計算方法離散數(shù)據(jù)曲線擬合

計算方法引論》、徐翠薇,高等教育出版社計算方法引論》、徐翠薇,高等教育出版社2008年4月第三版第三章數(shù)據(jù)擬合2h#1)線性擬合給定一組(Xj》)，i=l，2…,n。構(gòu)造線性擬合函數(shù)R(x)=a+bx，使均方差I(lǐng)I5lb=￡52=￡(p(x)一y)2=￡(a+bx一y)2=F(a,b)TOC\o"1-5"\h\z2i1iiiii=1i=1i=1達到最小。即如何選擇a、b使F(a,b)達到最??？考慮多元函數(shù)極小值問題:dF(a，b)=2￡(a+bx一y)=0daiii=1db加(a，b)=2工(a+bx-y)x=0dbi=1整理得n工Xi整理得n工Xii=1\Xi￡—X2i=1i丿(a]Ib丿—￡厶yii=1—xy

I'丿此式稱為擬合曲線的法方程組或正則方程組。用消元法或克萊姆法則求解方程組得a=(￡y￡x2—￡x￡xy)/(n￡x2一(￡x)2)TOC\o"1-5"\h\ziiiiiiii=1i=1i=1i=1i=1i=1b=(n￡xy—￡x￡y)/(n￡x2一(￡x)2)iiiiiii=1i=1i=1i=1i=1這就是均方誤差意義下的擬合函數(shù)P1(x)。例子見P49。(2)二次擬合(選)給定一組(x/y),i=l,2…,n。用二次多項式擬合這組數(shù)據(jù)。設(shè)P2(x)=a0+a1X+a2X2,作出擬合函數(shù)與數(shù)據(jù)序列的均方誤差：F(a,a,a)=￡(p(x)一y)2=￡(a+ax+ax2一y)20122ii01i2iiTOC\o"1-5"\h\zi=1i=1其中II5||2=￡822ii=1類似線性擬合,根據(jù)最小二乘和極值原理:ar、八=2(a+ax+ax2—y)=0da01i2ii0i=1F=2工(a+ax+ax2—y)x=0《計負方法引諭》、0徐翠薇，高等教育出版社2008年4月第三版第三章數(shù)據(jù)擬合2hF=2工(a+ax+ax2—y)x2=0da01i2iii2i=1

整理得到二次多項式函數(shù)擬合的法方程:X3￡心X3iii=1ii=1i=1i=1i=1解法方程，便得到均方誤差意義下的擬合函數(shù)p2（x）。不過當多項式的階數(shù)n>5時，法方程的系數(shù)矩陣病態(tài)。計算中要用雙精度或一些特殊算法以保護解得準確性。（3）一般情況（類似線性擬合處理，從略）4．例（從略）用二次多項式擬合如下一組數(shù)據(jù)X-3-2-10123Y4230-1-2-5解設(shè)P2（X）=a0+a〔X+a逢經(jīng)計算得XyxyXx2yX3X4-34-12936-2781-22-448-816-13-313-1100000001-1-11-1112-2-44-8816

3-5-159-452781E01-3928-70196相應(yīng)的法方程為:廠7a°+0ai+28a2=1Y0a0+28at+0a2=-39j28a0+0a1+196a2=-7解方程得：a0=0.66667,a1=-1.39286,a2=-0.13095。所以p2(x)=0.66667-1.39286x-O?13O95)2擬合曲線均方誤差：TOC\o"1-5"\h\zII8||2二工82二工42i2i2i=1i=1如何根據(jù)測量的數(shù)據(jù)設(shè)計和確定“最貼近”的擬合曲線？關(guān)鍵在于找到適當?shù)臄M合曲線類型,可以根據(jù)專業(yè)知識和工作經(jīng)驗確定擬合曲線類型。如果對擬合曲線一無所知,可以先繪制數(shù)據(jù)略圖