重難點專題22 解三角形大題十四大題型匯總（解析版）-決戰(zhàn)2024年高考數(shù)學重難點題型突破（新高考通用）

重難點專題22解三角形大題十四大題型匯總（解析版）題型1正余弦定理的應用 1題型2余弦定理求最值與取值范圍 7題型3正弦定理求最值與取值范圍 11題型4不對稱結構的最值取值范圍問題 19題型5三角形中線問題 29題型6三角形角平分線問題 35題型7三角形高線垂線問題 41題型8普通多三角形問題 48題型9四邊形問題 55題型10面積最值取值范圍問題 62題型11與三角函數(shù)結合 66題型12三角形個數(shù)問題 73題型13證明問題 78題型14實際應用題 87題型1正余弦定理的應用1.若式子含有a，b，c的2次齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，"角化邊"2.面積和a，b，c2次齊次式，可構造余弦定理【例題1】（2022秋·新疆伊犁·高三?？茧A段練習）已知a、b、c分別為△ABC三個內角A、B、C的對邊，acos(1)求A；(2)若a=2，△ABC的面積為3，求b、c.【答案】(1)A=(2)b=c=2【分析】（1）在△ABC中，由acosC+3（2）由三角形面積公式結合余弦定理可得b=c=2．【詳解】（1）根據(jù)正弦定理，a變?yōu)閟inAcosC+也即sinA所以sinA整理，得3sinA-cosA=1，即所以A-π6=（2）由A=π3，S△ABC由余弦定理，得a2則b+c2=a2+3bc【變式1-1】1.（2023·全國·高三專題練習）已知在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，向量m=(sinA,(1)求角C的大??；(2)若sinA,sinC,【答案】(1)π(2)6【分析】（1）由數(shù)量積的運算結合三角函數(shù)恒等變換公式可求出角C的大??；（2）由已知條件結合正弦定理可得2c=a+b，由CA?(AB-AC)=18【詳解】（1）因為m=(所以m?因為在△ABC中，A+B=π所以sin(A+B)=sinC因為m?n=所以2sin因為sinC≠0，所以cos因為C∈(0,π)，所以（2）由sinA,可得2sin由正弦定理得2c=a+b，因為CA?(AB-所以abcosC=18，得由余弦定理得c2所以c2=4c所以c=6.【變式1-1】2.（2023秋·上海嘉定·高三上海市育才中學?？茧A段練習）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b=2，內角A，B，C滿足sin(1)求a的值；(2)求sin(2C-【答案】(1)2(2)3【分析】（1）由正弦定理直接求解；（2）先根據(jù)正弦定理求出邊長，然后由余弦定理求解cosC【詳解】（1）由asinA=bsinB得（2）由asinA=bsin所以c=2b=2，由余弦定理得所以sinC=1-coscos2C=2cos=3【變式1-1】3.（2023秋·廣東揭陽·高三普寧市第二中學校考階段練習）在△ABC中，設A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足bcos(1)求角B；(2)若b=5，△ABC的內切圓半徑r=34，求【答案】(1)B=(2)21【分析】（1）由余弦定理得到a2+c2-（2）由余弦定理和三角形面積公式求出ac=21【詳解】（1）因為bcos由余弦定理得b?b即a2所以cosB=又B∈0,所以B=（2）由余弦定理得：a2+c由三角形面積公式，12a+b+c?r=則a2所以25-ac+2ac=4ac2-20ac+25所以S△ABC【變式1-1】4．（2023秋·湖北武漢·高三武漢市第六中學校聯(lián)考階段練習）設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且2acos(1)求角A；(2)若a=7，且△ABC的內切圓半徑r=3，求△ABC的面積S【答案】(1)π3(2)103【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等變換求出cosA，即可求A(2)利用余弦定理和三角形的面積公式求出bc，即可求面積.【詳解】（1）由正弦定理得：2sin即2sin即2sin即2cos因為B∈0,π，所以sinB≠0因為A∈0,所以A=π（2）△ABC面積S=1代入a=7，r=3和A=π3由余弦定理：a2=b即b+c2①②聯(lián)立可得：bc-1422-3bc=49，解得：bc=40所以S=1【變式1-1】5.（2021秋·北京·高三景山學校?？计谥校┰凇鰽BC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若(b+c-a)(sinA+sin(1)求角B的大小；(2)在①a,b,c成等差數(shù)列，②a,b,c成等差數(shù)列，③a2【答案】(1)π(2)3【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理和余弦定理，化簡得到cosB=12（2）對于條件①：利用等差中項結合基本不等式可得b≤a+c2，再根據(jù)a2+c2-b2=ac【詳解】（1）因為(b+c-a)(sin由正弦定理的(b+c-a)(a+b-c)=ac，整理得a2所以cosB=又因為B∈(0,π)，所以（2）選擇條件①：因為a,b,由基本不等式(a+c所以2b=a又由a2+c2-整理得3a2+3c2又因為B=π3，且b=2，所以△ABC為邊長為所以S△ABC選條件②：由a,b,c成等差數(shù)列，所以2b=a+c，又由a2+c2-b2因為B=π3，且b=2，所以△ABC為邊長為所以S△ABC選條件③：由a2,b又由a2+c2-b2因為B=π3，且b=2，所以△ABC為邊長為所以S△ABC題型2余弦定理求最值與取值范圍”齊次對稱結構”余弦定理結合基本不等式構造不等關系求出答案；【例題2】（2023秋·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學考試）已知a，b，c為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，且滿足：a(1)求角A；(2)若△ABC的外接圓半徑為233，求【答案】(1)A=(2)6【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等變換的知識化簡已知條件，從而求得A.（2）利用正弦定理求得a，利用余弦定理和基本不等式求得b+c的最大值，進而求得△ABC的周長的最大值.【詳解】（1）由已知可得：sin=sinB+由于sinB>0，則有1=又0<A<π，則有-π6（2）由正弦定理可知：asinA=2R=又有余弦定理可知：a2由于b2+c2≥2bc又4=b2+從而b+c≤4（當b=c=2等號成立），則a+b+c≤6，故△ABC的周長的最大值為6.【變式2-1】1.（2024·陜西寶雞·?？家荒＃┰凇鰽BC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2acos(1)求角A；(2)若△ABC的面積為1，求a的最小值.【答案】(1)A=(2)6【分析】（1）由題設恒等式利用正弦定理將邊化為正弦，再逆用和角公式合并化簡，即可求得角A.（2）先根據(jù)面積公式求出bc=4，再代入余弦定理公式，結合基本不等式求得a的最小值.【詳解】（1）由已知2acosA?cos由正弦定理2sin所以2cosAsin又C∈0,π，所以cosA=3（2）由題12bcsin又a2=b所以，a≥即a的最小值是6-2，【變式2-1】2.（2023秋·河北·高三校聯(lián)考期末）在△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且2acos(1)求C的值．(2)若△ABC的面積為1，求△ABC的周長的最小值．【答案】(1)C(2)4+【分析】（1）由正弦定理及誘導公式求出結果；（2）由三角形面積公式、余弦定理及基本不等式求得結果.【詳解】（1）由已知2a得2sin即2sin因為A+B+C=π，所以sin所以2sin∵A為△ABC內角，∴sinA≠0∴cosC=32∴C=π（2）∵S△ABC=1則ab=4．且c2當且僅當a=b時，即a=b=2時，等號成立．∴a+b+c≥2當且僅當a=b=2時，取等號．∴△ABC周長最小值為4+6【變式2-1】3.（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一二二中學校?？奸_學考試）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若2a-bcos(1)求角C；(2)若c=2，求△ABC的面積的最大值．【答案】(1)C=(2)3【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，即可求解,（2）由余弦定理結合不等式即可求解ab的最值，由面積公式即可求解.【詳解】（1）因為2a-bcosC=ccos所以2因為A∈0,π，所以所以cosC=12，因為C∈（2）因為c2=a2+所以S△ABC當a=b時S△ABC取最大值為3【變式2-1】4.（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c.已知tanB+(1)求角B；(2)若△ABC是鈍角三角形，且a=c+2，求邊c的取值范圍.【答案】(1)π(2)(0,2)【分析】（1）由商數(shù)關系及和角正弦公式、三角形內角關系化簡整理得cosB=（2）根據(jù)已知有A為鈍角，應用余弦定理及已知條件求c的范圍即可.【詳解】（1）tanB+tanC=又sinBcosC+cosBsinC=由B∈(0,π)，故（2）由a>c，即A>C，又△ABC是鈍角三角形且B=π3，故則a2>b題型3正弦定理求最值與取值范圍采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；【例題3】（2023秋·河南洛陽·高三洛寧縣第一高級中學?？茧A段練習）在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c且sin2(1)求角A；(2)若a=43，求△ABC【答案】(1)A=(2)(8【分析】（1）利用正弦定理的邊角互化，然后用余弦定理求解；（2）用正弦定理將三角形的周長用三角函數(shù)值來表示，利用三角函數(shù)的性質求解.【詳解】（1）∵sin2B+sin由余弦定理得cosA=b2+∴A=π（2）由（1）知A=π3，又已知∵asin∴b=8sinB，b+c=8sinB+8sin由0<B<2π3故43<b+c≤83∴△ABC周長的范圍是(83【變式3-1】1.（2023秋·山西運城·高三統(tǒng)考階段練習）在①b2+c在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，．(1)求角A；(2)若a=43，求△ABC【答案】(1)A=(2)8【分析】（1）正弦定理結合余弦定理求解即可；（2）先根據(jù)正弦定理把邊轉化為角表示，結合輔助角公式計算值域即可得出周長范圍.【詳解】（1）選擇①：因為b2由余弦定理可得2bccos所以結合正弦定理可得3sin因為B∈0,π，則所以3cosA=sin因為A∈0,π，所以選擇②：因為sin2由正弦定理得b2由余弦定理得cosA=因為A∈0,π，所以（2）由（1）知A=π3，又已知∵asin∴b=8sinB，∴b+c=8=8=83∵0<B<2∴12∴43∴83【變式3-1】2.（2023·全國·高三專題練習）在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a，b，c，已知a=23且cos(1)求角A的大??；(2)若b=22，求△ABC(3)求b+c的取值范圍．【答案】(1)A=(2)3(3)6,4【分析】（1）根據(jù)題意結合三角恒等變換運算求解；（2）先利用余弦定理求得c=2（3）利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換可得b+c=43【詳解】（1）因為cosC+(且A,B∈0,π2，則sin整理得tanA=3，所以（2）由余弦定理a2=b解得c=2+6所以△ABC的面積S△ABC（3）由正弦定理asinA=則b+c=4=6sin因為△ABC為銳角三角形，且A=π3，則0<B<π則π3<B+π則b+c=43所以b+c的取值范圍為6,43【變式3-1】3.（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考階段練習）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，tanC=(1)求角C的大??；(2)若△ABC是銳角三角形，且其面積為3，求邊c的取值范圍.【答案】(1)C=(2)2,【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關系，結合正余弦函數(shù)和差角公式化簡即可；（2）由（1）知A+B=2π3，又△ABC是銳角三角形，可得π6<A<π2，根據(jù)且其面積為3可得c【詳解】（1）因為tanC=sinA+所以sinC即sinC得sinC-A所以C-A=B-C或C-A=π從而2C=A+B，又A+B+C=π，所以C=（2）由（1）知A+B=2π3，又△ABC是銳角三角形，則0<A<因為S△ABC所以c2設y=sinAsin所以y==3因為π6<A<π2，則從而c2=4,6所以邊c的取值范圍是2,6【變式3-1】4.（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學?？奸_學考試）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a,b,c，已知c(1)求A；(2)若a=6，求△ABC周長的取值范圍.【答案】(1)A=(2)12,6+6【分析】（1）利用正弦定理進行邊換角結合兩角和與差的正弦公式即可得到答案；（2）利用正弦定理、誘導公式和輔助角公式得b+c=62【詳解】（1）因為ccos根據(jù)正弦定理得sinC又sinC=所以sinC因為A,B,C∈0,所以sinC+sinB>0所以A=π（2）由（1）可知，asinA=6由A=π2，得B+C=π則b+c=6sin因為B∈0,π2則b+c∈6,62，故△ABC周長的取值范圍為【變式3-1】5.（2024秋·山東臨沂·高三校聯(lián)考開學考試）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sinA=(1)若B=π3，求(2)求C的最大值．【答案】(1)tan(2)π【分析】（1）根據(jù)三角形內角和利用三角恒等變換可得tanA=（2）利用正弦定理由大邊對大角可限定C∈0,【詳解】（1）根據(jù)題意可知，若△ABC中B=π3，則A+C=2π又sinA=2sin即sinA=2sin解得tan所以tan（2）由正弦定理可知a=2c，顯然a>c，所以即角C不是最大角，因此可知C∈0,又sinA=2sinC≤1可得所以C的最大值為π4【變式3-1】6.（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中學校聯(lián)考開學考試）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足asin(1)求角A；(2)若△ABC為銳角三角形，求4sin【答案】(1)A=π3(2)-1,2【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再結合和差公式求解可得；（2）利用三角恒等變換公式化簡，根據(jù)銳角三角形性質求得B的范圍，再由正弦函數(shù)性質可得.【詳解】（1）∵asin∴sin∵A∈0,∴∴∴A=π3（2）∵△ABC是銳角三角形，∴A=則4=4=2sin∵△ABC是銳角三角形，∴2π3∴2B+π∴sin∴4sin2B-4題型4不對稱結構的最值取值范圍問題巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.【例題4】（2022·全國·高三專題練習）在①2sinA-sinB=2sinCcosB問題：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且____．(1)求角C；(2)若c=2，求2a-b的取值范圍．【答案】(1)π(2)-2,4【分析】（1）選①利用三角形內角和定理與兩角和的正弦公式求出C=π3，選②利用正弦定理和余弦定理求出C=π3，選（2）利用正弦定理得a=4【詳解】（1）若選①：2sin則2sin∴2∴2∵B∈0,π，∴cosC=12，∵C∈0,若選②：a+csin由正弦定理得a+ca-c∴a2∴cosC=∵C∈0,π，∴若選③：S△ABC則12由正弦定理得12∴∴a2∴cosC=∵C∈0,π，∴（2）由正弦定理得asina=4則2a-b=8=23∵A∈0,2π3，A-∴2a-b∈-2,4【變式4-1】1.（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第一二〇中學?？茧A段練習）在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對的邊，已知a=1,m=1,-(1)若△ABC的面積為34，求b+c(2)求c-2b的取值范圍.【答案】(1)2(2)-2,1【分析】（1）根據(jù)垂直向量數(shù)量積為0求解可得A=π（2）由正弦定理結合三角恒等變換可得c-2b=-2cos【詳解】（1）由m⊥n可得sinA-3cosA=0，故又0<A<π，故A=由三角形面積公式可得S△ABC=1由余弦定理可得a2=b2+（2）由（1）A=π3，故bsinB=故c-2b====cos因為A=π3，故0<C<2π3，故故c-2b的取值范圍為-2,1【變式4-1】2.（2023秋·廣東深圳·高三深圳市建文外國語學校?？茧A段練習）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且43(1)求cosB(2)求b2【答案】(1)cos(2)25【分析】（1）根據(jù)已知等式結合余弦定理可求出cosB（2）由（1）可得b2=a【詳解】（1）因為43所以43由余弦定理得b2所以43ac?cos（2）由（1）知cosB=35所以b2因為a2+c所以b2a2所以b2a2【變式4-1】3.（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學?？茧A段練習）已知△ABC內角A，B，C的對邊為a，b，c，且c=2a-b(1)求角B的大??；(2)若△ABC為銳角三角形，求a2【答案】(1)B=(2)5【分析】（1）利用余弦定理化簡得ac=a2-b2+c【詳解】（1）由余弦定理cosC=a2化簡得ac=a2-又B∈0,π，所以（2）由（1）A+C=π-B=2π3，因為△ABC由正弦定理可得：a2因為sin=1+12cosπ3-2A-因此sin2A+sin所以a2+c【變式4-1】4.（2023秋·河北保定·高三校聯(lián)考開學考試）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a+bc(1)求角A的大?。?2)若D為BC上一點，∠BAD=∠CAD，AD=3，求4b+c的最小值.【答案】(1)A=(2)27【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，結合余弦定理求得正確答案.（2）利用三角形的面積公式列方程，結合基本不等式求得4b+c的最小值.【詳解】（1）依題意，a+bc由正弦定理得a+bcc2+b所以A是鈍角，所以A=2π（2）∠BAD=∠CAD=1S△ABC=S即bc=3c+b所以4b+c=4b+c當且僅當12bc【變式4-1】5.（2023秋·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開學考試）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，面積為S，已知b2(1)求A的值；(2)若BC邊上的中線AD=1，求△ABC【答案】(1)π(2)2【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式及正弦定理化簡b2=23S（2）先根據(jù)AD為BC邊上的中線得到2AD=AB+AC，即b2+c2【詳解】（1）∵△ABC面積為S，∴S=12ab得b2b=3由正弦定理得：sinB=sinA+CsinAcos∴tan∵0<A<π，∴A=π（2）∵BC邊上中線AD=1∴2AD∴4AD得b2+c(b+c)2=4+bc，且b2+c0<bc≤43，當且僅當又∵∠C=π3a2∴a=4-2bc∴a+b+c=4-2bc設fxf'設gxg'∴gx在0,又∵g0=-2，∴gx∴fx在0,則fx最小值為f所以當bc=43時，a+b+c的最小值為故△ABC周長最小值為23【變式4-1】6.（2023秋·山東青島·高三山東省青島第五十八中學?？奸_學考試）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量p=2b,2c-a，q=1,cos(1)求B的大?。?2)求aca+c【答案】(1)π(2)3【分析】（1）由平面向量共線和正弦定理進行邊化角可得2sin（2）由余弦定理可得a2+c2-【詳解】（1）因為p=2b,2c-a，q=所以2c-a=2bcos又asinA=b所以2sin所以2sin因為A∈0,π,sinA≠0,所以cos（2）根據(jù)余弦定理a得a2+c因為ac≤(a+c)24,所以(a+c)所以3<a+c≤6(當且僅當a=c=3時取等號)，設t=a+c,則t∈(3,6],所以aca+c設f(t)=t則f(t)在區(qū)間(3,6]上單調遞增,所以f(t)的最大值為f(6)=32，所以aca+c【變式4-1】7.（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中?？奸_學考試）已知△ABC的內角A、B、C所對邊分別為(1)若A=π3，求(2)求cosA+【答案】(1)cos(2)9【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化可得a2=bc+c2，進而結合余弦定理可得b=2c，故（2）根據(jù)和差角公式以及三角函數(shù)的性質可得A=2C，即可結合余弦二倍角公式求解.【詳解】（1）由正弦定理可知a:b:c=∴∴由余弦定理可得a故c2+bc=代入A=π3，可得b=2c，故所以b2=a故cosC=（2）由（1）知b=c(1+2cos根據(jù)正弦定理得sinB=sinC(1+2所以sinA化簡可得sinAcos∵0<A<π，0<C<π，則-π∴A-C=C，或A-C+C=π所以A=2C或A=π則cos=-2=-2由A、B、C∈(0,π解得0<C<π3，則所以當sinC=14時cos題型5三角形中線問題1.可以利用向量法2.倍長中線：中線可延長，補成對稱圖形3.中線可借助補角.【例題5】（2023秋·廣西玉林·高三校聯(lián)考開學考試）在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，cosA(1)求A的大??；(2)若a=7，c=3，D為BC的中點，求AD【答案】(1)A=(2)AD=【分析】（1）利用正弦定理結合兩角和的正弦公式化簡可得出cosA的值，結合角A的取值范圍可得出角A（2）利用余弦定理可得出關于b的方程，結合△ABC為銳角三角形可求出b的值，利用平面向量的線性運算可得出AD=12【詳解】（1）解：因為cosAcosC所以，2sin因為B∈0,π2，所以sin因為0<A<π2，所以（2）解：在△ABC中，因為a2所以72=b2+3當b=1時，cosC=b2當b=2時，cosC=b2+a因為D為BC的中點，則AD=所以，AD=194，故【變式5-1】1.（2023秋·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習）在△ABC中，內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且滿足a+c=b3(1)求B；(2)若b=3，且△ABC的面積為3，BD是△ABC的中線，求BD的長.【答案】(1)B=(2)17【分析】（1）根據(jù)正弦定理、輔助角公式等知識化簡已知條件，從而求得B.（2）利用三角形ABC的面積求得ac，結合余弦定理、向量的模、數(shù)量積等知識求得BD的長.【詳解】（1）因為a+c=b3由正弦定理可得sinA+即sinA+即sinA+又因為sinA>0，所以3sinB-又因為B∈0,π，所以所以B-π6=（2）因為S△ABC=3，所以1由余弦定理得：a2又BD=所以|BD得BD=172，故BD【變式5-1】2.（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習）在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且sinC-A(1)證明：ba(2)點D是線段AB的中點，且CD=6,AD=2，求【答案】(1)證明見解析(2)10【分析】（1）根據(jù)題意，結合三角恒等變換的公式和正弦定理，化簡得到sinB=2（2）根據(jù)題意，得到CD=12【詳解】（1）證明：因為sinC-A由sinC-A可得sin所以sinCcosA+cosC又由正弦定理，可得b=2a，所以ba（2）解：因為點D是線段AB的中點，所以AD=DB，可得則CD2由余弦定理得c2又由（1）知，b=2a,CD=6,AD=2，則聯(lián)立方程組a2+2a2+2a?2a所以△ABC的周長為a+b+c=2+4+4=10．故△ABC的周長為10．

【變式5-1】3.（2023秋·貴州貴陽·高三統(tǒng)考開學考試）在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．①2acosB+b-2c=0；②cosCcos在以上三個條件中選擇一個，并作答．(1)求角A；(2)已知△ABC的面積為3，AD是BC邊上的中線，求AD的最小值．【答案】(1)條件選擇見解析，A=(2)3【分析】（1）選①，利用余弦定理化簡可得出cosA的值，結合角A的取值范圍可得出角A的值；選②，利用正弦定理結合三角恒等變換可得出sinA的值，結合角A的取值范圍可得出角A的值；選③，利用已知等式結合兩角和的正切公式、誘導公式可得出tanA的值，結合A（2）利用三角形的面積公式可得出bc的值，利用平面向量的線性運算可得出2AD=AB【詳解】（1）解：若選①，因為2acosB+b-2c=0，即則a2+c2-因為A∈0,π2若選②，原式等價于cosCcosB即3sin因為A、B∈0,π2，則0<2B<π，所以，sin2B>0若選③，原式等價于3tan即-所以，-tanB+tanC1-因為A∈0,π2（2）解：因為S△ABC=1因為D為BC的中點，則AD=所以，2AD則4≥2bc+bc=3bc=12，則AD≥當且僅當b=cbc=4時，即當b=c=2因此，AD長的最小值為3【變式5-1】4.（2023秋·廣東揭陽·高三校考階段練習）在△ABC中，記角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，acos(1)求角A；(2)若sinBsinC【答案】(1)2(2)3【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，結合三角形內角和以及兩角和的正弦公式化簡，即可求得答案；（2）由題意利用正弦定理角化邊可得bc=23，繼而設∠BAD=θ，利用面積關系【詳解】（1）由正弦定理得sinA因為B=π-A-C，所以所以sinA即3sin又C∈(0,π),∴sin即2sinA-π所以A-π6=（2）因為sinBsinC設∠BAD=θ，則∠CAD=2因為AD為BC邊上的中線，所以S△ABD

即12即3sinθ=2sin即2sinθ=3cosθ即tan∠BAD=題型6三角形角平分線問題角平分線如圖，在△ABC中，AD平分BAC，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c技巧1：內角平分線定理：AB技巧2：等面積法S?A技巧3：邊與面積的比值：AB技巧4:角互補：∠ABD+∠ADC=π?cos在△ABD中，在△ADC中，【例題6】（2022秋·內蒙古赤峰·高三赤峰二中校考階段練習）在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知asin(1)求角B；(2)若b=6，D為AC邊上一點，BD為角B的平分線，且BD=4，求△ABC的面積.【答案】(1)B=(2)6【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換的知識化簡已知條件，從而求得B.（2）根據(jù)三角形的面積公式、余弦定理，先求得ac，進而求得三角形ABC的面積.【詳解】（1）依題意，asin由正弦定理得sinA由于A是三角形的內角，所以sinA>0所以sinA+C2=由于0<A+C<π，所以0<所以sinA+C所以cosA+C2=（2）由余弦定理得b2由三角形的面積公式得12整理得c+a=3所以a2ac2解得ac=24，所以三角形ABC的面積為12【變式6-1】1.（2023·河北唐山·模擬預測）在△ABC中，AB=3,AC=2,D為BC邊上一點，且AD平分∠BAC．(1)若BC=3，求CD與AD；(2)若∠ADC=60°，設∠BAD=θ，求tanθ【答案】(1)CD=65(2)tan【分析】（1）一方面由角平分線定理S△ABDS△ACD=ABAC=32，另一方面S△ABDS【詳解】（1）如下圖所示：

因為AD平分∠BAC，所以S△ABDS△ACD=12?AB?AD?因此BDCD=32，又在△ABC中，AB=BC=3,AC=2，可得cosC=在△ACD中，由余弦定理可得AD2=A（2）如下圖所示：

因為AD平分∠BAC，∠DAC=∠BAD=θ，又∠ADC=60°，所以B=60°-θ,C=120°-θ，在△ABC中，由正弦定理可得ABsin120°-θ=ACsin展開并整理得332【變式6-1】2.（2023秋·江蘇淮安·高三統(tǒng)考開學考試）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D為邊BC上一點，AD=2．(1)若△ABC的面積S=2,∠ADB=π(2)若D為∠BAC的角平分線與邊BC的交點，c=2,C=π【答案】(1)a=2(2)6【分析】（1）根據(jù)題意可得△ABC的高，再根據(jù)三角形面積公式求解即可；（2）由題意設∠BAD=∠DAC=θ，再根據(jù)三角形性質可解得θ=π【詳解】（1）△ABC的高h=ADsin所以S=12BC?h=（2）因為AD是∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠DAC，設∠BAD=∠DAC=θ，則∠ADB=∠DAC+∠C=θ+π在△ABD中，因為AB=AD=2，所以∠B=∠ADB=θ+π由內角和定理，∠B+∠ADB+∠BAD=2θ+π4在△ABC中，由正弦定理得asin∠BAC【變式6-1】3.（2023秋·浙江紹興·高三浙江省上虞中學校考開學考試）在△ABC中，已知內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且a2(1)求角C；(2)若b=2，角C的平分線CD=3，求△ABC【答案】(1)π(2)3【分析】（1）根據(jù)余弦定理和正弦定理化簡題設可得sinCcosB+（2）結合角平分線利用等面積法可得a=2，進而求解即可.【詳解】（1）因為a2所以由余弦定理得2accosB2ab由正弦定理得cosB整理得sinC即sinB+C又sinA≠0，則cos∵C∈(0,所以C=π（2）因為CD為角C的平分線，所以∠ACD=∠BCD=π由S△ABC=S即12a×2×3所以S△ABC

【變式6-1】4.（2023·福建寧德·福建省寧德第一中學校考一模）在①c=12；②a問題：已知a,b,c分別為△ABC內角A,B,C的對邊，D是AC邊的中點，a=BD=4(1)求b的值；(2)若∠BAC的平分線交BC于點E，求線段AE的長.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)條件選擇見解析，b=8(2)24【分析】（1）選擇①，利用余弦定理列方程組可求b，選擇②，利用正弦定理及兩角和差公式求角A，再用余弦定理列方程組可求b；（2）先求角A，再利用三角形面積公式及等面積法即可求出線段AE的長.【詳解】（1）選擇①：設b=2x，則AD=DC=x，在△ABD中，cos∠ADB=在△BCD中，cos∠CDB=因為∠ADB+∠CDB=π，所以cos即x2-3287選擇②：由正弦定理得，sinA因為B∈0,π，所以所以sinA=即sinA=于是tanA=3，因為所以A=π設b=2x，c=y，在△ABD中，cosA=x2在△ABC中，cosA=4x聯(lián)立（i）（ii）解得，x=4，y=12，即c=12（2）選擇①：由條件及小問（1）可知，a=47，c=12則cosA=b2所以A=π由題意得，S△ABE因為AE是∠BAC的平分線，所以12所以AE=24選擇②：由小問（1）可知，A=π由題意得，S△ABE因為AE是∠BAC的平分線，所以12所以AE=24題型7三角形高線垂線問題【例題7】（2023秋·山東泰安·高三統(tǒng)考階段練習）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知A=(1)求sinC(2)若D是BC上一點，AC⊥AD，求△ABD的面積.【答案】(1)10(2)1【分析】（1）利用余弦定理求得a，利用正弦定理求得sinC（2）根據(jù)三角形的面積公式求得△ABD的面積.【詳解】（1）在△ABC中，由余弦定理a2a2=4+2+2×2×2由正弦定理asinA=（2）因為AC⊥AD，所以∠CAD=90°，C為銳角，由sinC=1010在Rt△ACD中，tanC=因為∠BAD=45°，所以S△ABD【變式7-1】1.（2023秋·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學?？奸_學考試）如圖，在△ABC中，AC?

(1)求BC的長；(2)設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積；(3)求sinB+2C【答案】(1)BC=2(2)3(3)3【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積和三角形的面積公式求出∠BAC，進而求得AB，再由余弦定理即可得解；（2）先由余弦定理求出角C，進而可求得AD，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解；（3）先由余弦定理求出角B，根據(jù)二倍角公式求出sin2C,【詳解】（1）易知AC?S△ABC=1又0<∠BAC<π，所以∠BAC=又AC?ABcos∠BAC=-4，且根據(jù)余弦定理可得BC2所以BC=27（2）由（1）知cosC=又∠BAC=2π3，所以C∈0,π3因為AD⊥AC，所以AD=∠BAD=∠BAC-π所以S△ABD即△ABD的面積為3.（3）l利用余弦定理可得cosB=又C∈0,π3由（2）可得sin2C=2sinC故sinB+2C可得sinB+2C【變式7-1】2.（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學校聯(lián)考開學考試）如圖，在△ABC中，角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，∠B=π4，滿足

(1)求sinC(2)點D在BC上，AD⊥AC，AD=6【答案】(1)6(2)3【分析】（1）由正余弦定理可求出A，利用兩角差的正弦公式求解；（2）在△ABD中，由正弦定理求解即可得解.【詳解】（1）由已知及正弦定理得：a+ba-b=cb+c由余弦定理得：cosA=b2+c故C=π所以sinC=（2）由（1）知A=2π3，又AD⊥AC，所以sin∠ADB=在△ABD中，由正弦定理得：ABsin∠ADB=【變式7-1】3.（2023秋·遼寧·高三東北育才學校校聯(lián)考開學考試）已知H為銳角△ABC的垂心，AD,BE,CF為三角形的三條高線，且滿足9HD?HE?HF=HA?HB?HC.(1)求cosA(2)求cos∠CAB?【答案】(1)1(2)1【分析】（1）先得到∠ABC=∠CHD，得到cos∠ABC=DHCH，同理得到cos（2）結合（1）中結論及cosBcosA+sin【詳解】（1）記△ABC的三個內角為A,B,C.因為H為銳角△ABC的垂心，AD,BE,CF為三角形的三條高線，所以∠ABC+∠BCH=∠BCH+∠CHD=90°，故∠ABC=∠CHD，所以cos∠ABC=同理可得cos∠BAC=cos∠BHF=

所以cos∠ABC因為9HD?HE?HF=HA?HB?HC，所以cos∠ABC（2）因為cosBcosA+故cosA?即cosA設cosAcosB=t，則t故1當cosB-A又△ABC為銳角三角形，故當A=B等號成立，所以當cosA=cosB=當cosA=cosB=因此，cos∠CAB?cos∠CBA【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關的范圍問題，或與角度有關的范圍問題，【變式7-1】4.（2024秋·安徽·高三合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試）△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,2sin2B+2sin2C+2sinBsinC+cos2B+C(1)求角A的大小；(2)若b=2,c=4，求AE的長.【答案】(1)A=(2)2【分析】（1）利用二倍角余弦公式結合正弦定理角化邊化簡可得b2（2）根據(jù)三角形面積關系可求得AD的長，解直角三角形即得答案.【詳解】（1）∵2sin∴由正弦定理可得：b2+c由余弦定理可得：cosA=∵A∈0,（2）∵S△ABC=S△ABD

∴1∵b=2,c=4,∴AD=4在Rt△AED中，AD=【變式7-1】5.（2023·全國·高三專題練習）△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c，且滿足asin(1)求A；(2)若D在BC上，a=2，且AD⊥BC，求AD的最大值．【答案】(1)A=(2)3【分析】（1）將題干條件利用誘導公式，正弦定理的邊角互化轉化成全部都是邊的關系，然后用余弦定理求解；（2）利用三角形的面積公式和基本不等式先求出面積的最大值，然后求AD的最大值.【詳解】（1）由asin(B+C)=(b-c)sin根據(jù)正弦定理可得，a2根據(jù)余弦定理可得，cosA=又A∈(0,π)，故（2）由（1）知，b2根據(jù)基本不等式，b2+c于是S△ABC=1另一方面，S△ABC故AD的最大值為3

題型8普通多三角形問題高的處理方法：1.等面積法：兩種求面積公式如S=2.三角函數(shù)法：在Δ【例題8】（2023·全國·河南省實驗中學?？寄M預測）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知c=2acos(1)求A；(2)若D是BC上的一點，且BD:DC=1:2,AD=2，求a的最小值．【答案】(1)A=(2)6【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡可得sinC=（2）根據(jù)平面向量基本定理可得AD=2AB+AC3，再兩邊平方可得【詳解】（1）∵c=2acos∴∴又0<2A-B<π，則C=2A-B或C+2A-B=若C=2A-B，則A=π若C+2A-B=π，則A=2B，又A≤B綜上所述A=π（2）∵2∴b2+4c2①÷②得：36令cb=x，又∴c≤b,∴0<c令f令6x-3=t,x=t+3令gt當t=0時gt=4，當t≠0時由對勾函數(shù)性質可得當0<t≤3時，y=t+27t為減函數(shù)，故同理當t<0時t+27∴1<g所以當三角形ABC為等邊三角形時a最小，最小值為6【變式8-1】1.（2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習）已知△ABC的三個內角A，B，C對應的三條邊分別為a，b，c，且有：sinA(1)求角B的大?。?2)設AC=9，若點M是邊AC上一點，且AM=12MC，AM=MB【答案】(1)B=(2)9【分析】（1）利用內角和定理與兩角和的正弦化簡等式即得；（2）用向量方法表示BM=23BA+13BC，兩邊平方并結合余弦定理建立【詳解】（1）依題意得，sinA則有2sin故：2sin即：2cos因為C∈0,π，所以sinC≠0又B∈0,π，所以（2）如圖，由AM=12MC，所以AM=3，MC=6在△ABC中，由余弦定理得b2即a2+又由于2AM所以BM=兩邊平方得BM2即9=49c2②－①得3c2=3ac，所以a=c，代入①在△BMC中，BM所以△BMC是以∠MBC為直角的三角形，所以△BMC的面積為12由于AM=12MC故△ABM的面積為93

【變式8-1】2.（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考模擬預測）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且5cos(1)求sinB(2)若a=5,c=2,D是線段AC上的一點，求BD的最小值．【答案】(1)4(2)8【分析】（1）根據(jù)余弦二倍角公式，再結合同角三角函數(shù)關系求值即可；（2）先根據(jù)余弦定理求邊長再應用面積公式求高即得最小值.【詳解】（1）因為5cos所以52所以5cos即5cosB+因為0<B<π，所以sin（2）由余弦定理可得b2＝a設△ABC的邊AC上的高為h．∵△ABC的面積S=1∴12解得h=8∵B是銳角，∴當BD⊥AC時，垂足在邊AC上，即BD的最小值是h=8【變式8-1】3.（2023·河南·統(tǒng)考模擬預測）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且3(b-a(1)求A；(2)點D在線段AC上，且AD=13AC，若△ABD的面積為3【答案】(1)A=(2)BD=【分析】（1）先利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角形內角和定理結合兩角和得正弦公式化簡即可得解；（2）先根據(jù)三角形的面積公式及已知求出b,c，再利用余弦定理即可得解.【詳解】（1）因為3(b-a由正弦定理得3(即3sin即3cos又sinC>0，所以tan又A∈0,π，所以（2）由S△ABD=1又b+c=6，則c=6-b，則b6-b=9，解得b=3，所以則AD=1，所以BD所以BD=7【變式8-1】4.（2024秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習）在△ABC中，A+B=11C，AB=6(1)若cosA=45(2)若A=2C，D為AB延長線上一點，E為AC邊上一點，且AE=3，DE=7，求【答案】(1)BC=(2)4【分析】（1）根據(jù)三角形內角和定理，結合兩角差的正弦公式、正弦定理進行求解即可；（2）利用余弦定理、三角形面積公式進行求解即可.【詳解】（1）在△ABC中，A+B+C=π，因為A+B=11C，所以C=則sinC=因為cosA=45由正弦定理得BCsinA=（2）由（1）知C=π12，則在△ADE中，由余弦定理得DE代入數(shù)據(jù)，得7=3+AD2-23AD×所以△BDE的面積為：12【變式8-1】5.（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中?？奸_學考試）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cosB(1)求角B的大??；(2)若點D為邊BC的中點，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，∠EDF=π3，b=c=4.設∠BDE=α，△DEF的面積為S，求【答案】(1)π(2)3【分析】（1）首先邊角互化，將邊轉化為三角函數(shù)，再根據(jù)三角恒等變形，即可求解；（2）首先結合正弦定理，利用三角函數(shù)分別表示DE,DF，再表示三角形的面積，根據(jù)三角恒等變形，以及三角函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】（1）由cosB-cos整理得2sin因為A∈0,π，所以sinA≠0，所以cosB=1（2）由B=π3及b=c=4可知△ABC為等邊三角形，∴a=4，∴D為邊BC的中點，又因為∠EDF=π3，∠BDE=α，所以

在△BDE中，∠BED=2π3-α，由正弦定理可得，在△CDF中，∠CFD=α，由正弦定理可得，DFsinC=所以S==33因為π6≤α≤π2，所以2α-π所以S∈3,33題型9四邊形問題四邊形，一般適當?shù)倪B接對角線，分解為有公共邊倆三角形.如果是有外接圓，則要充分運用對角互補這個隱形條件【例題9】（2023秋·海南省直轄縣級單位·高三校考開學考試）如圖，已知平面四邊形ABCD存在外接圓（即對角互補），且AB=5，BC=2，cos∠ADC=(1)求△ABC的面積；(2)若DC=DA，求△ADC的周長.【答案】(1)3(2)3【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD存在外接圓的幾何性質可得cos∠ABC，利用平方關系可得sin∠ABC，再根據(jù)面積公式可得（2）在△ABC中，根據(jù)余弦定理求解AC的長，在△ADC中，由余弦定理可得DA,DC，從而得△ADC的周長．【詳解】（1）因為平面四邊形ABCD存在外接圓，所以∠ABC=π-∠ADC，又因為∠ABC∈0,π，所以所以△ABC的面積S△ABC（2）在△ABC中，由余弦定理得AC解得AC=35在△ADC中，由余弦定理得AC即45=DA2+D所以△ADC的周長為AC+CD+DA=35【變式9-1】1.（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠A=135°，AB=2，∠ABD的平分線交AD于點E，且BE=22

(1)求∠ABE及BD；(2)若∠BCD=60°，求△BCD周長的最大值．【答案】(1)∠ABE=15°，BD=2(2)6+6【分析】（1）在△ABE中，利用正弦定理求出sin∠AEB，從而求出∠AEB的大小，從而求出∠ABE的大小，再根據(jù)BE是∠ABD的平分線可得△BDE是等腰三角形，從而可得DE長度，在△BDE中，利用余弦定理即可求BD；（2）設BC=m，CD=n．在△BCD中，利用余弦定理得m，n的關系式，，再結合基本不等式即可求出m＋n的最大值，從而可求△BCD周長的最大值．【詳解】（1）在△ABE中，由正弦定理得sin∠AEB=又∠AEB<∠A，則∠AEB=30°，于是∠ABE=180°-135°-30°=15°，∵BE為角平分線，∴∠DBE=15°，∴∠BDE=15°，∴BE=DE=22在△BDE中，根據(jù)余弦定理得B∴BD=23（2）設BC=m，CD=n．在△BCD中，由余弦定理得43即有m+n2=16+83∴m+n≤43當且僅當m=n=23∴△BCD周長的最大值為6+63【變式9-1】2.（2022秋·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=23，∠BAC=30°

(1)若CD=3，求BD(2)若∠CBD=30°，求tan∠BDC【答案】(1)13(2)tan∠BDC=11【分析】（1）由銳角三角函數(shù)求出∠ACD、BC，再由余弦定理計算可得；（2）設DC=x0<x<23，∠BDC=α，即可得到AD，再在△ABD、△BCD中利用正弦定理得到cosα=212-x【詳解】（1）在Rt△ACD中，cos∠ACD=CD在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAC=所以∠DCB=∠ACB+∠ACD=150°，在△BCD中由余弦定理BD即BD所以BD=13（2）由已知可得∠ABC=60°，又∠CBD=30°，所以∠ABD=30°，AB=BC設DC=x0<x<23，∠BDC=α，則AD=在△ABD中由正弦定理ADsin∠ABD=ABsin在△BCD中由正弦定理DCsin∠CBD=BCsin又sin2α+cos2α=1，所以1由tanα=當x2=9-當x2=9+所以tan∠BDC=11+【變式9-1】3.（2023秋·湖南永州·高三校聯(lián)考開學考試）如圖，△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，△ABC外一點D（D與△ABC在同一平面內）滿足∠BAC=∠DAC，AB=CD=2，sin∠ACB+

(1)求B；(2)若△ABC的面積為2，求線段AD的長.【答案】(1)3π(2)4【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結合三角恒等變換即可化簡得sin∠ABC-（2）根據(jù)面積公式可得a=22【詳解】（1）因為sin∠ACB+cos∠ACB=即sin∠ABC=2即sin∠ABC又∠ACB∈0,π，sin∠ACB>0，故sin所以2sin∠ABC-π因為∠ABC∈0,π，∠ABC-π4∈（2）因為△ABC的面積S=2，所以S=2=1即22a=2，由余弦定理得AC=c所以cos∠CAB=因為AC平分∠BAD，所以cos∠CAD=AD

【變式9-1】4.（2023秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，△BCD為等腰三角形，BC=3，點A，E在△BCD外，且DE=4，∠BCD=∠CDE=∠BAE=

(1)求BE的長度；(2)求AB+AE的最大值．【答案】(1)BE=5(2)10【分析】（1）易得∠BDE=π2，由余弦定理求BD，在Rt△BDE（2）在△BAE中由余弦定理，結合基本不等式可得【詳解】（1）在△BCD中，BC=CD=3，由余弦定理得：B∴BD=3，又BC=CD，∴∠CBD=∠CDB=π6，又∴∠BDE=2π在Rt△BDE中，BE=（2）在△BAE中，∠BAE=2π3，由余弦定理得BE2=A故AB+AE2-25=AB?AE≤AB+AE∴AB+AE≤1033∴BA+AE的最大值為103題型10面積最值取值范圍問題【例題10】（2023秋·湖南益陽·高三統(tǒng)考階段練習）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，c=4，且a-bsin(1)求cosC(2)求△ABC面積的最大值.【答案】(1)1(2)4【分析】（1）利用邊化角，并結合余弦定理即可求解.（2）由三角形面積公式S=12ab【詳解】（1）因為a-bsinA+b+csin有a-ba+b+cb=所以由余弦定理可得cosC=（2）由（1）可知a2+b2-利用基本不等式得16=a2+b2又由（1）可知cosC=12綜上所述：S=12absinC≤【變式10-1】1.（2023秋·上海黃浦·高三格致中學?？奸_學考試）△ABC的內角A、B、C的對邊分別為(1)求B；(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.【答案】(1)B=π(2)(3【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正余弦定理邊化角結合和角的正弦求解作答.（2）由正弦定理用角C的三角函數(shù)表示出三角形面積，再借助三角函數(shù)性質求解作答.【詳解】（1）在△ABC中，由bcosC=2a-c即2sinAcosB=sin(B+C)=sin所以B=π（2）在銳角△ABC中，B=π3，則A=2由正弦定理得asinA而0<C<π20<2π3-C<π2于是△ABC面積S△ABC所以△ABC面積的取值范圍是(3【變式10-1】2.（2023秋·河南焦作·高三統(tǒng)考開學考試）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠BAD=90°，D=60°，AC=4，CD=3.

(1)求cos∠CAD(2)若AB=5【答案】(1)37(2)BC=【分析】（1）利用正弦定理及同角三角函數(shù)基本關系即可求解；（2）利用誘導公式求出cos∠BAC【詳解】（1）在△ACD中，由正弦定理得CDsin∠CAD=所以sin∠CAD=338.由題設知（2）由題設及（1）知，cos∠BAC=在△ABC中，由余弦定理得BC所以BC=7【變式10-1】3.（2023·河北唐山·遷西縣第一中學?？级＃┰阡J角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b．c．已知asin(1)求A；(2)若a=3，求△ABC【答案】(1)A=(2)6+3【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結合余弦函數(shù)的單調性進行求解即可；（2）利用余弦定理，結合基本不等式、三角形面積公式進行求解即可.【詳解】（1）由正弦定理得sinA因為0<B<π2，所以故sinA=-因為0<A<π2，所以π2函數(shù)y=cosx在π2解得A=π（2）由余弦定理a2得3=b即bc≤32-3故△ABC面積的最大值為12【變式10-1】4.（2023秋·河北邯鄲·高三統(tǒng)考階段練習）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知c=2asin(1)求sin2A(2)若a=2，求△ABC面積的最大值.【答案】(1)3(2)2+【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的邊轉化為角的正弦，化簡整理可求得sinA-cosA=（2）利用余弦定理表示出b2【詳解】（1）因為c=2asinC-2ccos得sinC=2因為C∈0,π,∴sin所以(sinA-cos即sin2A=（2）由（1）知sinA-cosA=所以A∈0,π2，可得sin有sinA-cosA=得S△ABC由余弦定理得，cosA=b2得b2+c即bc≤8得S△ABC≤1題型11與三角函數(shù)結合【例題11】（2023春·海南?？凇じ呷y(tǒng)考期中）已知函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,φ<(1)求fx(2)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A=π3，a=fA，且△ABC的面積為3【答案】(1)f(x)=2(2)1+【分析】（1）先由fx圖象的相鄰兩條對稱軸之間距離求出ω,再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對稱中心可求出φ，求出f（2）根據(jù)a=fA求出a=1，再由面積為312求出bc=1【詳解】（1）因為fx圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2，所以T2所以ω=2πTfx的圖象的一個對稱中心為5π12,0,2×5π12因為|φ|<π2，所以所以f(x)=2sin（2）由（1）知，f(x)=2sin因為A=π3，所以因為△ABC的面積為312,所以S=因為a2=b所以1=(b+c)2-1所以a+b+c=1+2，即△ABC【變式11-1】1.（2023秋·四川眉山·高三?？奸_學考試）已知向量m=cosx,sinx，(1)求函數(shù)fx(2)設a，b，c分別為△ABC的內角A，B，C的對邊，若fA=2，b+c=22，△ABC的面積為1【答案】(1)kπ-(2)a=【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積公式及三角恒等變換得到fx（2）在（1）基礎上，求出A=π6，結合三角形面積公式求出【詳解】（1）∵m=cos∴f==令2kπ-π解得kπ-π∴fx的單調遞增區(qū)間是kπ（2）由（1）知：f∵fA∴sin2A+∵0<A<π∴0<2A<2π∴π∴2A+π∴A=π∵△ABC的面積為12∴12bc∵b+c=22∴由余弦定理得a=∵a>0，∴a=4-2綜上所述，結論是：a=3【變式11-1】2.（2023秋·廣東佛山·高三?？茧A段練習）已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，fx=4cos(1)求角A；(2)若點D在BC上，滿足BC=3DC，且AD=7，AB=【答案】(1)A=(2)C=【分析】（1）利用三角恒等變換可得f(x)=2sin2x-π（2）由向量加減、數(shù)乘的幾何意義得AD=13AB+23【詳解】（1）由f=23由題意及三角函數(shù)的性質知：2A-π6=π2∴A=π

（2）如圖所示，易得AD=∴AD2由余弦定理得：a2=b顯然a2+c2=【變式11-1】3.（2024秋·浙江·高三舟山中學校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,(1)求函數(shù)fx(2)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若afC2+π6+c=2b，【答案】(1)kπ-π3(2)13【分析】（1）先根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式，再由三角函數(shù)的性質即可得出結論；（2）根據(jù)正余弦定理、誘導公式以及面積公式運算即可得出結論；【詳解】（1）由題意知，2πω=又fπ則π3+φ=2kπ+π2，k∈Z，所以φ=2k則fx由三角函數(shù)的性質可得：2x+π6∈解得：kπ-π3≤x≤k∴fx的單調遞增區(qū)間為kπ-（2）由afC2+π6結合正弦定理得，2sin即sinC2cosA-1=0，又sin又A∈0,π，所以A=π3，則由余弦定理有，a=b【變式11-1】4.（2023秋·浙江·高三浙江省春暉中學校聯(lián)考階段練習）已知fx(1)求fx(2)在△ABC中，角A,B,C所對的邊為a,b,c．若fA=3【答案】(1)k(2)2,4【分析】（1）先根據(jù)降冪公式及輔助角公式化一，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調性即可得解；（2）先求出角A，再根據(jù)正弦定理結合三角函數(shù)的性質即可得解.【詳解】（1）f=1-令2kπ+π所以fx的增區(qū)間為k（2）由fA=3由A∈0,π，得所以2A+π6=因為asin所以b=4則b+2c=4cos因為B∈0,π3所以b+2c∈2,4【變式11-1】5．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π在一個周期內的圖象如圖所示，將函數(shù)

(1)求gx(2)在△ABC中，若gA=-3，AB=2，AC=5【答案】(1)g(2)BC=【分析】（1）由fx的圖象可得T2=12×2πω=5π12（2）由gA=-3可求出角A【詳解】（1）由圖象可知T2=1又因為最高點是-π12,2，所以-即φ=2π3又因為0<φ<π，所以k=0，φ=所以fx將函數(shù)fx的圖象向左平移π3個單位長度得到再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)gx（2）因為gA=-2sin又A∈0,π，所以所以A+π3=由余弦定理，得BC所以BC=19題型12三角形個數(shù)問題【例題12】（2022秋·山東·高三利津縣高級中學校聯(lián)考階段練習）已知△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，三邊a，b，c與面積S滿足關系式：43S-b2=c2-a【答案】選①,有兩個解；若選②，有一個解；若選③，無解.【分析】由43S-b2=c2【詳解】解：因為43S-b所以12所以3sin所以A=30°，即有sinA=若選①：b=23因為bsin3<2<2即bsin若選②：b=4，因為bsin即bsin若選③：b=32因為bsin即a<bsin【變式12-1】1.（2022·河南開封·統(tǒng)考三模）已知△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，AB=4.(1)求AC；(2)若D為BC邊上一點，給出三種數(shù)值方案：①AD=3；②AD=15；③AD=21.判斷上述三種方案所對應的△ABD的個數(shù)（不需說明理由），并求三種方案中，當△ABD【答案】(1)2(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)正弦定理求解即可；（2）根據(jù)所給AD的長與AO,AB的關系確定解得個數(shù)，有解時根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】（1）由正弦定理得：ABsinC=ACsin（2）過A作BC的垂線AO，垂足為O，則AO=4sin①AD=3<23，此時滿足條件的△ABD②AD=15，因為26>4，2③AD=21，因為4<21<2在③的情況下，由余弦定理得：AD即21=16+BD2-8BD×【變式12-1】2.（2022·全國·高三專題練習）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知acosC+ccosA=3(1)求a；(2)請從下面的三個條件中任選一個，探究滿足條件的△ABC的個數(shù)，并說明理由.條件：①S=312a2+注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)a=(2)選①，滿足條件的△ABC的個數(shù)為2；選②，滿足條件的△ABC的個數(shù)為1；選③，不存在滿足條件的三角形；理由見解析【分析】（1）利用余弦定理化簡已知條件，由此求得b,a.（2）選①，利用三角形的面積公式化簡已知條件，求得tanB，進而求得B，利用正弦定理求得A有兩個解，從而得出結論.選②利用正弦定理化簡已知條件，求得B，利用正弦定理求得A有一個解，從而得出結論.選③，結合三角恒等變換求得B，利用正弦定理求得sin【詳解】（1）因為acosC+ccos解得b=3，所以a=（2）選擇①，因為S=312a所以12acsin又0<B<π，故B=由asinA=因為a>b，所以A=π4或A=3選擇②，因為bcosA+22a=c化簡得22因為sinA≠0，所以cosB=2由asinA=bsinB，得選擇③，因為bsinA=acos又sinA≠0，所以sin所以sinB=32又0<B<π，故B=由asinA=【變式12-1】3.（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）△ABC的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點O為△ABC的內心，記△OBC，△OAC，△OAB的面積分別為S1，S2，S3，已知(1)在①acosC+ccosA=1；②4sinBsinA+(2)若△ABC為銳角三角形，求△ABC面積的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）由題意，根據(jù)△ABC的內切圓的性質可得a2+c2-b2=ac，選①，根據(jù)余弦定理可得a2+4-1=2a，方程無解即△ABC不存在；選②，根據(jù)正弦定理可得a=2b，由a2+c2-（2）由三角形的面積可得S=32BC【詳解】（1）設△ABC的內切圓半徑為r，因為S1所以(12ar)所以cosB=a2+c選擇①，因為acosC+ccos因為a2+c2-整理得a2方程無實數(shù)解，所以△ABC不存在．選擇②，因為4sinBsin因為sinA≠0，所以sinA-2sin因為a2+c2-整理得3b2-4b+4=0選擇③，由1-2cosAsin所以sinA+sinB=2sin(A+B)因為以a2+c所以a2+4-b2=2a所以△ABC存在且唯一，△ABC的周長為a+b+c=6．（2）由（1）知，B=π3，△ABC面積因為ABsinC==因為△ABC為銳角三角形，所以0<C<π2，0<2所以tanC>33，所以0<1tan所以BC的取值范圍為(1,4)，而△ABC面積S=3題型13證明問題【例題13】（2024秋·福建漳州·高三統(tǒng)考開學考試）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且asin(1)求A；(2)若D為邊BC上一點，且BD=13BC，AD=【答案】(1)A=(2)證明見解析【分析】（1）結合正弦定理、誘導公式及二倍角公式化簡求解即可；（2）解法一：根據(jù)向量運算可得AD=23解法二：直接利用余弦定理結合cos∠ADB+【詳解】（1）因為asin所以sinA因為sinB>0，所以sinA=cos又cosA2≠0又0<A2<π2（2）解法一：因為AD=所以AD2即b2+2bc-8c2=0因此a2又b=2c，所以b2所以B=90°，所以△ABC為直角三角形.解法二：因為∠ADB=π-∠ADC，所以所以AD又BD=13BC=所以43即6c又a2所以6c即8c2-2bc-所以b=2c，所以a2因此b2所以B=90°，所以△ABC為直角三角形.【變式13-1】1.（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acos(1)證明：b=acos(2)若cosB=34，c=2【答案】(1)證明見解析(2)214+6【分析】（1）由正弦定理及兩角和正弦公式化簡，再利用正弦定理化簡即可證明；（2）結合（1）的結論，利用余弦定理求出a，利用同角三角函數(shù)關系求出sinB=【詳解】（1）因為acosB=ccos所以sinA由asinA=（2）由（1）及cosB=34知b=由余弦定理b2=a2+解得a=24+827或a=24-82當a=24+827當a=24-827【變式13-1】2.（2023秋·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習）在△ABC中，∠BAC=60°，△ABC的面積為103，D為BC的中點，DE⊥AC于點E,DF⊥AB于點F

(1)求△DEF的面積；(2)若AD=1292，求【答案】(1)15(2)sin【分析】（1）由題意，可得∠FDE=120°，∴S△DEF=12DE?DF?sin120o=34DE?DF（2）延長AD到點Q，使AD=DQ，連接CQ，在△AQC中，利用余弦定理可得BC，在△ABC中由正弦定理可求得結果.【詳解】（1）在四邊形AFDE中，∠BAC=60°，∠DFA=∠DEA=90故∠FDE=120°，故S△DEF作BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，

又D為BC的中點，則DE=1DF=1故S△DEF（2）設△ABC的三條邊BC，AC，AB分別為a，b，c，由S△ABC=1延長AD到點Q，使AD=DQ，連接CQ，則AQ=129，∠ABC=∠BCQ則在△AQC中，∠ACQ=120o，故由b2+c2+bc=129與bc=40b2+c由正弦定理得b+csin則sin∠ABC+【變式13-1】3.（2023秋·山東·高三沂源縣第一中學校聯(lián)考開學考試）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,?(1)證明：cosC=(2)若b2=ac，求【答案】(1)證明見解析(2)5【分析】（1）由兩角和與差的正弦公式化簡，結合正弦定理可證明結論；

（2）由已知條件結合余弦定理求出ca的值，再由余弦定理求cos【詳解】（1）△ABC中sinA=由2sinC=sin所以2sin所以2sinC=2sin結合正弦定理，所以cosC=（2）由（1）知：cosC=所以2ac=ac+a2-c2解得ca=5所以cosB=【變式13-1】4.（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且3acosB=2c，(1)證明：tanA=2(2)若a2+b【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）由正弦定理化邊為角，結合兩角和的正弦公式求解；（2）由余弦定理求出cosC，進而得tanC=-3，即tanA+B=3，由兩角和的正切公式結合tanA=2tanB解得tanB，進而得【詳解】（1）△ABC中，3acosB=2c，由正弦定理得∵A+B+C=π，∴C=∴3sin∴sinA∴tanA=2（2）∵a2∴由余弦定理得，cosC=∵C∈0,π，cosC<0，∴C∈∴tanC=-3，即tanπ-∴tanA+tanB∴3tanB1-2又C∈π2,π，從而A,B∈0,∴tanA=1，又A∈0,π由正弦定理得asinA=csin由B∈0,π2，tanB=sin∴S△ABC【變式13-1】5.（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預測）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2bsin(1)求證：sinB，sinA，(2)求tanA【答案】(1)證明見解析(2)3．【分析】（1）由三角恒等變換化簡可得tanA2=sinA1+cos（2）由（1）中結論可得a=b+c【詳解】（1）證明：因為tanA2=所以2bsin即2bsin由正弦定理，得2bc1+又由余弦定理，得2bc1+即b2則b+c=2a，即sinB+所以sinB，sinA，（2）由sinB+sinC=2又cosA=b2+c因為0<A<π，所以0<A≤則tanA的最大值為3【變式13-1】6.（2023秋·江蘇·高三淮陰中學校聯(lián)考開學考試）如圖，在△ABC內任取一點P，直線AP、BP、CP分別與邊BC、CA、AB相交于點D、E、F．

(1)試證明：BD(2)若P為重心，AD=5,BE=4,CF=3，求△ABC的面積．【答案】(1)證明見解析(2)8【分析】（1）利用正弦定理及角的互補關系即可證結論；（2）由題意AD,BE,CF為中線，可得AP=103,PD=53,BP=83,PE=43【詳解】（1）△ABD中ABsin∠ADB=△ACD中ACsin∠ADC=又∠ADB+∠ADC=π,則所以BDDC（2）由P是重心，則AD,BE,CF為中線，又AD=5,BE=4,CF=3，所以AP=10而PC+PB=2所以4+323cos∠BPC+649=4×同理PA+PB=2PF，PC+所以sin∠APB=35則S△ABC題型14實際應用題【例題14】（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習）天門山，古稱嵩梁山，位于湖南省張家界市永定區(qū)大庸中路11號，屬武陵山脈向東進入洞庭湖平原的余脈.為了測量天門山的海拔，某人站在海拔600米的點A處，他讓無人機從點A起飛，垂直向上飛行400米到達點B處，測得天門山的最高點C處的仰角為45°，他遙控無人機從點B處移動到點D處（BD平行于地平面），已知B與D之間的距離為518米，從點D處測得天門山的最高點C處的仰角為α（tanα=2

(1)設平面β過BD且平行于地平面，點C到平面β的距離為h米，求BC與CD的長（用h表示）；(2)已知cos∠BCD=【答案】(1)BC=2h米，(2)1518米【分析】（1）過C作CO⊥β，垂足為O，再根據(jù)直角三角形中三邊關系表示即可；（2）在△BCD中，由余弦定理結合（1）中數(shù)據(jù)求解可得h=518，進而可得山高.【詳解】（1）如圖，過C作CO⊥β，垂足為O，則CO=h米，∠