上海高考數(shù)真題及答案

第6頁（共18頁）2018年上海市高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1．（4分）（2018?上海）行列式的值為18．【考點(diǎn)】OM：二階行列式的定義．【專題】11：計(jì)算題；49：綜合法；5R：矩陣和變換．【分析】直接利用行列式的定義，計(jì)算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查行列式的定義，運(yùn)算法則的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．2．（4分）（2018?上海）雙曲線﹣y2=1的漸近線方程為±．【考點(diǎn)】KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】11：計(jì)算題．【分析】先確定雙曲線的焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸，再確定雙曲線的實(shí)軸長和虛軸長，最后確定雙曲線的漸近線方程．【解答】解：∵雙曲線的a=2，b=1，焦點(diǎn)在x軸上而雙曲線的漸近線方程為y=±∴雙曲線的漸近線方程為y=±故答案為：y=±【點(diǎn)評(píng)】本題考察了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的幾何意義，特別是雙曲線的漸近線方程，解題時(shí)要注意先定位，再定量的解題思想3．（4分）（2018?上海）在（1+x）7的二項(xiàng)展開式中，x2項(xiàng)的系數(shù)為21（結(jié)果用數(shù)值表示）．【考點(diǎn)】DA：二項(xiàng)式定理．【專題】38：對(duì)應(yīng)思想；4O：定義法；5P：二項(xiàng)式定理．【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得展開式中x2的系數(shù)．【解答】解：二項(xiàng)式（1+x）7展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=?xr，令r=2，得展開式中x2的系數(shù)為=21．故答案為：21．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．4．（4分）（2018?上海）設(shè)常數(shù)a∈R，函數(shù)f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，1），則a=7．【考點(diǎn)】4R：反函數(shù)．【專題】11：計(jì)算題；33：函數(shù)思想；4O：定義法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由反函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)f（x）=1og2（x+a）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常數(shù)a∈R，函數(shù)f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，1），∴函數(shù)f（x）=1og2（x+a）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），∴l(xiāng)og2（1+a）=3，解得a=7．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．5．（4分）（2018?上海）已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=1﹣7i（i是虛數(shù)單位），則|z|=5．【考點(diǎn)】A8：復(fù)數(shù)的模．【專題】38：對(duì)應(yīng)思想；4A：數(shù)學(xué)模型法；5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．因?yàn)?，所以數(shù)列的公比不是1，，an+1=qn．可得====，可得q=3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的極限的運(yùn)算法則的應(yīng)用，等比數(shù)列求和以及等比數(shù)列的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．11．（5分）（2018?上海）已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，則a=6．【考點(diǎn)】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】直接利用函數(shù)的關(guān)系式，利用恒等變換求出相應(yīng)的a值．【解答】解：函數(shù)f（x）=的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（p，），Q（q，）．則：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案為：6【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，代數(shù)式的變換問題的應(yīng)用．12．（5分）（2018?上海）已知實(shí)數(shù)x1、x2、y1、y2滿足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，則+的最大值為+．【考點(diǎn)】7F：基本不等式及其應(yīng)用；IT：點(diǎn)到直線的距離公式．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圓的方程和向量數(shù)量積的定義、坐標(biāo)表示，可得三角形OAB為等邊三角形，AB=1，+的幾何意義為點(diǎn)A，B兩點(diǎn)到直線x+y﹣1=0的距離d1與d2之和，由兩平行線的距離可得所求最大值．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B兩點(diǎn)在圓x2+y2=1上，且?=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB為等邊三角形，AB=1，+的幾何意義為點(diǎn)A，B兩點(diǎn)到直線x+y﹣1=0的距離d1與d2之和，顯然A，B在第三象限，AB所在直線與直線x+y=1平行，可設(shè)AB：x+y+t=0，（t＞0），由圓心O到直線AB的距離d=，可得2=1，解得t=，即有兩平行線的距離為=，即+的最大值為+，故答案為：+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和定義，以及圓的方程和運(yùn)用，考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵，屬于難題．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13．（5分）（2018?上海）設(shè)P是橢圓=1上的動(dòng)點(diǎn)，則P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（）A．2 B．2 C．2 D．4【考點(diǎn)】K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】11：計(jì)算題；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】判斷橢圓長軸（焦點(diǎn)坐標(biāo)）所在的軸，求出a，接利用橢圓的定義，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：橢圓=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸，a=，P是橢圓=1上的動(dòng)點(diǎn)，由橢圓的定義可知：則P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a=2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓的定義的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．14．（5分）（2018?上海）已知a∈R，則“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【考點(diǎn)】29：充分條件、必要條件、充要條件．【專題】11：計(jì)算題；34：方程思想；4O：定義法；5L：簡易邏輯．【分析】“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出結(jié)果．【解答】解：a∈R，則“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要條件．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．15．（5分）（2018?上海）《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬，設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)、以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考點(diǎn)】D8：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【專題】11：計(jì)算題；38：對(duì)應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5O：排列組合．【分析】根據(jù)新定義和正六邊形的性質(zhì)可得答案．【解答】解：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，則D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1滿足題意，而C1，E1，C，D，E，和D1一樣，有2×6=12，當(dāng)A1ACC1為底面矩形，有2個(gè)滿足題意，當(dāng)A1AEE1為底面矩形，有2個(gè)滿足題意，故有12+2+2=16故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義，以及排除組合的問題，考查了棱柱的特征，屬于中檔題．16．（5分）（2018?上海）設(shè)D是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，f（x）是定義在D上的函數(shù)，若f（x）的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中，f（1）的可能取值只能是（）A． B． C． D．0【考點(diǎn)】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；56：三角函數(shù)的求值．【分析】直接利用定義函數(shù)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：由題意得到：問題相當(dāng)于圓上由12個(gè)點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合．我們可以通過代入和賦值的方法當(dāng)f（1）=，，0時(shí)，此時(shí)得到的圓心角為，，0，然而此時(shí)x=0或者x=1時(shí)，都有2個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個(gè)x只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y，因此只有當(dāng)x=，此時(shí)旋轉(zhuǎn)，此時(shí)滿足一個(gè)x只會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)y，因此答案就選：B．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：定義性函數(shù)的應(yīng)用．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17．（14分）（2018?上海）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，半徑為2．（1）設(shè)圓錐的母線長為4，求圓錐的體積；（2）設(shè)PO=4，OA、OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段AB的中點(diǎn)，如圖．求異面直線PM與OB所成的角的大小．【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角；L5：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）；LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；41：向量法；5F：空間位置關(guān)系與距離；5G：空間角．【分析】（1）由圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，半徑為2，圓錐的母線長為4能求出圓錐的體積．（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線PM與OB所成的角．【解答】解：（1）∵圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，半徑為2，圓錐的母線長為4，∴圓錐的體積V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段AB的中點(diǎn)，∴以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），設(shè)異面直線PM與OB所成的角為θ，則cosθ===．∴θ=arccos．∴異面直線PM與OB所成的角的為arccos．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的體積的求法，考查異面直線所成角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．18．（14分）（2018?上海）設(shè)常數(shù)a∈R，函數(shù)f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）為偶函數(shù)，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在區(qū)間[﹣π，π]上的解．【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的三角函數(shù)；GS：二倍角的三角函數(shù)．【專題】11：計(jì)算題；38：對(duì)應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；58：解三角形．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和三角形的函數(shù)的性質(zhì)即可求出，（2）先求出a的值，再根據(jù)三角形函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的化簡和求值，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．19．（14分）（2018?上海）某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí)．某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤．分析顯示：當(dāng)S中x%（0＜x＜100）的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間為f（x）=（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時(shí)間不受x影響，恒為40分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：（1）當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間？（2）求該地上班族S的人均通勤時(shí)間g（x）的表達(dá)式；討論g（x）的單調(diào)性，并說明其實(shí)際意義．【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】12：應(yīng)用題；33：函數(shù)思想；4C：分類法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）由題意知求出f（x）＞40時(shí)x的取值范圍即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判斷g（x）的單調(diào)性，再說明其實(shí)際意義．【解答】解；（1）由題意知，當(dāng)30＜x＜100時(shí)，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間；（2）當(dāng)0＜x≤30時(shí)，g（x）=30?x%+40（1﹣x%）=40﹣；當(dāng)30＜x＜100時(shí)，g（x）=（2x+﹣90）?x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；當(dāng)0＜x＜32.5時(shí)，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)32.5＜x＜100時(shí)，g（x）單調(diào)遞增；說明該地上班族S中有小于32.5%的人自駕時(shí)，人均通勤時(shí)間是遞減的；有大于32.5%的人自駕時(shí)，人均通勤時(shí)間是遞增的；當(dāng)自駕人數(shù)為32.5%時(shí)，人均通勤時(shí)間最少．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了分類討論與分析問題、解決問題的能力．20．（16分）（2018?上海）設(shè)常數(shù)t＞2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F（2，0），直線l：x=t，曲線Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l與x軸交于點(diǎn)A、與Γ交于點(diǎn)B．P、Q分別是曲線Γ與線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．（1）用t表示點(diǎn)B到點(diǎn)F的距離；（2）設(shè)t=3，|FQ|=2，線段OQ的中點(diǎn)在直線FP上，求△AQP的面積；（3）設(shè)t=8，是否存在以FP、FQ為鄰邊的矩形FPEQ，使得點(diǎn)E在Γ上？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【考點(diǎn)】KN：直線與拋物線的位置關(guān)系．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）方法一：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求得|BF|；方法二：根據(jù)拋物線的定義，即可求得|BF|；（2）根據(jù)拋物線的性質(zhì)，求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得OD的中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得直線PF的方程，代入拋物線方程，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得△AQP的面積；（3）設(shè)P及E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線kPF?kFQ=﹣1，求得直線QF的方程，求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)+=，求得E點(diǎn)坐標(biāo)，則（）2=8（+6），即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）方法一：由題意可知：設(shè)B（t，2t），則|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由題意可知：設(shè)B（t，2t），由拋物線的性質(zhì)可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，則|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），設(shè)OQ的中點(diǎn)D，D（，），kQF==﹣，則直線PF方程：y=﹣（x﹣2），聯(lián)立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面積S=××=；（3）存在，設(shè)P（，y），E（，m），則kPF==，kFQ=，直線QF方程為y=（x﹣2），∴yQ=（8﹣2）=，Q（8，），根據(jù)+=，則E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ為鄰邊的矩形FPEQ，使得點(diǎn)E在Γ上，且P（，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，屬于中檔題．21．（18分）（2018?上海）給定無窮數(shù)列{an}，若無窮數(shù)列{bn}滿足：對(duì)任意n∈N*，都有|bn﹣an|≤1，則稱{bn}與{an}“接近”．（1）設(shè){an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，bn=an+1+1，n∈N*，判斷數(shù)列{bn}是否與{an}接近，并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列{an}的前四項(xiàng)為：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一個(gè)與{an}接近的數(shù)列，記集合M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，求M中元素的個(gè)數(shù)m；（3）已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，若存在數(shù)列{bn}滿足：{bn}與{an}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100個(gè)為正數(shù)，求d的取值范圍．【考點(diǎn)】8M：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【專題】34：方程思想；48：分析法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和新定義“接近”，即可判斷；（2）由新定義可得an﹣1≤bn≤an+1，求得bi，i=1，2，3，4的范圍，即可得到所求個(gè)數(shù)；（3）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an，討論公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，結(jié)合新定義“接近”，推理和運(yùn)算，即可得到所求范圍．【解答】解：（1）數(shù)列{bn}與{an}接近．理由：{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，可得an=，bn=an+1+1=+1，