第12講切點弦與中點弦（人教A版2019選擇性）（原卷版）

第12講切點弦與中點弦【人教A版2019】·模塊一圓錐曲線中的切點弦·模塊二圓錐曲線中的中點弦·模塊三圓錐曲線中的焦點弦·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一圓錐曲線中的切點弦1．圓錐曲線的切線和切點弦(1)切線方程：過圓錐曲線Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全為0)上的點M(x0,y0)的切線的方程為.(2)切點弦方程：當M(x0,y0)在曲線外時，過M可引該二次曲線的兩條切線，過這兩個切點的弦所在直線的方程為：.上述兩條為一般結論.特別地：①對于橢圓+=1(a>b>0)，其上有一點M(x0,y0)，則過該點作切線得到的切線方程+=1.當M在橢圓外時，過M引兩條切線得到兩個切點，則過這兩個切點的直線方程為+=1.(2)更為一般地，當二次曲線有交叉項時，即圓錐曲線形式為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)時，過點M(x0,y0)有對應的一條直線為；當M在原圓錐曲線上時，這條直線為過M的切線；當M在曲線外時，過M可引該二次曲線的兩條切線，這條直線為過這兩個切點的弦的直線.【考點1圓錐曲線的切線方程的求解】【例1.1】（2022·高二課時練習）經(jīng)過點P(1,32)且與橢圓xA．x+23y?4=0 C．x+23y?2=0 【例1.2】（2023秋·江西南昌·高三?？茧A段練習）在平面直角坐標系xOy中，若拋物線C:y2=2px的準線與圓M:x+12+y2=1相切于點A，直線ABA．x+y+2=0 B．x?y+2=0C．x+y+2=0或x?y+2=0 D．x+2y+2=0或x?2y+2=0【變式1.1】（2023·全國·高二專題練習）已知過圓錐曲線x2m+y2n=1上一點Pxo,yo的切線方程為x0A．x?y?3=0 B．x+y?2=0C．2x+3y?3=0 D．3x?y?10=0【變式1.2】（2022·全國·高三專題練習）求經(jīng)過點M2,1的雙曲線：x2?2【考點2圓錐曲線的切點弦問題】【例2.1】（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓C:x2+y2t2=1，離心率為22，過P1,2的直線分別與A．x+y?1=0或x+4y?1=0 B．x+4y?1=0C．x+y?1=0 D．x+y+1=0或x+4y?1=0【例2.2】（2023·全國·高二專題練習）已知點P(4,?2)在拋物線C:x2=2py(p>0)的準線上，過點P作C的兩條切線，切點分別為A，B，則直線ABA．x?y+2=0 B．2x?y+2=0 C．3x?y+2=0 D．x?2y+4=0【變式2.1】（2022·全國·高三專題練習）過點P(3,3)作雙曲線C：x2?y2=1【變式2.2】（2023·河南信陽·河南省校聯(lián)考一模）已知過點1,32的橢圓(1)求橢圓C的方程；(2)已知過橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0上一點Px0,y0的切線方程為xx0a2+yy0b2=1．已知點M模塊模塊二圓錐曲線中的中點弦1．直線與圓錐曲線相交于兩點A(x1,y1)，B(x2,y2)，則稱線段AB為弦，與這條弦的中點有關的問題是一類綜合性很強的問題，被稱為弦中點問題.2．弦中點的有關問題解法解決圓錐曲線中與弦的中點有關的問題的常規(guī)思路有兩種：(1)通過方程組轉化為一元二次方程，結合一元二次方程根與系數(shù)的關系及中點坐標公式進行求解.(2)點差法，設出弦的兩端點的坐標，代入方程，得到兩個等式，兩式相減即得弦的中點坐標P(x0,y0)與它和原點連線的斜率的關系.相關結論：①在橢圓中有：當x0不為零時，，令，即；②在雙曲線中有：當x0不為零時，；③在拋物線中有：y0kAB=p.點差法只能用于一類與弦的中點有關的問題.【考點3橢圓的中點弦問題】【例3.1】（2023·全國·高二專題練習）若橢圓x24+y23=1的弦A．3x?4y+7=0B．3x+4y?1=0C．4x?3y+7=0 D．4x+3y+1=0【例3.2】（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中?？计谀E圓x212+y29=1A．?83 B．?32 C．【變式3.1】（2023·高二課時練習）橢圓9x2+4y2=144內有一點P(2,3)，過點A．2x+3y?12=0 B．3x+2y?12=0C．9x+4y?144=0 D．4x+9y?144=0【變式3.2】（2023春·江西宜春·高三?？奸_學考試）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0上存在兩點M,NA．66 B．266 C．2【考點4雙曲線的中點弦問題】【例4.1】（2023·全國·高二專題練習）過點P2,1的直線l與雙曲線x2?y23=1相交于A,B兩點，若PA．6x?y?11=0 B．6x+y?13=0C．2x?3y?1=0 D．3x?2y?4=0【例4.2】（2023·全國·高二專題練習）已知點A，B在雙曲線x2?y2=3上，線段AB的中點為MA．25 B．45 C．210【變式4.1】（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a,b>0與直線y=?x+2相交于A、BA．y=±3x B．y=±3x C．y=±1【變式4.2】（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線C：x2?y2b2=1(b>0)的焦點到漸近線的距離為2，直線l與C相交于A，B兩點，若線段ABA．?1 B．1 C．2 D．2【考點5拋物線的中點弦問題】【例5.1】（2023秋·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知直線l與拋物線C:y=2x2相交于A,B兩點，若線段AB的中點坐標為1,4，則直線lA．4x?y=0 B．2x?y=0C．8x?y?6=0 D．x?2y+3=0【例5.2】（2023秋·高二課時練習）直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A，B兩點，若AB中點的橫坐標為2，則k＝（）A．2或－2 B．2或－1C．2 D．3【變式5.1】（2023秋·陜西西安·高二?？计谀┰O經(jīng)過點F3,0的直線與拋物線y2=12x相交于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為9，則ABA．18 B．24 C．30 D．36【變式5.2】（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開學考試）已知直線l交拋物線C:y2=18x于M，N兩點，且MN的中點為5,3，則直線lA．95 B．32 C．3 模塊模塊三圓錐曲線中的焦點弦圓錐曲線焦點弦求解策略：(1)兩焦半徑之和(之差)；(2)“弦長”公式；(3)當焦點在x軸上時，焦點弦|AB|=，θ為直線的傾斜角；當焦點在y軸上時，焦點弦|AB|=，θ為直線的傾斜角.一、橢圓的焦點弦弦長：(1)兩焦半徑之和；(2)“弦長”公式；(3)當焦點在x軸上時，|AB|=，θ為直線的傾斜角.通徑：.二、雙曲線的焦點弦弦長：(1)兩焦半徑之和或之差；(2)“弦長”公式；(3)當焦點在x軸上時，|AB|=，θ為直線的傾斜角.通徑：.三、拋物線的焦點弦弦長：(1)兩焦半徑之和或之差；(2)“弦長”公式；(3)當焦點在x軸上時，|AB|=，θ為直線的傾斜角.通徑：2p.【考點6橢圓的焦點弦問題】【例6.1】（2022·高二課時練習）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦點分別是F1、F2，過F1的直線l垂直x軸交橢圓于A、BA．x24+C．x24+【例6.2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，橢圓C:x25+y24=1的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1，F(xiàn)A．1655,45 B．1655【變式6.1】（2023·青海玉樹·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1、F2，過F2的直線l交(1)求C的方程；(2)若AF1?【變式6.2】（2023·陜西西安·交大附中?？寄M預測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(xiàn)1?F2分別為橢圓C的左?右焦點，P為橢圓（1）求橢圓C的方程；（2）設直線l與橢圓C交于A?B兩點，求△ABF1的面積的最大值．【考點7雙曲線的焦點弦問題】【例7.1】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，一條漸近線方程為y=2x，過雙曲線C的右焦點F2A．x22?y24=1 B．【例7.2】（2022秋·高二課時練習）過雙曲線x2?y28=1的右焦點作直線與雙曲線交于A．一條 B．兩條C．三條 D．四條【變式7.1】（2022·全國·高三專題練習）設雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)【變式7.2】（2023·湖南郴州·校聯(lián)考二模）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線E：x2a2?y(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線E實軸長為2，過點F2且斜率為k的直線l交雙曲線C的右支不同的A，B兩點，Q為x軸上一點且滿足QA=QB【考點8拋物線的焦點弦問題】【例8.1】（2023春·安徽滁州·高二?？茧A段練習）已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點為F，過點F且斜率為k的直線l交拋物線于A,B兩點，若AF=3A．33 B．±33 C．3【例8.2】（2023·全國·高二專題練習）過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F，作傾斜角為π6的直線l交C于A，B兩點，交C的準線于點M，若OM=221A．8 B．16 C．24 D．32【變式8.1】（2023·遼寧·朝陽市校聯(lián)考三模）過拋物線C：x2=4pyp>0的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點，過線段AB的中點N且垂直于l的直線與C的準線交于點M，若MN=ABA．2 B．33 C．1 D．【變式8.2】（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，且直線l1，l2分別與拋物線C交于A，B和DA．32 B．64 C．128 D．256模塊模塊四課后作業(yè)1．（2022秋·江蘇南京·高二?？茧A段練習）橢圓4x2+9y2=144內有一點P3,2A．3x+2y?12=0 B．2x+3y?12=0C．4x+9y?14=0 D．9x+4y?14=02．（2022秋·天津·高二校聯(lián)考期中）已知F1?2,0，F(xiàn)22,0是橢圓C的焦點，過F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，且ABA．x25+C．x216+3．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線x2?y22=1，過點P2,1作直線與雙曲線交于A,B兩點，且點PA．4x?y?7=0 B．4x+y?9=0C．x?4y+2=0 D．x+4y?6=04．（2022秋·江蘇南京·高三?？茧A段練習）已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1a>b>0，拋物線C2:y2=4x，且C1與C2在第一象限的交點為PA．12 B．32 C．145．（2023·全國·高三專題練習）過雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的焦點且斜率不為0的直線交C于A，B兩點，DA．6 B．2 C．3 D．66．（2022·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y2=2pxp>0的焦點為F，若A、B為拋物線上兩點，且線段AB的垂直平分線交x軸于點M．當AF+BFA．y2=x B．y2=2x C．7．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓E:x22+y2=1的左焦點為F，過點P(2，t)作橢圓E的切線PA、PB，切點分別是A、A．2 B．1 C．2 D．48．（2022秋·湖北襄陽·高二校考階段練習）過雙曲線x2a2?y23=1a>0的右焦點F作直線l與雙曲線交于AA．0,1∪3,+∞ C．0,1 D．3,+∞9．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預測）設拋物線C：y2=6x的焦點為F，過F的直線交C于A，B兩點，分別以A，B為切點作C的切線l1，l2，若l1與l2交于點P，且滿足A．5 B．6 C．7 D．810．（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知O為坐標原點，拋物線C:x2=2py(p>0)與曲線E:y=x交于點A，其橫坐標為4，記C的平行于OA的切線為l1,E的平行于A．p=4 B．OA的方程為x?2y=0C．l1的方程為x?2y?1=0 D．l211．（2022·全國·高三專題練習）設雙曲線C：x2?2y2=1上點P(3,1)12．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線y2=4x.其焦點為(1)求以M(1,1)為中點的拋物線的弦所在的直線方程；(2)若互相垂直的直線m，n都經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點和C，D兩點，求四邊形13．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C1：x24+y2=1，橢圓C2：x216+y2(1)求直線AB的方程（用x0，