圓錐曲線方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

§8.圓錐曲線方程知識(shí)要點(diǎn)一、橢圓方程.PfJ+Iff\=2aR\FF2方程為橢圓1.橢圓方程的第一概念：IpfJ+Iff\=2ayFf?無軌跡1.橢圓方程的第一概念：Pf1+Iff1=2a=Iff以f,f為端點(diǎn)的線段121212⑴①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：i.中心在原點(diǎn)，核心在x軸上：止丘1(b0).+=1(aRbR0)a2b2=1(aRbR0)ii.中心在原點(diǎn)，核心在y軸上：出+=1(aRbR0)a2b2②一般方程：Ax2+By2=1(AR0,BR0).③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：比+疋a2b2=1的參數(shù)方程為Jx=acos9y=bsin9■象限9應(yīng)是屬于oy9y—).2⑵①極點(diǎn)：(土a,0)(0,±b)或(0,±a)(±b,0).軸：對(duì)稱軸：x軸，y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b.核心：(―c,0)(c,0)或(0,-c)(0,c).焦距：IfF21=2c,c=<a2―b2.22準(zhǔn)線：x=±a-或y=±a-.cc離心率：e――(0yey1)?a⑧通徑：垂直于x軸且過核心的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo)：d—型(―c,竺)和(C,叫a2aaTOC\o"1-5"\h\z22I⑶共離心率的橢圓系的方程：橢圓—+——1(aRbR0)的離心率是e――(c=耳a2―b2)，方程a2b2aC+丘—t(t是大于0的參數(shù)，aRbR0)的離心率也是e—-咱們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.a2b2a229⑸若P是橢圓：—+k—1上的點(diǎn).F,F為核心，若ZFFF=9，則APFF的面積為b2tan-(用a2b21212122余弦定理與IffJ+IffJ—2a可得).若是雙曲線，則面積為b2.cot色.(bcosa,bsin(bcosa,bsina)(acosa,asina)二、雙曲線方程.1.雙曲線的第一概念I(lǐng)ff」—IffJ|—2ayIff2方程為雙曲線IffJ—IffJ|—2arIff21無軌跡IffJ—IffJl—2a—Iff2以f『f2的一個(gè)端點(diǎn)的一條射線N的軌跡是橢圓

⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：-——=1(a,b》0),-——=1(a,b>0).a2b2a2b2一般方程：Ax2+⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：-——=1(a,b》0),-——=1(a,b>0).a2b2a2b2一般方程：Ax2+Cy2=1(ACY0).(2)①i.核心在x軸上:極點(diǎn)：(a,0),(—a,0)核心：(c,0),(-c,0)準(zhǔn)線方程x=±—漸近線方程：—±—=0或———caba2-=0b2ii.核心在y軸上：極點(diǎn)：2(0,—a),(0,a).核心：(0,c),(0,—c).準(zhǔn)線方程：y=±-c2.漸近線方程：丄±蘭=0或丄aba2x2-=0,b2x=btan0y=asec0參數(shù)方程：＜y=btan0②軸x,y為對(duì)稱軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b,焦距2c.③離心率e=—2a2④準(zhǔn)線距比(兩準(zhǔn)線的距離)；通徑型2a2④準(zhǔn)線距比(兩準(zhǔn)線的距離)；通徑型ca⑤參數(shù)關(guān)系c2=a2+b2,e=—.a⑶等軸雙曲線：雙曲線x2—y2=±a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y=±x，離心率e二込.⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線—=X與一^—=_九互為共軛雙曲線，它們具有一路的漸近線：-^—=0.a2b2a2b2a2b2⑸共漸近線的雙曲線系方程：圧—丘=X0豐0)的漸近線方程為圧—丘=0若是雙曲線的漸近線為a2b2a2b222-±丄=0時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為二—「=X(Xh0).aba2b2例如：若雙曲線一條漸近線為y=1x且過p(3,—求雙曲線的方程？解：令雙曲線的方程為：^4—y2=X(X工0)，代入(3,—2)得^8-""2=匸⑹直線與雙曲線的位置關(guān)系：區(qū)域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條；區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條；區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；區(qū)域⑤：即過原點(diǎn)，無切線，無與漸近線平行的直線.小結(jié)：1.過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)量可能有0、二、3、4條.2?若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求肯定直線的斜率可用代入“△”法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號(hào).22⑺若P在雙曲線匚—上-=1，則常常利用結(jié)論a2b21：從雙曲線一個(gè)核心到另一條漸近線的距離等于b.

三、拋物線方程.3.設(shè)p0，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py圖形?▲:TK7*隹占八\、八、、F炸，0）F(-彳，0)F（巧）f?-扌）準(zhǔn)線x=-衛(wèi)2x=22py=-1py=亍范圍x>0,yeRx<0,yeRxeR,y>0xeR,y<0對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)(0,0)離心率e=1隹占八\、八、、l—F=2+x1町f-1|pf|=2+y1l—F=2+1y1注：①ay2+by+c=x極點(diǎn)(4a^-存2：P到核心的距離為m=2：P到核心的距離為m=n,則P到兩準(zhǔn)線的距離比為m：n.簡(jiǎn)證：生=

d2PF2e②y2=2px（p豐0）則核心半徑|pF=x+—；x2=2py（p豐0）則核心半徑為亦1=2③通徑為2p,這是過核心的所有弦中最短的.④y2=2px(或x2=2py)的參數(shù)方程為2"Iy=2ptx=2pt)y=2pt2t為參數(shù)）.四、圓錐曲線的統(tǒng)一概念..4.圓錐曲線的統(tǒng)一概念：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.當(dāng)0YeY1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)eA1時(shí)，軌跡為雙曲線；當(dāng)e=0時(shí)，軌跡為圓(e=—，當(dāng)c=0,a=b時(shí)).a注：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義1.到兩定點(diǎn)F],F2的距離之和為定值2a(2a>IF]F2l)的點(diǎn)的軌跡i.到兩定點(diǎn)f1,f2的距離之差的絕對(duì)值為定值2a(0v2av|F]F2|)的點(diǎn)的軌跡2.與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.(Ovevl)2.與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.(e>1)與定點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡.方程標(biāo)準(zhǔn)方程x2y21,——^―=1(a〉b>0)a2b2x2y2——一—=1(a>0,b>0)a2b2y2=2px參數(shù)方程(x=acos0[y=bsin0(參數(shù)e為離心角)(x=asec0[y=btan0(參數(shù)0為離心角){x:2pt2(t為參數(shù))范圍—a<x<a，—b<y<b|x|>a，yeRx>0中心原點(diǎn)O(0,0)原點(diǎn)O(0,0)頂點(diǎn)(a,0),(—a,0),(0,b),(0,—b)(a,0),(—a,0)(0,0)對(duì)稱軸x軸，y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2bx軸，y軸;實(shí)軸長(zhǎng)2a,虛軸長(zhǎng)2b.x軸隹占八\、八、、F](c,0),F2(—c,0)F1(c,0),F2(—c,0)F(彳,0)焦距2c(c=pa2—b2)2c(c=Pa2+b2)離心率e=—(0<e<1)ae=—(e>1)ae=1準(zhǔn)線a2x=土ca2x=土cx=-匕2漸近線by=土一xa焦半徑r=a土exr=土(ex土a)r=x+匕2通徑2b2a2b2a2P焦參數(shù)a2ca2cP圓錐曲線一.大體概念練習(xí)：1、已知點(diǎn)P在拋物線y2二4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2,—l）的距離與點(diǎn)P到拋物線核心距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為2、已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0,2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為3、拋物線y=ax2（a豐0）的核心坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是。核心和準(zhǔn)線的形式統(tǒng)一性二、各類不同的考法考點(diǎn)一：考方程形式練習(xí)：一、m>n>0”是”方程mx2+ny2=1表示核心在y軸上的橢圓”的（）（A）充分而沒必要要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也沒必要要條件高TOC\o"1-5"\h\zx2y21二、設(shè)橢圓一^―=1（m>0,n>0）的核心與拋物線y2=8x的核心相同，離心率為怎，則此m2n22橢圓的方程為—3、曲線mx2+y2=1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的兩倍，則m二4、若是x2+ky2=2表示核心在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是x2y21五、橢圓+—=1的離心率為7；■，則k的值為k+892x2y2x2y26、當(dāng)5<m<6時(shí)，曲線+=1與曲線+=1的（）10-m6-m5-m9-mA?離心率相等B.焦距相等C.核心相同D.形狀相同考點(diǎn)二：求圓錐曲線的方程，①直譯法；②代定系數(shù)法；③概念法；④已知漸近線方程為y=kx，求雙曲線方程練習(xí)：一、兩點(diǎn)A（-2，0），B（l，0），若是動(dòng)點(diǎn)P知足IPA1=21PBI，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積是—?—?—?—?二、設(shè)meR,在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量a=（mx,y+1）,向量b=（x,y-1）,a丄b,動(dòng)點(diǎn)三個(gè)極點(diǎn),則雙曲線的離心率為三個(gè)極點(diǎn),則雙曲線的離心率為M(x,y)的軌跡為E.求軌跡E的方程，并說明該方程所表示曲線的形狀;3、已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，核心在x軸上，以兩個(gè)核心和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為極點(diǎn)的圓邊形是一個(gè)面積為8的正方形，則橢圓C的方程：4、設(shè)橢圓C的離心率為；5，核心在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26.若曲線C上的點(diǎn)到橢圓C的兩個(gè)核心的距11321離的差的絕對(duì)值等于8,則曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2五、已知雙曲線的兩個(gè)核心為F(-\5o)，F(xiàn)G5,0)，P是此雙曲線上的一點(diǎn)，且PF丄PF，1212IPFI?IPF1=2，則該雙曲線的方程12c考點(diǎn)三、考圓錐曲線的方程的核心、漸近線、長(zhǎng)短軸、離心率幺=—、核心三角形、拋物線的準(zhǔn)線方a程等大體概念：特別是求離心率(或范圍)，①取得一個(gè)關(guān)于a、b、c的等量關(guān)系式(或不等式)；②把b用a、c代替，取得關(guān)于a、c方程(或不等式)；③同除a^化為關(guān)于e方程(或不等式)；x2y2練習(xí)：一、雙曲線丁—飛-=1的漸近線與圓(X—3)2+y2=r2(r>0)相切，貝ijr=63x2y2二、橢圓〒+斗=1的核心為F,F，點(diǎn)P在橢圓上，若IPF1=4，貝川PF1=；ZFPF92121212的大小為x2y23、已知雙曲線-一=1(b>0)的左、右核心別離為F、F，其一條漸進(jìn)線方程為y=x，點(diǎn)2b2