1.3.2三角及二項式系數(shù)的性質(zhì)

一般地，對于nN*有二項定理:二項展開式中的二項式系數(shù)指的是那些？共有多少個？

下面我們來研究二項式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過楊輝三角觀察n為特殊值時，二項式系數(shù)有什么特點？楊輝三角?九章算術(shù)?楊輝?詳解九章算法?中記載的表楊輝三角1．“楊輝三角〞的來歷及規(guī)律楊輝三角展開式中的二項式系數(shù)，當時，如下表所示：

11

121133114641151010511615201561楊輝三角點擊圖片可以演示“楊輝三角〞課件楊輝三角第5行

1551第0行

1楊輝三角第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

141第6行

161561第n-1行

11第n行11………………………………

1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34

125第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行 11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641……138132134如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？第8行18285670562881

從第三個數(shù)起，任一數(shù)都等于前兩個數(shù)的和;這就是著名的斐波那契數(shù)列類似上面的表,早在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的?詳解九章算法?一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這個表稱為楊輝三角。在書中，還說明了表里“一〞以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和，楊輝指出這個方法出于?釋鎖?算書，且我國北宋數(shù)學家賈憲〔約公元11世紀〕已經(jīng)用過它。這說明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀。在歐洲，這個表被認為是法國數(shù)學家帕斯卡〔1623-1662〕首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個表叫做帕斯卡三角。這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的.二項式系數(shù)的性質(zhì)

展開式的二項式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是：

當時，其圖象是右圖中的7個孤立點．二項式系數(shù)的性質(zhì)2．二項式系數(shù)的性質(zhì)

〔1〕對稱性與首末兩端“等距離〞的兩個二項式系數(shù)相等．

這一性質(zhì)可直接由公式得到．圖象的對稱軸：二項式系數(shù)的性質(zhì)〔2〕增減性與最大值由于：所以相對于的增減情況由決定．

二項式系數(shù)的性質(zhì)〔2〕增減性與最大值由：二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半局部是逐漸減小的，且中間項取得最大值。

可知，當時，二項式系數(shù)的性質(zhì)〔2〕增減性與最大值

因此，當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)

取得最大值；

當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)、相等，且同時取得最大值?！?〕各二項式系數(shù)的和二項式系數(shù)的性質(zhì)在二項式定理中，令，則：

這就是說，的展開式的各二項式系數(shù)的和等于：同時由于，上式還可以寫成：這是組合總數(shù)公式．

一般地，展開式的二項式系數(shù)有如下性質(zhì)：〔1〕〔2〕〔3〕當時，〔4〕

當時，例題分析:

例1．證明：〔1〕(a+b)n的展開式中,各二項式系數(shù)的和

啟示：在二項式定理中a,b可以取任意實數(shù)，因此我們可以通過對a,b賦予一些特定的值，是解決二項式有關(guān)問題的一種重要方法——賦值法。令a=b=1，那么1答案2答案繼續(xù)思考1:〔2〕試證明在(a+b)n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.即證：證明：在展開式中令a=1，b=－1得總結(jié)：賦值法在二項式定理中，常對a,b賦予一些特定的值1，-1等來整體得到所求。例1、賦值法例2：賦值法②①總結(jié)：求奇次項系數(shù)之和與偶次項系數(shù)的和可以先賦值，然后解方程組整體求解.思考：1.當n10時常用楊輝三角處理二項式系數(shù)問題;2.利用楊輝三角和函數(shù)圖象可得二項式系數(shù)的性質(zhì)：對稱性、增減性和最大值;3.常用賦值法解決二項式系數(shù)問題.課外思考