1多元數(shù)量值函數(shù)積分概念與性質(zhì)

曲邊三角形曲邊梯形橢圓定積分概念的引出:

求不規(guī)則圖形面積.第六章多元數(shù)量值函數(shù)積分學(xué)xaby二、近似：小矩形的面積近似替代小曲邊梯形的面積；三、求和：

四、取極限一、分割：將曲邊梯形任意分成個小曲邊梯形；§6.1多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念與性質(zhì)

一、物體的質(zhì)量的細(xì)桿，通過分割、作乘積、求和、取極限的步驟，其質(zhì)量可表示為定積分：在一元函數(shù)的定積分中我們知道：一線密度為以均勻密度近似替代非均勻密度

設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域D,1．平面薄片的質(zhì)量問題小塊質(zhì)量近似看作均勻薄片，薄片總質(zhì)量在點處的面密度，假定取典型小塊，將其近似將薄片分割成若干小塊，2.空間物體的質(zhì)量問題設(shè)有一空間物體分布在有界閉區(qū)域V上，其體密度作乘積小體積的質(zhì)量的近似值將閉區(qū)域V任意分成n個小閉區(qū)域，表示它的體積，其中,表示第i個小閉區(qū)域，也

在每個上任取一點為且

在V上連續(xù).4.曲面型物體的質(zhì)量問題分割

近似

求和取極限設(shè)其面密度為

,點M在S上，且在S上連續(xù).二、多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念以上幾個求物體質(zhì)量問題在數(shù)學(xué)上可抽象出：曲線段，或者是一塊平面區(qū)域、一塊曲面、一個空間區(qū)域等），這個幾何體是可以度量的（即它是可定義設(shè)為一有界閉區(qū)域的幾何形體(可以是直線、求長的，可求面積和體積的），在

上定義了一個有界函數(shù)f(M),.將此幾何形體任意分割成n個小塊此極限值稱為f(M)在幾何形體

上的積分。記為：上述和式的極限存在，則稱函數(shù)f(M)在上可積分，其中：稱為積分域；稱為被積表達式或積分微元；2.當(dāng)被積函數(shù)f(M)≡1時，積分量就是4.以后我們總假定函數(shù)f(M)在可積.注:1.當(dāng)f(M)為幾何形體的密度函數(shù)時，其質(zhì)

在直角坐標(biāo)系下用平行于面積元素為在D上的積分則稱為二重積分，坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D.1.設(shè)幾何形體是一平面區(qū)域D，三、不同幾何形體上積分的表達式就稱為三重積分.記為如果幾何形體是一空間區(qū)域V，那么在V上的積分2.設(shè)幾何形體是一空間區(qū)域V上的積分就稱為第一類曲線積分或?qū)￠L的曲線積分.記為：如果L是閉曲線，常記為：3.設(shè)幾何形體

為一條平面或空間曲線L，那么在L為第一類曲面積分或?qū)γ娣e的曲面積分.如果S是閉曲面，常記為那么在S上的積分就稱4.設(shè)幾何形體為一曲面S，四、多元數(shù)量值函數(shù)積分的性質(zhì)性質(zhì)1（線性性質(zhì)）注以下性質(zhì)的證明與定積分的證明完全類似.性質(zhì)2（區(qū)域可加性）閉區(qū)域分成兩個閉區(qū)域且與無公共內(nèi)點，則性質(zhì)3（不等式性質(zhì)）如果在上滿足f(M)g(M),則性質(zhì)4(估值定理)最大值，則性質(zhì)5（積分中值定理）設(shè)m,M分別是f(M)在閉幾何形體上的最小值和設(shè)f(M)在閉幾何形體上連續(xù)，則存在M0

，使得如果被積函數(shù)關(guān)于變量為偶函數(shù)，其中為中某一側(cè)的部分.上述性質(zhì)6（對稱性）奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)域上的積分當(dāng)積分域關(guān)于（在平面直角坐標(biāo)系中表示軸，在空間直角坐標(biāo)系中表示坐標(biāo)面）對稱時：如果被積函數(shù)關(guān)于變量為奇函數(shù)，解

例1不作計算，估計的值，

其中是橢圓閉區(qū)域：

在上

由性質(zhì)4知

解例2

估計

的值，其中D：區(qū)域面積在上的最大值

的最小值

y21