④若PQ且QP，則p是q的既不充分也不必要條件.2、證明p是q的充要條件，既要證“”，又要證“”，前者證明的是充分性；，后者證明的必要性.★重難點(diǎn)突破★1.重點(diǎn)：初步掌握四種命題的關(guān)系，并能判斷四種命題的真假；初步掌握利用反證法證明一些問(wèn)題；正確理解三個(gè)概念，并在分析中正確判斷.正確理解充分條件、必要條件和充要條件三個(gè)概念，并能用定義法、集合法和逆否命題法來(lái)判斷命題是命題的什么條件.2.難點(diǎn)：利用反證法證題；充要條件的證明.3.重難點(diǎn)：.(1)與命題相關(guān)的判析問(wèn)題1：下列語(yǔ)句中哪些是命題？其中哪些是真命題？①“等邊三角形難道不是等腰三角形嗎？”；②“垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？”；③“一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)”；④“珠海是一個(gè)多么美麗的海濱城市啊！”；⑤“為有理數(shù)，則、也都是有理數(shù)”；⑥“作∽”.解：根據(jù)命題的概念，判斷是否為命題，若是，再判斷真假.①通過(guò)反問(wèn)句，對(duì)等邊三角形是等腰三角形作出判斷，是真命題.②疑問(wèn)句，沒(méi)有垂直于同一條直線的兩條直線是否平行作出判斷,不是命題；③是假命題,數(shù)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).④感嘆句,不是命題.⑤是假命題,如.⑥祈使句,不是命題.命題有:①③⑤；真命題有:①點(diǎn)撥:判斷一個(gè)語(yǔ)句是否是命題,關(guān)鍵在于能否判斷其真假.一般地,陳述句、反問(wèn)句都是命題，而疑問(wèn)句、祈使句、感嘆句都不是命題.問(wèn)題2：你能將把下列命題寫(xiě)成“若若”的形式，并判斷其真假嗎?實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù).等底等高的兩個(gè)三角形是全等三角形.能被6整除的數(shù)既能被3整除也能被2整除.弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并平分弦所對(duì)的弧.解：(1)若一個(gè)實(shí)數(shù),則它的平方是非負(fù)數(shù).這個(gè)命題是真命題.(2)若兩個(gè)三角形等底等高,則這個(gè)三角形是全等三角形.這個(gè)命題是假命題.(3)若一個(gè)數(shù)能被6整除的數(shù),則它既能被3整除也能被2整除.(4)若一條直線是弦的垂直平分線,則它經(jīng)過(guò)圓心并平分弦所對(duì)的弧.點(diǎn)撥:將命題寫(xiě)成“若若”形式時(shí),一定要注意找出命題的條件和結(jié)論,同時(shí)要注出意敘述條件和結(jié)論完整性.（2）能掌握判斷充要條件的三種基本方法，并能根據(jù)具體問(wèn)題選擇使用.問(wèn)題3:下列四個(gè)命題中真命題有哪幾個(gè)?①“若xy=1，則x、y互為倒數(shù)”的逆命題②“面積相等的三角形全等”的否命題③“若m≤1，則方程x2－2x+m=0有實(shí)根”的逆否命題④“若A∩B=B，則AB”的逆否命題解析:①的逆命題為“若x、y互為倒數(shù),則xy=1”②的否命題為“面積不相等的三角形不全等”,是真命題;③“若m≤1,則x2-2x+m=0有實(shí)根”為真命題,因此其逆否命題也為真命題;④“若A∩B=B,則AB”為假命題,則其逆否命題也為假命題.真命題有①②③點(diǎn)撥:在判斷原命題及其逆命題、否命題、逆否命題的真假時(shí)，可以借助原命題與逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假.問(wèn)題4．你能判斷下列命題的真假嗎?（1）已知若（2）若無(wú)實(shí)數(shù)根。解：⑴因?yàn)椤耙阎簟钡哪娣衩}是：“已知若”我們不難舉反例說(shuō)明其逆否命題不正確，從而原命題是假命題。(2)因?yàn)椤叭魺o(wú)實(shí)數(shù)根”的逆否命題是：“若方程有實(shí)數(shù)根，”當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，成立。故其逆否命題正確，從而原命題是真命題；點(diǎn)撥:利用互為逆否的兩個(gè)命題同真同假的關(guān)系，將不易判斷真假的命題，轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假（尤其是對(duì)否定式語(yǔ)句的命題）——充分利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法。★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★考點(diǎn)一：命題及其相互關(guān)系題型1.判斷命題及真假[例1]陳述句“在2016年，法國(guó)巴黎將舉辦第31屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)”是命題嗎？[解題思路]：判斷一個(gè)語(yǔ)句是不是命題，就是要看它是否符合“是陳述句”和“可以判斷真假”解析：是命題，在2016年，法國(guó)巴黎將舉辦第31屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，是真是假，雖然目前還無(wú)法確定，但是隨著時(shí)間推移，總能確定它的真假，所以我們把這類(lèi)猜想仍算為命題.[例2]廣東省深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2009屆高三上學(xué)期第二次統(tǒng)測(cè)）下列四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）A（1）若兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合；（2）兩條直線可以確定一個(gè)平面；（3）若；（4）空間中，相交與同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)。A.1B.2C.3D.4[解題思路]：根據(jù)命題本身涉及的知識(shí)去判斷真假，判斷一個(gè)命題為真，一般要進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯推理，但判斷一個(gè)命題為假，只要舉出一個(gè)反例即可.解析：（1）是假命題，兩平面也可能相交；（2）是假命題，若兩直線是異面直線，不可能確定一個(gè)平面；（4）是假命題，兩相交直線確定一個(gè)平面，第三條直線過(guò)該交點(diǎn)，可與該平面相交?！久麕熤敢颗袛嘁粋€(gè)語(yǔ)句是否是命題,關(guān)鍵在于能否判斷其真假.【新題導(dǎo)練】1．下列命題中是假命題的是（）（A）矩形的對(duì)角線相等 （B）若是奇數(shù)，則是奇數(shù)（C） （D）若，則答案:C2．（廣東省華南師范附屬中學(xué)2009屆高三綜合測(cè)試）以下命題：①二直線平行的充要條件是它們的斜率相等；②過(guò)圓上的點(diǎn)與圓相切的直線方程是；③平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓；④拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離都等于點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離。其中正確命題的標(biāo)號(hào)是。答案；②④題型2。寫(xiě)出一個(gè)命題的逆命題、否命題、逆否命題[例3]寫(xiě)出下述命題逆命題、否命題、逆否命題.（1）若，則全為0.（2）若是偶數(shù)，則都是偶數(shù).（3）若，則[解題思路]：“都”的否定詞是“不都”，而不是“都不”，同理“全”的否定詞是“不全”，而不是“全不”.另外，原命題中的“或”，在否命題中要改為“且”.要認(rèn)真體會(huì)它們的區(qū)別.解析:因?yàn)樵}是“若若”的形式,根據(jù)其他三種命題的構(gòu)造方法,分別寫(xiě)出逆命題、否命題、逆否命題.解答：（1）逆命題：若全為0，則.否命題：若，則不全為0.逆否命題：若不全為0，則.（2）逆命題：若都是偶數(shù)，則是偶數(shù).否命題：若不是偶數(shù)，則不都是偶數(shù).逆否命題：若不都是偶數(shù)，則不是偶數(shù).（3）逆命題：若，則.否命題：若，則逆否命題：若，則.【名師指引】認(rèn)清命題的條件p和結(jié)論q，然后按定義寫(xiě)出逆命題、否命題、逆否命題，最后判斷真假【新題導(dǎo)練】3.（廣東省湛江市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2009屆高三第四次月考（數(shù)學(xué)理））命題“若＞0，則”的逆命題是答案：逆命題是“若”4．（2009年廣東省廣州市高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試）命題“”的否命題是（）A.B.C.D.答案：C題型3。四種命題間的關(guān)系與反證法[例4]若a、b、c∈R，寫(xiě)出命題“若ac＜0，則ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷這三個(gè)命題的真假[解題思路]：認(rèn)清命題的條件p和結(jié)論q，然后按定義寫(xiě)出逆命題、否命題、逆否命題，最后判斷真假解析：逆命題：若ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac＜0；是假命題，如當(dāng)a=1，b=－3，c=2時(shí)，方程x2－3x+2=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1=1，x2=2，但ac=2＞0否命題：若ac≥0，則方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）沒(méi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；是假命題.這是因?yàn)樗湍婷}互為逆否命題，而逆命題是假命題逆否命題：若ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）沒(méi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac≥0；是真命題.因?yàn)樵}是真命題，它與原命題等價(jià)[例5]用反證法證明：設(shè)三個(gè)正實(shí)數(shù)a、b、c滿足條件=2求證：a、b、c中至少有兩上不小于1.[解題思路]：用反證法證題時(shí)作出正確的反設(shè)是前提，“a,b,c中至多有一個(gè)數(shù)不小于1”的反設(shè)為“a,b,c中至多有一個(gè)數(shù)不小于1”，有兩種情況“a、b、c三數(shù)均小于1”和“a、b、c解析：證明：假設(shè)a,b,c中至多有一個(gè)數(shù)不小于1，這包含下面兩種情況：（1）a、b、c三數(shù)均小于1，即0<a<1,0<b<1,0<c<1,則∴>3與已知條件矛盾；（2）a、b、c中有兩數(shù)小于1，設(shè)0<a<1,0<b<1,而c≥1，則∴>2+>2，也與已知條件矛盾；∴假設(shè)不成立，∴a、b、c中至少有兩個(gè)不小于1.【名師指引】利用互為逆否的兩個(gè)命題同真同假的關(guān)系，將不易判斷真假的命題，轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假（尤其是對(duì)否定式語(yǔ)句的命題），充分利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法。正確的反設(shè)是（即否定結(jié)論）是正確運(yùn)用反證法的前提，要注意一些常用的“結(jié)論否定形式”，另外，需注意作出的反設(shè)必須包括與結(jié)論相反的所有情況?！拘骂}導(dǎo)練】5．（廣東省汕頭市澄海區(qū)2008年統(tǒng)測(cè)）命題：“設(shè)、、，若則”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2答案：C6．（廣東省普寧市城東中學(xué)2009屆高三上學(xué)期第三次月考）命題：“若，則”的逆否命題是（）A若，則B.若，則C.若，則D..若，則答案：A7．若x、y、z均為實(shí)數(shù)，且a=x2－2y+，b=y2－2z+，c=z2－2x+，則a、b、c中是否至少有一個(gè)大于零？請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：“a、b、c中是否至少有一個(gè)大于零”包括多種情況，正面解決很復(fù)雜，可考慮反面入手，利用反證法證明，但如何導(dǎo)出矛盾頗有技巧.解：假設(shè)a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，則a+b+c≤0.而a+b+c=x2－2y++y2－2z++z2－2x+=（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2+π－3，∵π－3＞0，且無(wú)論x、y、z為何實(shí)數(shù)，（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2≥0，∴a+b+c＞0.這與a+b+c≤0矛盾.因此，a、b、c中至少有一個(gè)大于0.考點(diǎn)二:充要條件及其判定題型1:利用定義作判斷[例6]（2008學(xué)年中山市一中高三年級(jí)統(tǒng)測(cè)試題）在中，“”是“”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[解題思路]：判定p是q的充要條件，既要看“”是否為真，又要看“”否為真,只有都為真時(shí),p才是q的充要條件.解析：A“”“”但反之不成立，故選A【名師指引】定義判斷的重要依據(jù)?！拘骂}導(dǎo)練】8．（2009屆省實(shí)高三次月考數(shù)學(xué)試題）函數(shù)有極值的充要條件是（）A． B．C．D．答案：D9．“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的（）A．充分條件不必要B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：A題型2:從集合思想或利用逆否命題判定[例7]（廣東省四會(huì)中學(xué)2009屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)）“成立”是“成立”的()A．充分不必要條件 B.必要不充分條件 C．充分必要條件D.既不充分也不必要條件 [解題思路]：當(dāng)直接判斷p是q什么條件較困難時(shí),可借助于集合或利用逆否命題來(lái)考慮,會(huì)更快捷和準(zhǔn)確.解析：的解集是，的解集是∵AB∴選A[例8]（廣東省普寧市城東中學(xué)2009屆高三上學(xué)期第三次月考）若，則成立的一個(gè)充分不必要的條件是（）A. B. C. D.[解題思路]：以選項(xiàng)為條件，要能得到，但反之不成立解析：C可以取反例，易得只有C答案【名師指引】解答充分與必要條件問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)命題的特點(diǎn)，在三種方法(定義法、集合法和逆否命題法)中選擇一種進(jìn)行判斷，而且還依賴于問(wèn)題本身所涉及到的具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的掌握與理解程度.【新題導(dǎo)練】10．（廣東省黃岐高級(jí)中學(xué)2009屆高三上學(xué)期月月考）設(shè)集合，，那么“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B11．（廣東省深圳市2009屆高三九校聯(lián)考）設(shè)、是方程的兩個(gè)實(shí)根。那么“且”是“兩根、均大于”的（）A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B★搶分頻道★基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.下列語(yǔ)句中命題的個(gè)數(shù)是()①地球是太陽(yáng)系的一顆行星；②；③這是一顆大樹(shù)；④；⑤⑥老年人組成一個(gè)集合；A．1B．2C．3D．4解：①②⑤⑥是命題，故選D2.設(shè)原命題：若，則中至少有一個(gè)不小于1.則原命題與其逆命題的真假情況是（）A A．原命題真，逆命題假 B．原命題假，逆命題真 C．原命題與逆命題均為真命題 D．原命題與逆命題均為假命題答案：A.提示：=1.2，=0.3，則=1.52，∴逆命題為假.3．（廣東省四會(huì)中學(xué)2009屆高三質(zhì)量檢測(cè)）△ABC中“”是“△ABC為鈍角三角形”的（）A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要答案：B4．（廣東省深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2009屆高三統(tǒng)測(cè)）若是常數(shù),則“且”是“對(duì)任意,有”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：“對(duì)任意,有”的等價(jià)命題是：a=0時(shí)，必有b=0；或時(shí)，。選A5．（廣東省北江中學(xué)2009屆高三上學(xué)期12月月考(數(shù)學(xué)理)）“”是“的展開(kāi)式的第三項(xiàng)是60”的________條件（）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要答案：A6．(黃家中學(xué)高08級(jí)十二月月考)條件：，條件：在內(nèi)是增函數(shù)，則是的A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件答案：∵在內(nèi)是增函數(shù)∴，∴∴且∴是的充分不必要條件故選B；綜合拔高訓(xùn)練7．用反證法證明：“已知x、y∈R，x+y≥2，求證x、y中至少有一個(gè)大于1”.則所作的反設(shè)是答案:假設(shè)x<1且y<18．寫(xiě)出命題“乘積為奇數(shù)的兩個(gè)整數(shù)都不是偶數(shù)”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷真假.解：典型錯(cuò)解:原命題可寫(xiě)成：若兩個(gè)整數(shù)的乘積為奇數(shù)，則它們都不是偶數(shù),是真命題.逆命題：若兩個(gè)整數(shù)的乘積都不是偶數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)的乘積為奇數(shù),是真命題.否命題：若兩個(gè)整數(shù)的乘積不為奇數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)不都是偶數(shù),是真命題.逆否命題：若兩個(gè)整數(shù)中不都是偶數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)的乘積不為奇數(shù),是真命題.否命題：若兩個(gè)整數(shù)的乘積不為奇數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)至少有一個(gè)是偶數(shù)；點(diǎn)撥:對(duì)“都不”的否定，許多同學(xué)都誤認(rèn)為是“不都”，這是錯(cuò)誤的，應(yīng)為“至少有一個(gè)”,而“不都”是對(duì)“都”的否定.正確解答:原命題可寫(xiě)成：若兩個(gè)整數(shù)的乘積為奇數(shù)，則它們都不是偶數(shù),是真命題.逆命題：若兩個(gè)整數(shù)的乘積都不是偶數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)的乘積為奇數(shù),是真命題.否命題：若兩個(gè)整數(shù)的乘積不為奇數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)至少有一個(gè)是偶數(shù),是真命題.逆否命題：若兩個(gè)整數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)的乘積不為奇數(shù),是真命題.9．（2008學(xué)年中山市一中高三年測(cè)試題理科數(shù)學(xué)）已知：，：且是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由即為：…4分而為：，………6分又是的必要不充分條件，即所以即實(shí)數(shù)的取值范圍為?！?2分10．已知：a、b、c是互不相等的非零實(shí)數(shù).求證：三個(gè)方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.證明（反證法）：假設(shè)三個(gè)方程中都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根，則Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0. ①由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.∴假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.備用：1．（廣東省珠海市斗門(mén)第一中學(xué)2009屆高三模擬）是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．（廣東省湛江市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2009屆高三月考（數(shù)學(xué)理））“a+b＞4且ab＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案：B3．（廣東省恩城中學(xué)2009屆高三模擬）已知命題p：，命題q：，則的__條件(填充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件)。答案：充分不必要條件；4．（廣東省汕頭市金山中學(xué)2009屆高三期中考試（數(shù)學(xué)理））函數(shù)的定義域?yàn)榧?，函?shù)的定義域?yàn)榧希?）判定函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由．（2）問(wèn)：是的什么條件（充分非必要條件、必要非充分條件、充要條件、既非充分也非必要條件）？并證明你的結(jié)論．15.解：A={x|∴-1<x<1 ∴A=（-1，1），定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f（-x）=lg=lg=lg，∴f（x）是奇函數(shù).（2）B={x|B=[-1-a，1-a]當(dāng)a32時(shí)，-1-a￡-3，1-a￡-1，由A=（-1，1），B=[-1-a，1-a]，有反之，若，可取-a-1=2，則a=-3，a小于2.（注：反例不唯一）所以，a32是的充分非必要條件。第2講簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞,全稱量詞與存在量詞★知識(shí)梳理★1.“或”,“且”,“非”稱為邏輯聯(lián)結(jié)詞___,不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題稱為簡(jiǎn)單命題_；含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題稱為_(kāi)_復(fù)合命題______,復(fù)合命題有三種形式且、或、非2．用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”把命題和命題聯(lián)結(jié)起來(lái).就得到一個(gè)新命題,記作，讀作______且____3．用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”把命題和命題聯(lián)結(jié)起來(lái).就得到一個(gè)新命題,記作_______，讀作___或______4．對(duì)一個(gè)命題的全盤(pán)否定,就得到一個(gè)新的命題,記作__p___，讀作___非_____5．三種復(fù)合命題的真值表：（1）“p且q”：一假即假（2）“p或q”：一真即真（3）“非p”：真假相反特別提醒：命題的“否定”與“否命題”是不同的概念，對(duì)命題p的否定（即非p）是否定命題p所作的判斷，而“否命題”是“若p則q”6．短語(yǔ)“_對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)”邏輯中稱為全稱量詞，并用符號(hào)“_____”表示。7．短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“_至少有一個(gè)”邏輯中稱為存在量詞，并用符號(hào)“”表示。8．含有全稱量詞的命題稱為全稱命題__；含有存在量詞的命題稱為_(kāi)_特稱命題__.9．全稱命題形式：；特稱命題形式：。其中M為給定的集合，特別提醒：全稱命題p：的否定p：；全稱命題的否定為特稱命題特稱命題p：的否定p：；特稱命題的否定為全稱命題其中p(x)是一個(gè)關(guān)于的命題?！镏仉y點(diǎn)突破★1.重點(diǎn)：判斷復(fù)合命題“p且q”、“p或q”、“非p”的真假；判斷全稱命題與特稱命題真假2.難點(diǎn)：對(duì)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”和“非”的含義的理解；寫(xiě)出全稱命題與特稱命題否定3.重難點(diǎn)：.(1)理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的含義問(wèn)題1：你能寫(xiě)出下列命題p的非(否定)嗎?（1）p：100既能被4整除又能被5整除（2）p：三條直線兩兩相交（3）p：一元二次方程至多有兩個(gè)解（4）p：解:（1）p：100不能被4整除，或不能被5整除（2）p：三條直線不都兩兩相交（3）p：一元二次方程至少有三個(gè)解（4）p：或點(diǎn)撥:“且”的否定形式是“或”，而“或”的否定形式是“且”.寫(xiě)出命題的非（否定），需要對(duì)其正面敘述的詞語(yǔ)進(jìn)行否定，常用正面敘述詞語(yǔ)及它的否定列舉如下：正面詞語(yǔ)且小于（<）都是都不是至少n個(gè)至多n個(gè)否定詞語(yǔ)或不小于（≥）不都是至少有一個(gè)是至多n－1個(gè)至少n+1個(gè)正面詞語(yǔ)任意的所有的有無(wú)窮多個(gè)存在唯一的對(duì)任意p，使…恒成立否定詞語(yǔ)某個(gè)某些只有有限多個(gè)不存在或至少存在兩個(gè)至少有一個(gè)p，使…不成立（2）命題的否定與命題的否命題的區(qū)別問(wèn)題2:寫(xiě)出命題：“若，則”的否定與否命題，并加以區(qū)別。解析:命題的否定：若，則命題的否命題：若，則點(diǎn)撥:命題的否定，是對(duì)整個(gè)命題進(jìn)行否定，側(cè)重于對(duì)命題結(jié)論的否定.如具體到“若則”而言，命題的否定是只否定結(jié)論不否定條件.而命題的否命題則是既否定條件又否定結(jié)論.（3）全稱量詞與存在量詞問(wèn)題3：寫(xiě)出命題“若，則”的否定解析：“若，則”顯然兩個(gè)命題都是假命題，這就與復(fù)合命題中的真值表相矛盾.那么問(wèn)題出在哪呢？實(shí)際上命題是省略了全稱量詞，命題里的“”是指“對(duì)于任意的”.所以原命題的否定形式就是：“存在，使得”.這時(shí)原命題是假命題，而否定形式就是真命題.所以在判斷復(fù)合命題的形式時(shí)，要準(zhǔn)確理解命題的本質(zhì)含義，尤其注意在一些表述中命題所隱含的全稱量詞.點(diǎn)撥：全稱量詞有時(shí)會(huì)被省略。如：不少學(xué)生認(rèn)為命題：“不等式的解為或”是“或”形式的復(fù)合命題：：不等式的解為：不等式的解為顯然假假，但“或”確為真，這與真值表相矛盾.實(shí)際上問(wèn)題還是與上面的一樣，命題里的“解”是指“所有的解”，這樣“或”就是一個(gè)整體，所以上面的命題不是“或”形式的復(fù)合命題，應(yīng)該是個(gè)簡(jiǎn)單命題.★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★考點(diǎn)一：復(fù)合命題及其真假判斷題型1.指出復(fù)合命題的形式及構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題，反之能寫(xiě)出“p或q”“p且q”“非p”形式的復(fù)合命題[例1]分別指出下列復(fù)合命題的形式及構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題:（1）3是質(zhì)數(shù)或合數(shù).（2）他是運(yùn)動(dòng)員兼教練員.（3）相似三角形不一定是全等三角形.[解題思路]：根據(jù)組成上述各復(fù)合命題的語(yǔ)句中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞，“且”“或”“非”進(jìn)行命題結(jié)構(gòu)的判斷.解析：(1)這個(gè)命題是“p或q”形式，其中p：3是質(zhì)數(shù)，q：3是合數(shù).(2)這個(gè)命題是“p且q”形式，其中p：他是運(yùn)動(dòng)員，q：他是教練員.(3)這個(gè)命題是“非p”形式，其中p：相似三角形一定是全等三角形..[例2]分別寫(xiě)出下列各組命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”“非p”形式的復(fù)合命題：（1）p：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被2整除，q：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被3整除.（2）p：對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形，q：對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形.[解題思路]：在由簡(jiǎn)單命題寫(xiě)出復(fù)合命題時(shí)，本例的（1）、（2）可直接使用邏輯聯(lián)結(jié)記詞，而（3）中的“p或q”“p且q”“非p”，寫(xiě)復(fù)合命題時(shí)，關(guān)鍵要搞清“且”“或”“非”的意義.解析：（1）根據(jù)真值表，復(fù)合命題可以寫(xiě)成簡(jiǎn)單形式：p或q：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被2或能被3整除.p且q：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被2且能被3整除.非p：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積不能被2整除.∵連續(xù)的三整數(shù)中有一個(gè)（或兩個(gè)）是偶數(shù)，而有一個(gè)是3的倍數(shù)，（2）根據(jù)真值表，只能用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題，不能寫(xiě)成簡(jiǎn)單形式：p或q：對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形或?qū)蔷€互相平分的四邊形是菱形.p且q：對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形且對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形.非p：對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形.【名師指引】要理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”、“或”和“非”的含義，“且”是指必須兩個(gè)都選，“或”是指兩個(gè)中至少選一個(gè)，“非”是指否定的意思，尤其要注意理解和掌握常見(jiàn)正面詞語(yǔ)的否定詞語(yǔ).【新題導(dǎo)練】1．分別指出下列復(fù)合命題的形式及構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題:（1）3是質(zhì)數(shù)或合數(shù).（2）他是運(yùn)動(dòng)員兼教練員.（3）相似三角形不一定是全等三角形.解:(1)這個(gè)命題是“p或q”形式，其中p：3是質(zhì)數(shù)，q：3是合數(shù).(2)這個(gè)命題是“p且q”形式，其中p：他是運(yùn)動(dòng)員，q：他是教練員.(3)這個(gè)命題是“非p”形式，其中p：相似三角形一定是全等三角形..2．分別寫(xiě)出下列各組命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”“非p”形式的復(fù)合命題：（1）p：是無(wú)理數(shù)，q：大于是2（2）p：，q：（3）p：，q：解：（1）p或q：是無(wú)理數(shù)或大于2p且q：是無(wú)理數(shù)且大于2非p：不是無(wú)理數(shù)（2）p或q：或p且q：且非p：（3）p或q：或p且q：且非p：題型2。判斷復(fù)合命題的真假[例3]寫(xiě)出由下述各命題構(gòu)成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題，并指出所構(gòu)成的這些復(fù)合命題的真假。（1）p：5是17的約數(shù)，q：5是15的約數(shù).（2）p：方程x2－1=0的解是x=1,q：方程x2－1=0的解是x=－1,（3）p：不等式的解集為R，q：不等式的解集為[解題思路]：寫(xiě)三種形式的復(fù)合命題時(shí)，在命題p或命題q的語(yǔ)句中，由于中文表達(dá)的習(xí)慣常常會(huì)有些省略，這種情況下應(yīng)作詞語(yǔ)上的調(diào)整。判斷復(fù)合命題真假時(shí)，關(guān)鍵是判斷簡(jiǎn)單命題的真假，再按真值表來(lái)判斷即可.解析：（1）p或q：5是17或15的約數(shù)；p且q：5是17與15的公約數(shù)，（或?qū)懗桑?是17的約數(shù)，且9是15的約數(shù)）；非p：5不是17的約數(shù).∵p假，q真，∴“p或q”為真，“p且q”為假，而“非p”為真.（2）p或q：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能寫(xiě)成“方程x2－1=0的解是x=±1”，這與真值表不符）；p且q：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1；非p：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命題p中的“是”應(yīng)理解為“都是”的意思）；∵p假，q假，∴“p或q”與“p且q”均為假，而“非p”為真.（3）p或q：不等式的解集為R或不等式的解集為.p且q：不等式的解集為R或不等式的解集為非p：不等式的解集為.∵p真，q假，∴“p或q”為真，“p且q”為假，而“非p”為假.[例4]已知設(shè)P：函數(shù)在R上單調(diào)遞減；Q：不等式的解集為R，若“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，求的取值范圍.[解題思路]：“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，根據(jù)真假表知，P，Q之中一真一假，因此有兩種情況，要分類(lèi)討論.解析:函數(shù)在R上單調(diào)遞減不等式【名師指引】先判斷命題和的真假，再根據(jù)真值表判斷復(fù)合命題的真假.【新題導(dǎo)練】3.分別指出由下列各組命題構(gòu)成的邏輯關(guān)聯(lián)詞“或”、“且”、“非”的真假。（1）p:梯形有一組對(duì)邊平行；q：梯形有一組對(duì)邊相等。（2）p:1是方程的解；q：3是方程的解。（3）p:不等式解集為R；q:不等式解集為。（4）p:解：⑴p真，q假，“pq”為真，“pq”為假，“p”為假。⑵p真，q真，“pq”為真，“pq”為真，“p”為假。⑶p假，q假，“pq”為假，“pq”為假，“p”為真。⑷p真，q假，“pq”為真，“pq”為假，“p”為假。4．（廣東省四會(huì)中學(xué)2009屆高三質(zhì)量檢測(cè)（數(shù)學(xué)理））已知命題所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，命題正數(shù)的對(duì)數(shù)都是負(fù)數(shù)，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．答案：D考點(diǎn)二:全稱命題與特稱命題及其真假判斷題型1:判斷命題是全稱命題還是特稱命題。[例7]判斷下列語(yǔ)句是不是命題，如果是，說(shuō)明是全稱命題還是特稱命題.(1)任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1，仍等于這個(gè)數(shù)；(2)三角函數(shù)都是周期函數(shù)嗎？(3)有一個(gè)實(shí)數(shù)，不能取倒數(shù)；(4)有的三角形內(nèi)角和不等于[解題思路]：含有全稱量詞的命題稱為全稱命題；含有存在量詞的命題稱為特稱命題.但要注意有些命題可能省略了量詞.解析：（1）全稱命題；（2）不是命題；（3）特稱命題；（4）特稱命題；【名師指引】含有全稱量詞的命題稱為全稱命題；含有存在量詞的命題稱為特稱命題.但要注意有些命題可能省略了量詞.【新題導(dǎo)練】5．判斷下列語(yǔ)句是不是命題，如果是，說(shuō)明是全稱命題還是特稱命題.(1)中國(guó)的所有江河都流入太平洋；(2)不能作除數(shù)；(3)有一個(gè)實(shí)數(shù)，不能取對(duì)數(shù)；(4)每一個(gè)向量都有方向嗎？解析：（1）（2）（3）是命題，（4）不是命題，其中（1）全稱命題；（2）既不是全稱命題也不是特稱命題；（3）特稱命題；題型2:判斷全稱命題或特稱命題的真假[例8]設(shè)A、B為兩個(gè)集合.下列四個(gè)命題：AB對(duì)任意x∈A，有xB；②ABA∩B=；③ABAB；④AB存在x∈A，使得xB.其中真命題的序號(hào)是______________.（把符合要求的命題序號(hào)都填上）[解題思路]：①要判定一個(gè)特稱性命題為真，只要在給定的集合中，找到一個(gè)元素x，使命題p(x)為真；否則命題為假。②要判定一個(gè)全稱命題為真，必須對(duì)給定的集合的每一個(gè)元素x，p(x)都為真；但要判斷一個(gè)全稱命題為假，只要在給定的集合內(nèi)找出一個(gè)x0，p(x0)為假。解析：AB存在x∈A，有xB，故①錯(cuò)誤；②錯(cuò)誤；④正確.亦或如下圖所示.③ABAB不成立的反例如下圖所示.反之，同理.真命題的序號(hào)是④【名師指引】判斷全稱命題與特稱命題真假時(shí)，若判定一個(gè)特稱性命題為真，只需找出一個(gè)例子即可否則命題為假；若判定一個(gè)全稱命題為真，必須對(duì)每一個(gè)元素都為真；但判斷其為假，只需要舉出一個(gè)反例即可?！拘骂}導(dǎo)練】6．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，有下列三個(gè)命題：①若存在常數(shù)M，使得對(duì)任意x∈R，有f（x）≤M，則M是函數(shù)f（x）的最大值；若存在x0∈R，使得對(duì)任意x∈R，且x≠x0，有f（x）＜f（x0），則f（x0）是函數(shù)f（x）的最大值；③若存在x0∈R，使得對(duì)任意x∈R，有f（x）≤f（x0），則f（x0）是函數(shù)f（x）的最大值.這些命題中，真命題的個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3解：①錯(cuò),原因：可能“=”不能取到.②③都正確，選C.7．下列全稱命題中真命題為()A.一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)B.是有理數(shù)C.任何一條直線都有斜率D.答案:A8.下列特稱命題中假命題為()A.空間中過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與該直線垂直B.僅存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得成等比數(shù)列C.存在實(shí)數(shù)滿足,使得的最小值是6D.恒成立答案:A考點(diǎn)三:由命題真假確定參數(shù)范圍[例9]（廣東省五校2009屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（數(shù)學(xué)理））已知命題：方程在上有且僅有一解；命題：只有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足不等式若命題是假命題，求的取值范圍.[解題思路]：因?yàn)槊}是假命題，由真值表可知，命題p和命題q都是假命題.由此入手分析。注意參數(shù)的分類(lèi)討論，做到不重不漏。解析：由，得顯然所以,因?yàn)榉匠淘谏嫌星覂H有一解，故、所以…只有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足不等式所以因?yàn)槊}是假命題，所以命題p和命題q都是假命題.所以的取值范圍為【名師指引】先確定簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題的真假，再由命題的真假劃分參數(shù)的范圍【新題導(dǎo)練】9．（廣東省四會(huì)中學(xué)2009屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)（數(shù)學(xué)理））已知命題：P：對(duì)任意,不等式恒成立；q：函數(shù)存在極大值和極小值。求使命題“p且q”為真命題的m的取值范圍。解:恒成立，只需小于的最小值，而當(dāng)時(shí)，≥3，.存在極大值與極小值，有兩個(gè)不等的實(shí)根，，或.要使命題“p且q”為真，只需,故m的取值范圍為[2，6].★搶分頻道★基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.（廣東省深圳市2009屆高三九校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（） A．“”是“”的充分不必要條件； B．命題“若，則”的否命題是：“若，則” C．若命題：，則； D．如果命題“”與命題“或”都是真命題，那么命題一定是真命題.答案：A2.（2008-2009金山中學(xué)高三期中考試數(shù)學(xué)試題）下列命題錯(cuò)誤的是 （） A．命題“若有實(shí)數(shù)根”的逆否命題為：“若方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則” B．“”是“”的充分不必要條件 C．若為假命題，則p、q均為假命題 D．對(duì)于命題若答案：C3．（2009學(xué)年中山市一中高三年級(jí)第二次統(tǒng)測(cè)試題數(shù)學(xué)理）已知：命題則（）答案：C4．（廣州市海珠區(qū)2009屆高三綜合測(cè)試二）設(shè)命題：矩形的對(duì)角線相等;命題：的單調(diào)減區(qū)間是.則（）A．“或”為真B．“且”為真C．假真D．,均為假命題答案：A5．（廣州市海珠區(qū)2009屆高三綜合測(cè)試）設(shè)命題：矩形的對(duì)角線相等;命題：的單調(diào)減區(qū)間是.則（）A．“或”為真B．“且”為真C．假真D．,均為假命題答案：A6．（廣東省汕頭市金山中學(xué)2009屆高三期中考試（數(shù)學(xué)理））已知命題不等式的解集是R，命題在區(qū)間上是減函數(shù)，若命題“或”為真，命題“且”為假，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）（A.B.C.（0，2）D.答案：B綜合拔高訓(xùn)練7．（2008學(xué)年中山市一中高三年級(jí)第一次統(tǒng)測(cè)試題理科數(shù)學(xué)）設(shè)命題：“，”，該命題的否定是____________________；答案：8．（廣東省四會(huì)中學(xué)2009屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)（數(shù)學(xué)理））下列四種說(shuō)法：①命題“x∈R，使得x2＋1＞3x”的否定是“x∈R，都有x2＋1≤3x”；②設(shè)、q是簡(jiǎn)單命題，若“”為假命題，則“”為真命題；③把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位即可得到函數(shù)的圖像．其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是*．12．①②③9．（2008學(xué)年中山市一中高三年級(jí)第一次統(tǒng)測(cè)試題理科數(shù)學(xué)）已知：，：且是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由即為：…4分而為：，………6分又是的必要不充分條件，即所以即實(shí)數(shù)的取值范圍為?！?2分10．（廣東省湛江市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2009屆高三第四次月考（數(shù)學(xué)理））已知函數(shù)。（Ⅰ）求的最大值及最小值；（Ⅱ）若又給條件且是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：（Ⅰ）∵…………3分又∵…………4分即…………6分∴ymax=5，ymin=3（Ⅱ）∵…………9分又∵P為q的充分條件∴…………11分解得3<m<5第十八章綜合能力檢測(cè)一、選擇題（第小題5分，共40分）1．“至多四個(gè)”的否定為 （） A．至少有四個(gè) B．至少有五個(gè) C．有四個(gè) D．有五個(gè)答案：B2．若命題“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，則（）A.命題p和命題q都是假命題B.命題p和命題q都是真命題C.命題p和命題“非q”的真值不同D.命題p和命題q的真值不同答案：D3．已知h>0，設(shè)命題甲為：兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b滿足，命題乙為：兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b滿足且，那么A．甲是乙的充分但不必要條件B．甲是乙的必要但不充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲是乙的既不充分也不必要條件解：因?yàn)樗詢墒较鄿p得故即由命題甲成立推出命題乙成立，所以甲是乙的必要條件.由于同理也可得因此，命題甲成立不能確定命題乙一定成立，所以甲不是乙的充分條件，故應(yīng)選B.4．已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解：選A分析：本題考查簡(jiǎn)易邏輯知識(shí).因?yàn)閜rsq但r成立不能推出p成立，所以,但q成立不能推出p成立，所以選A