八年級數(shù)學幾何重難點知識及數(shù)學方法：專題08 軸對稱與最短路徑重難點知識（原卷版）

專題08軸對稱與最短路徑重難點知識一、相關(guān)知識（1）平面直角坐標系內(nèi)點（x，y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標為（x，-y）；平面直角坐標系內(nèi)點（x，y）關(guān)于y軸對稱的點的坐標為（-x，y）；（2）區(qū)分軸對稱圖形（一個圖形）、成軸對稱圖形（兩個圖形）的區(qū)別（3）成軸對稱圖形性質(zhì)：對稱軸為對應(yīng)點連線的垂直平分線；對應(yīng)線段、角相等（4）線段垂直平分線①作圖方法（依據(jù)SSS）；②性質(zhì)；③判定.三角形中，到三個頂點相等的點只有一個，為三條邊垂直平分線的交點.（5）作軸對稱圖形（6）最短路徑理論依據(jù)：①兩點之間，線段最短；②三角形兩邊之和大于第三邊；③垂線段最短.在直線l上找點P，使得PA+PB最小.在直線l上找點P，使得PA+PB最小.在∠AOB內(nèi)部一點P，求作△PQR，使△PQR周長最小.典例解析【知識點1：軸對稱圖形判斷】例題1．（2021·上海徐匯）如圖，將正方形圖案翻折一次，可以得到的圖案是（）A． B． C． D．例題2．（2021·江蘇如皋）如圖為某小區(qū)分類垃圾桶上的標識，其圖標部分可以看作軸對稱圖形的有（）A．個 B．個 C．個 D．個例題3．（2021··重慶）“致中和，天地位焉，萬物育焉．”中國古人把和諧平衡的精神之美，演變成了一種對稱美，在下列我國建筑簡圖中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．例題4．（2021·黑龍江五常）點P（﹣2，b）與點Q（a，3）關(guān)于x軸對稱，則a＋b的值為（）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1【知識點2：線段垂直平分線性質(zhì)】例題5．（2021·天津津南期末）如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AB＝5，△ABD的周長是13，則BC的長為（）A．8 B．10 C．11 D．12例題6．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特市期中）如圖，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB和AC的垂直平分線分別交BC于點D，E，且點D在點E的左側(cè)，BC＝6cm，則△ADE的周長是（）A．3cm B．12cm C．9cm D．6cm例題7．（2021·黑龍江省期末）如圖，DO垂直AC，且AO=OC，若AB=7cm，BC=5cm，則△BDC的周長是____________．【知識點3：與折疊相關(guān)】例題8．（2021·廣西期中）如圖，在中，，點D在AB邊上，將沿CD折疊，使點B恰好落在AC邊上的點E處，若，則的度數(shù)是________例題9．如圖．點D，E分別在△ABC的邊BC，AB上，連接AD、DE，將△ABC沿直線DE折疊后，點B與點A重合，已知AC＝6cm，△ADC的周長為14cm，則線段BC的長為（）A．6cm B．8cm C．12cm D．20cm例題10．（2021·山東寒亭期中）如圖，在中，，，，將沿折疊，使得點恰好落在邊上的點處，折痕為，若點為上一動點，則的周長最小值為___________．【知識點4：尺規(guī)作圖】例題11．（2021·山東寒亭期中）如圖，在中，，，分別以，為圓心，大于的長為半徑畫弧分別交于點和，連接并延長交于點，則下列說法中不正確的是（）A．是的平分線 B．C．點在的垂直平分線上 D．例題12．（2021·湖南鳳凰期中）如圖，在△ABC中，BC＝10，AC＝4，分別以點A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，作直線MN交BC邊于點D，連接AD，則△ACD的周長為___．例題13．（2021·浙江諸暨期中）已知△ABC，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M，N；②作直線MN交直線AB于點D，連接CD．若∠ABC＝40°，∠ACD＝20°，則∠BAC的度數(shù)為____．例題14．（2021·河南南陽市）已知．（1）用尺規(guī)完成下列作圖：（保留作圖痕跡，不寫作法）①作的平分線AE；②在AE上任取一點F，作AF的垂直平分線分別與AM、AN交于P、Q；（2）在（1）的條件下線段AP與AQ有什么數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．例題15．（2021·安徽淮南市期中）如圖，某地有兩所大學和兩條相交叉的公路，（點M，N表示大學，AO，BO表示公路），現(xiàn)計劃在∠AOB內(nèi)部修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學的距離相等，到兩條公路的距離也相等，你能確定倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你的設(shè)計方案．

【知識點5：最短路徑】例題16．（2021·山東陽谷縣）如圖，等腰△ABC底邊BC的長為4cm，面積為12cm2，腰AB的垂直平分線EF交AC與點F，若D為BC邊上的中點，M為線段EF上一動點，則△BDM的周長最短為（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm例題17．（2021·河北邢臺市）如圖，∠AOB＝20°，點M、N分別是邊OA、OB上的定點，點P、Q分別是OB、OA上的動點，記∠MPQ＝α，∠PQN＝β，當MP+PQ+QN最小時，則β﹣α的值為（）

A．10° B．20° C．40° D．50°例題18．（2021·福建期中）如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上的一動點，若AB＝5，AC＝4，BC＝6，則△APC周長的最小值是（）A．9 B．10 C．11 D．12.5例題19．（2021·浙江余杭）如圖所示，點為內(nèi)一定點，點，分別在的兩邊上，若的周長最小，則與的關(guān)系為（）A． B．C． D．例題20．（2021·河南西平期中）（1）如圖1，在直線AB的同一側(cè)有兩點C，D，在AB上找一點P，使C，D，P三點組成的三角形的周長最短，找出此點．（2）如圖2，在∠AOB內(nèi)部有一點P，在OA，OB上是否分別存在點E，F(xiàn)，使得E，F(xiàn)，P三點組成的三角形的周長最短，找出E，F(xiàn)兩點．（3）如圖3，在∠AOB內(nèi)部有兩點M，N，在OA，OB上是否分別存在點E，F(xiàn)，使得E，F(xiàn)，M，N四點組成的四邊形的周長最短，找出E，F(xiàn)兩點．（顯示找點的過程）【知識點6：綜合習題】例題21．（2021·山西鹽湖期中）如圖，在ABC中，∠ABC的平分線BP與AC的垂直平分線DP相交于點P，過點P作PF⊥BC于點F，PE⊥AB交BA的延長線于點E．AB=7cm，BC=15cm，則AE的長為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm例題22．（2021·河南楓楊外國語期中）在平面直角坐標系xOy中，我們把點O，A（0，4），B（8，4），C（8，0）順次連接起來，得到一個長方形區(qū)域，P為該區(qū)域（含邊界）內(nèi)一點．若將點P到長方形相鄰兩邊的距離之和的最小值記為d，則稱P為“d距點”．例如：點P（5，3）稱為“4距點”．當d＝4時，橫、縱坐標都是整數(shù)的點P的個數(shù)為___個．例題23．（2021·福建建甌期中）如圖1，在△ABC中，∠ABC的平分線與邊AC的垂直平分線相交于點D，過點D作DF⊥BC于點F，DG⊥BA交BA的延長線于點G．（1）求證：AG=CF；（2）如圖2，點M，N分別是線段AB，射線BD上的動點，若BC=5，S△ABC=5，求MN+AN的最小值．

例題24．（2021·遼寧大石橋期中）已知點P在∠MON內(nèi)．（1）如圖