自動控制原理 第七章 非線性系統(tǒng)

內(nèi)容提要7.1典型非線性特性

7.2描述函數(shù)法

*7.3相平面法第七章非線性系統(tǒng)

前面幾章討論的都是線性系統(tǒng)，實際上所有的實際系統(tǒng)都不可避免地帶有某種程度的非線性，只要具有一個非線性環(huán)節(jié)，就稱作非線性系統(tǒng)，因此嚴(yán)格的說所有系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。

本章將主要討論關(guān)于非線性系統(tǒng)的基本概念，以及其中的一種基本分析方法——描述函數(shù)法。

7.1典型非線性特性

在控制系統(tǒng)中，若控制裝置或元件其輸入輸出間的靜特性曲線，不是一條直線，則稱為非線性特性。如果這些非線性特性不能采用線性化的方法來處理，稱這類非線性為本質(zhì)非線性。為簡化對問題的分析，通常將這些本質(zhì)非線性特性用簡單的折線來代替，稱為典型非線性特性。7.1.1典型非線性特性的種類1．飽和特性

飽和特性的靜特性曲線如圖7-1所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中，a為線性區(qū)寬度；k為線性區(qū)斜率。飽和特性的特點是：輸入信號超過某一范圍后，輸出不再隨輸入的變化而變化，而是保持在某一常值上。飽和特性在控制系統(tǒng)中是普遍存在的，常見的調(diào)節(jié)器就具有飽和特性。yxka-a0圖7-1飽和特性M-M其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

yxka-a0圖7-2死區(qū)特性2．死區(qū)特性

死區(qū)又稱不靈敏區(qū)，在死區(qū)內(nèi)雖有輸入信號，但其輸出為零，其靜持性關(guān)系如圖7-2所示。若引入符號函數(shù)

死區(qū)小時，可忽略；大時，需考慮。工程中，為抗干擾，有時故意引入。比如操舵系統(tǒng)。

滯環(huán)特性

滯環(huán)特性表現(xiàn)為正向與反向特性不是重疊在一起，而是在輸入--輸出曲線上出現(xiàn)閉合環(huán)路。其靜特性曲線如圖7-3所示。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

這類特性，當(dāng)輸入信號小于間隙a時，輸出不變。當(dāng)x>a時，輸出線性變化；輸入反向時，輸出保持在方向發(fā)生變化時的輸出值上，直到變化2a后，才再線性變化。

例如：鐵磁材料，齒輪的齒隙，液壓傳動中的間隙等。yx圖7-3滯環(huán)特性0b-ba-a繼電器特性

繼電器非線性特性一般可用圖7-4表示，不僅包含死區(qū)，而且還具有滯環(huán)特性，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

yx圖7-4繼電器特性0ama-a-mab-b

特殊情況：(1)若a＝0，稱這種特性為理想繼電器特性，如圖7-5(a)所示.(2)若m=1，其靜特性如圖7-5(b)所示，則稱為死區(qū)繼電器特性.(3)若m＝-1，則稱為滯環(huán)繼電器特性，如圖7-5(c)所示。實際系統(tǒng)中，各種開關(guān)元件都具有繼電器特性。圖7-5三種繼電器特性（a）理想繼電器特性（b）死區(qū)繼電器特性（c）滯環(huán)繼電器特性yx0b-b(a)yx圖7-4繼電器特性0ama-a-mab-byxa-a0-bb(b)yxa-a0-bb(c)

7.1.2非線性系統(tǒng)的若干特征

非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)最本質(zhì)的區(qū)別為：由非線性微分方程描述，不滿足疊加原理，故在非線性系統(tǒng)中將出現(xiàn)一些線性系統(tǒng)見不到的現(xiàn)象，兩者之間有著不同的運動規(guī)律。

具體表現(xiàn)在：

上述介紹的是一些典型特性。實際中的非線性還有好多復(fù)雜的情況，有些是它們的組合；還有一些很難用一般的函數(shù)來描述，可以稱為不規(guī)則非線性。

對于線性系統(tǒng)，其穩(wěn)定性僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入信號及初始條件無關(guān)。而非線性系統(tǒng)卻復(fù)雜的多?？紤]非線性一階系統(tǒng)：（1）穩(wěn)定性的復(fù)雜性設(shè)t=0時,系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x0

10x(t)tx0>1x0<1ln

x0x0

1相應(yīng)的時間響應(yīng)隨初始條件而變。當(dāng)x0>1，t<lnx0/(x0

1)時，隨t增大，x(t)遞增；t=lnx0/(x0

1)時，x(t)為無窮大。當(dāng)x0<1時，x(t)遞減并趨于0。因此非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始條件有直接的關(guān)系。（2）可能存在自激振蕩

無外界周期信號輸入時產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定振蕩。對于線性二階系統(tǒng)，也會出現(xiàn)等幅振蕩，但不會是穩(wěn)定的振蕩（Why？）。

（3）頻率響應(yīng)對于線性系統(tǒng)，輸入是正弦函數(shù)時，其穩(wěn)態(tài)輸出也是同頻率的正弦函數(shù)，可以用頻率特性來描述；而非線性系統(tǒng)輸出是非正弦周期函數(shù)。

可見，非線性系統(tǒng)要比線性系統(tǒng)復(fù)雜的多，會存在多種運動狀態(tài)。已無法用線性系統(tǒng)理論解釋或分析，必須應(yīng)用非線性理論來研究。

7.1.3非線性系統(tǒng)的分析方法

非線性的數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，大多數(shù)尚無法直接求解。到目前為止，非線性系統(tǒng)的研究還不成熟，結(jié)論不能像線性系統(tǒng)那樣具有普遍意義，一般要針對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，輸入及初始條件等具體情況進(jìn)行分析。工程上常用的方法有以下幾種：（1）描述函數(shù)法（本質(zhì)非線性）：是一種頻域分析法，實質(zhì)上是應(yīng)用諧波線性化的方法，將非線性特性線性化，然后用頻域法的結(jié)論來研究非線性系統(tǒng)，它是線性理論中的頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣，不受系統(tǒng)階次的限制。（2）相平面法（本質(zhì)非線性）：圖解法。通過在相平面上繪制相軌跡，可以求出微分方程在任何初始條件下的解。是一種時域分析法，僅適用于一階和二階系統(tǒng)。（3）計算機求解法：用計算機直接求解非線性微分方程，對于分析和設(shè)計復(fù)雜的非線性系統(tǒng)是非常有效的。

本章以系統(tǒng)分析為主，而且是以穩(wěn)定性分析為核心內(nèi)容，著重介紹在工程上廣泛應(yīng)用的描述函數(shù)法。描述函數(shù)的定義描述函數(shù)的求法組合非線性特性的描述函數(shù)

用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)7.2描述函數(shù)法7.2.1描述函數(shù)的定義

1.描述函數(shù)的應(yīng)用條件（1）非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可簡化成一個非線性環(huán)節(jié)N和一個線性部分G(s)串聯(lián)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖7-8所示。

描述函數(shù)法是非線性系統(tǒng)的一種近似分析方法。首先利用描述函數(shù)將非線性元件線性化，然后利用線性系統(tǒng)的頻率法對系統(tǒng)進(jìn)行分析。它是線性理論中的頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣，不受系統(tǒng)階次的限制。

分析內(nèi)容主要是非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩穩(wěn)態(tài)，一般不給出時域響應(yīng)的確切信息。xyNG(s)r(t)=0c(t)圖7-8非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖

-

（2）非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出靜特性曲線是奇對稱的，即y(x)=-y(-x)，以保證非線性元件在正弦信號作用下的輸出不包含直流分量。（3）系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通濾波特性。能較好的濾除非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入下輸出中的高次諧波，于是可以認(rèn)為在閉環(huán)通道中只有基波分量在流通，此時應(yīng)用描述函數(shù)法所得的分析結(jié)果才是比較準(zhǔn)確的。實際系統(tǒng)基本都能滿足。2.描述函數(shù)的定義對于圖7-8所示的非線性系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)輸入信號是正弦信號：則其輸出一般為周期性的非正弦信號，可以展成傅氏級數(shù)：若系統(tǒng)滿足上述第二個條件，則有A0=0

由于在傅氏級數(shù)中n越大,諧波分量的頻率越高，An，Bn越小。此時若系統(tǒng)又滿足第三個條件，則高次諧波分量又進(jìn)一步被充分衰減，故可認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出只含基波分量，即

類似于線性系統(tǒng)中頻率特性的定義，我們把非線性元件穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號的相量比定義為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用N(A)來表示，即

由非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的定義可以看出：

(1)描述函數(shù)類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性，利用描述函數(shù)的概念便可以把一個非線性元件近似地看作一個線性元件，因此又叫做諧波線性化。線性系統(tǒng)頻率法的推廣。（2）描述函數(shù)表達(dá)了非線性元件對基波正弦量的傳遞能力。一般來說，它應(yīng)該是輸入信號幅值和頻率的函數(shù)，但對于絕大多數(shù)的實際非線性環(huán)節(jié)，由于不包括儲能元件，它們的輸出僅是幅值的函數(shù)，與頻率無關(guān)，故常用N(A)表示。

7.2.2描述函數(shù)的求法

描述函數(shù)可以從定義式(7-22)出發(fā)求得，一般步驟是：(7-22)(1)首先由非線性靜特性曲線，畫出正弦信號輸入下的輸出波形y(t)

，并寫出輸出波形y(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。(2)利用傅氏級數(shù)求出y(t)的基波分量。(3)將求得的基波分量代入定義式(7-22)，即得N(A).下面計算幾種典型非線性特性的描述函數(shù)。

1．理想繼電器特性當(dāng)輸入為x(t)＝Asinωt時，理想繼電器特性的輸出波形如圖7-9所示：yx0M圖7-9理想繼電器特性的輸出波形ωt0xπ2πωty0π2πM-π-MxyN

由于輸出周期方波信號是奇函數(shù)，則傅氏級數(shù)中的直流分量與基波偶函數(shù)分量的系數(shù)為零A0＝A1=0

，而基波奇函數(shù)分量的系數(shù)為：

ωty0π2πM故理想繼電器特性的描述函數(shù)為

即N(A)的相位角為零度,幅值是輸入正弦信號A的函數(shù).請牢記！2.飽和特性

當(dāng)輸入為x(t)＝Asinωt，且A大于線性區(qū)寬度a時，飽和特性的輸出波形如圖7-10所示。

所以基波分量為：yyxx000ππ2π2πM圖7-10飽和特性的輸出波形akψ1ωtωtψ1xyN

式中ψ1=arcsin(a/A)

由式（7-15）可得飽和特性的描述函數(shù)為顯然其輸出信號也是奇函數(shù)，因此A0＝A1=0

，而y0π2πωtψ1ka

由上式可見，飽和特性的N(A)也是輸入正弦信號幅值A(chǔ)的函數(shù)。這說明飽和特性等效于一個變系數(shù)的比例環(huán)節(jié)，當(dāng)A>a時，比例系數(shù)總小于k.

P255表7-1列出了常見的非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)N(A)以及相應(yīng)的負(fù)倒特性曲線-1/N(A)，供分析時參考。理想繼電特性，死區(qū)繼電特性，飽和特性，死區(qū)特性最好能記?。?/p>

7.2.3組合非線性特性的描述函數(shù)

以上介紹了描述函數(shù)的基本求法，對于復(fù)雜的非線性特性，完全可以利用這種方法求出其描述函數(shù)，但計算也復(fù)雜得多。此時也可以將復(fù)雜的非線件特性分解為若干個簡單非線性特性的組合，即串并聯(lián)，再由已知的這些簡單非線性特性的描述函數(shù)求出復(fù)雜非線件特性的描述函數(shù)。 1．非線性特性的并聯(lián)計算

設(shè)有兩個非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，且其非線性特性都是單值函數(shù)，即它們的描述函數(shù)都是實數(shù)，如圖7-11所示。N1N2++x(t)y12(t)y1(t)

圖7-11兩個非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)y11(t)

當(dāng)輸入為x(t)＝Asinωt時，則兩個環(huán)節(jié)輸出的基波分量分別為輸入信號乘以各自的描述函數(shù)，即

由此可見，若干個非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后的總的描述函數(shù)，等于各非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。當(dāng)N1和N2是復(fù)數(shù)時，該結(jié)論仍成立。

例7.1下圖為一個具有死區(qū)的非線性環(huán)節(jié)，求描述函數(shù)N(A).

具有死區(qū)的非線性特性的并聯(lián)分解△△00Mkxy++xk0M△y解：可見，該死區(qū)非線性特性可分解為一個死區(qū)繼電器特性和一個典型死區(qū)特性的并聯(lián)，描述函數(shù)為2．非線性特性的串聯(lián)計算

若兩個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，如下圖所示，其總的描述函數(shù)不等于兩個非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的乘積。N1N2xyNyxz

必須首先求出這兩個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特性，然后根據(jù)等效的非線性特性求出總的描述函數(shù)。yz021k2=2xy10k=222-Δ2-Δ110k=2x22-Δ110k=2x22-Δ2yy10k1=1xz2

例7-2求圖7-12所示兩個非線性特性串聯(lián)后總的描述函數(shù)N(A)。解；這是一個死區(qū)特性和一個飽和特性相串聯(lián)。根據(jù)各串聯(lián)環(huán)節(jié)輸入輸出之間的關(guān)系，可以等效為一個死區(qū)加飽和的非線性特性。為求得這個等效非線性特性的描述函數(shù)，又可將其分解為兩個具有完全相同線性區(qū)斜率k=2和不同死區(qū)寬度死區(qū)特性的并聯(lián)相減，故總的描述函數(shù)為：習(xí)題：1.求圖示3個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特性，并求其描述函數(shù)，其中M>h。0hM0M-M0M-Mh0M-M2.圖示2個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特性。0M-M0ab0aM7.2.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)前面介紹了描述函數(shù)的定義及其求法。通過描述函數(shù)，一個非線性環(huán)節(jié)就可看作一個線性環(huán)節(jié)，而非線性系統(tǒng)就近似成了線性系統(tǒng)，于是就可進(jìn)一步應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率法進(jìn)行分析。

這種利用描述函數(shù)對非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法稱為描述函數(shù)法，這種方法只能用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩。

1非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

假設(shè)非線性元件和系統(tǒng)滿足7.2節(jié)所要求的描述函數(shù)法的應(yīng)用條件，則非線性環(huán)節(jié)可以用描述函數(shù)N(A)來表示，而線性部分可用傳遞函G(s)或頻率特性G(jω)表示，如圖7-15所示。圖7-15非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)

-式中，-1／N(A)稱作非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù)。x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)圖7-15非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖

-

通過對比會發(fā)現(xiàn):在線性系統(tǒng)分析中當(dāng)應(yīng)用奈氏判據(jù)時，若滿足G(jω)＝-1+j0，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，即系統(tǒng)是等幅振蕩狀態(tài)。

顯然，式(7-29)中的-1/N(A)相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的(-1，j0)點。區(qū)別在于，線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是一個點(-1，j0)。而非線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是-1/N(A)曲線。通常又將-1/N(A)曲線稱為負(fù)倒特性曲線。綜上所述，利用奈氏判據(jù)，可以得到非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別方法：首先求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)N(A)，然后在極坐標(biāo)圖上分別畫出線性部分的G(jω)曲線和非線性部分的-1/N(A)曲線，并假設(shè)G(s)的極點均在s左半平面，則線性系統(tǒng)閉環(huán)特征方程:1+G(jω)=0或G(jω)=-1非線性系統(tǒng)閉環(huán)特征方程:1+N(A)G(jω)=0或G(jω)=-1/N(A)式(7-29)

(1)若G(s)曲線不包圍-1/N(A)曲線，如圖7-16(a)所示，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

(2)若G(s)曲線包圍-1/N(A)曲線，如圖7-16(b)所示，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

(3)若G(s)曲線與-1/N(A)曲線相交，如圖7-16(c)所示，則在理論上將產(chǎn)生等幅振蕩或稱為自振蕩。0ImG(jw)-1/N(A)Re0ReImG(jw)-1/N(A)Im0G(jw)-1/N(A)M1M2Re圖7-16非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析(a),(b),(c)2自振蕩的分析與計算若G(jω)曲線與-1/N(A)曲線相交，則系統(tǒng)將產(chǎn)生自振蕩。下面從信號的角度進(jìn)一步分析自振蕩產(chǎn)生的條件。

在圖7-15所示非線性系統(tǒng)中，若產(chǎn)生自振蕩，則意味著系統(tǒng)中有一個正弦信號在流通，不妨設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號為x(t)=Asinωt

則非線性環(huán)節(jié)輸出信號基波分量為而線性部分的輸出信號為 x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)圖7-15非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖

-x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)圖7-15非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖

-G(jω)=-1/N(A)0ImG(jw)-1/N(A)ReM2M1

自振蕩也存在一個穩(wěn)定性問題，因此必須進(jìn)一步研究自振蕩的穩(wěn)定性。

若系統(tǒng)受到擾動偏離了原來周期運動狀態(tài)，當(dāng)擾動消失后，系統(tǒng)能夠重新收斂于原來的等幅振蕩狀態(tài)，稱為穩(wěn)定的自振蕩，反之，稱為不穩(wěn)定的自振蕩。判斷自振蕩的穩(wěn)定性可以從上述定義出發(fā)，采用擾動分析的方法。

以上圖為例，G(jω)與-1/N(A)曲線有兩個交點，說明存在兩個自振蕩點。對于M1點，若受到干擾使振幅A增大，則工作點將由點M1移至a點。由于此時a點不被曲線G(jω)包圍。系統(tǒng)穩(wěn)定，振蕩衰減，振幅A自動減小，工作點將沿-1/N(A)曲線回到M1點。反之亦然，所以M1點是穩(wěn)定的自振蕩。同樣的方法可以分析點M2是不穩(wěn)定的振蕩點。0ImG(jw)-1/N(A)adbcReM2M1

按照下述準(zhǔn)則來判斷自振蕩的穩(wěn)定性是極為簡便的：

在復(fù)平面上自振蕩點附近。當(dāng)按幅值A(chǔ)增大的方向沿-l/N(A)曲線移動時，若系統(tǒng)從不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，則該交點代表的是穩(wěn)定的自振蕩；反之，若沿-l/N(A)曲線振幅A增大的方向是從穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)，則該交點代表的是不穩(wěn)定的自振蕩。0ImG(jw)-1/N(A)adbcReM2M1

值得注意的是，由前面推導(dǎo)自振蕩產(chǎn)生的條件可知，對于穩(wěn)定的自振蕩，計算所得到的振幅和頻率是圖7-15中非線性環(huán)節(jié)的輸入信號x(t)＝Asinωt的振幅和頻率，而不是系統(tǒng)的輸出信號c(t)。兩者差一“-” 。

x(t)y(t)N（A）G(s)r(t)=0c(t)圖7-15非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖

-對于穩(wěn)定的自振蕩，振幅和頻率是確定的，并可測量得到。計算時，振幅可由-1/N(A)曲線的自變量A的大小來確定，而振蕩頻率由G(jω)曲線的自變量ω來確定。

對于不穩(wěn)定的自振蕩，由于實際系統(tǒng)不可避免地存在擾動，因此這種自振蕩是不可能持續(xù)的，僅是理論上的臨界周期運動，在實際系統(tǒng)中是測量不到的。例7.3

具有理想繼電器特性非線性系統(tǒng)如圖7-17所示，試確定其自振蕩的幅值和頻率。

解：理想繼電器特性的描述函數(shù)為01-1c(t