2023年南京大學(xué)計(jì)算機(jī)拔尖班二次選拔考試數(shù)學(xué)試題及答案解析

2~v尸<32~v尸<3亍第二題(20分)2023年南京大學(xué)計(jì)算機(jī)拔尖班二次選拔考試數(shù)學(xué)試題設(shè)/是定義域?yàn)榉橇銓?shí)數(shù)、值域?yàn)閷?shí)數(shù)的函數(shù)，對(duì)于x,y,zelR,當(dāng)xyz=l時(shí)，有[fwf-=x(x+y+z)(/(x)+f(y)+/(z)).求滿足上述條件的所有函數(shù)f，第三題(20分)若定義域和值域均為，=｛1,2,/｝的函數(shù)/滿足：當(dāng)工壬*時(shí)，/(對(duì)。/3),則稱，為S的“排列函數(shù)”,(x,/(x),/(/(xxgS)記為/的一個(gè)“軌道”，把f的所有不同的軌道個(gè)數(shù)記為?/).(例如，如果〃=3J:StS定義為/(1)=2,/(2)=1,/(3)=3,則S的所有不同軌道有和設(shè)S3,〃>3,/;,???/為s的&個(gè)排列函數(shù)，記/W=Z(^(-(AW)))，證明：心)+心)++<4)海一1)+符)第一題(20分)在黑板上寫有2023個(gè)1,下面進(jìn)行2022次如下操作：每次操作擦掉黑板上的任意兩個(gè)數(shù)。和力，并寫下(a+h)或者min｛疽+臚｝,最后只剩下一個(gè)數(shù)，把這個(gè)數(shù)的最大可能值記為尸.求證：2023年南京大學(xué)計(jì)算機(jī)拔尖班二次選拔考試數(shù)學(xué)試題解答第一題：本題是2022年加*大奧林匹克數(shù)學(xué)競寰試題.(1)2023年南京大學(xué)計(jì)算機(jī)拔尖班二次選拔考試數(shù)學(xué)試題解答第一題：本題是2022年加*大奧林匹克數(shù)學(xué)競寰試題.(1)假設(shè)黑板上有n個(gè)1時(shí)，執(zhí)行n—1次上述操作后，剩下的數(shù)的最大值為.則本題取r=Q2023?我們來給出{如}的遞推式?可以先列舉幾個(gè)：=25.an=26,a】2=81,Qi3=82,au=100,ais=101,aig=256.(2)觀索:對(duì)于一般的n個(gè)1的情形，因?yàn)樽詈笠淮尾僮魇菍?duì)黑板上的剩下兩個(gè)數(shù)進(jìn)行操作，而黑板上剩下兩個(gè)數(shù)必定分別由一開始的i個(gè)1和n-2個(gè)1執(zhí)行若干次操作得到.再考慮最大值的情形，那么我們有an=i=la?-!max{a：-|-ani,min{af=max<max,nr(叫+。婦)7，j=l,2m,ax,n1min*{a,i,}J>n=2k,n=-r1..r22If2Ql+^n—1=1+G-n—1?maxmin{a?,a2}t=i,m2,ax,niminsaf,a?■}=<(|,3T7C一一(卜EIT7C一一(卜EI_￡+(h;)H(u+lI+￡+-+H)I(T-+US+H)??、攵洲；Hs K胃T-I+5+?。nps、甘m.++upag-wlcxgTn^悠曜務(wù)、?*mkeM占-矗目藏-太rss5—78)HI(I—Eh(*lmEHsh-YTTP+t~vl='或vl—Ish-YTTP+t~vl='或vl—Ig ++8、卜-?eI(IIE』一最費(fèi)小回甘+RzH+IU湘CsI)IH+?e卜E+s+xmaxexmaxem==I+UTII11/乙/U=l,2,..,nL—IJ但是等號(hào)不可能成立(『是正整數(shù)，3T?不是)，所以上界證明完畢.(4)為了證明下界,我們只需找一個(gè)操作方法使得它的最終數(shù)大于2亨.我們這樣操作：首先2023=337x6+1,我們把每6個(gè)1用題中的操作變成9,得到337個(gè)9和1個(gè)1.然后把256個(gè)9不斷用,zmin(a2,&2}H的操作得到128個(gè)9?、64個(gè)9，、32^92\16^92*.8個(gè)9^、4個(gè)92\2個(gè)92'、]個(gè)9".剩下的數(shù)很小，在估計(jì)時(shí)可以放掉.因此a2O23>92H=32fl=尸=Q2023<3~,an+i=max<max(七+如+it),q?“i，<3'.統(tǒng)上，用歸納法證明完畢.特別地，[f(x)]2-/(!/)/(—)=x(x+y+—)(/(x)+f(y)+/(—)),xyxyxy[f(y)]2-/(￡),(土)=+，+—)(/(^)+f(y)+/(—)))Q2023>2.得」⑴=0.~5121og23>512x-=768>——=674.33本題證明完成.第二題：解：⑴令億=g=z=1,可得5麗-何-§)](間+六。)+，麗-何-§)](間+六。)+，(￡))=。②取x=b,因?yàn)?(b)-(62-I)/0,所以必有/(Q)+/(-V)=0.bab在(2)的第f式子中，讓z=qMab心姬=qq+8+=)[/(a)+/(4)+/W.aba。Lab代入/(b)=0,/(a)+/(4)=0.且根據(jù)q4-6+^->3,得/(q)=0,但這與ab