2023-2024學年北師大版選擇性必修第一冊 直線與圓錐曲線的交點 學案

§4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系4.1直線與圓錐曲線的交點課標要求1.會用代數(shù)法來判斷直線與圓錐曲線交點的個數(shù).2.會由直線與圓錐曲線交點的個數(shù)，求參數(shù)的范圍.素養(yǎng)要求通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷提升學生的邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).一、直線與橢圓的交點1.思考如何判斷直線l：y＝kx＋b與橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)交點的個數(shù)？提示由于y＝kx＋b過點(0，b)，而點(0，b)在橢圓C上，所以直線與橢圓有1個或2個交點.2.思考若直線l與橢圓C相交，那么怎樣求交點坐標？提示直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，通過求方程組的解確定交點坐標.3.填空直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y(或x)得到一個關(guān)于x(或y)的一元二次方程位置關(guān)系解的個數(shù)Δ的取值相交兩解Δ>0相切一解Δ＝0相離無解Δ<0溫馨提醒直線與橢圓的位置關(guān)系只有3種，相離、相切、相交.4.做一做(1)已知直線l：x＋y－3＝0，橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1，則直線與橢圓的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切C.相離 D.相切或相交答案C解析把y＝－x＋3代入橢圓方程，得5x2－24x＋32＝0，其Δ＝(－24)2－4×5×32<0，故直線與橢圓相離.(2)直線y＝x＋2與橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有兩個公共點，則m的取值范圍是()A.(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞) D.(0，3)∪(3，＋∞)答案B解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1))消y可得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，∴Δ＝(4m)2－4m(3＋m)>0，解得m>1或m<0.又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.二、直線與雙曲線的交點1.思考類比直線與橢圓的位置關(guān)系，直線與雙曲線有幾種位置關(guān)系？提示有三種位置關(guān)系，分別為相交、相切、相離三種情況.2.填空把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式.(1)Δ＞0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點.(2)Δ＝0時，直線與雙曲線只有一個公共點.(3)Δ＜0時，直線與雙曲線沒有公共點.當a＝0時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點.溫馨提醒直線與雙曲線的關(guān)系中：一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支.3.做一做(1)“直線與雙曲線有唯一交點”是“直線與雙曲線相切”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案B解析直線與雙曲線有唯一交點時，直線與雙曲線不一定相切(直線與雙曲線的漸近線可能平行)；直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線一定有唯一交點.(2)若直線y＝kx與雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1相交，則k的取值范圍為________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3)))解析把y＝kx代入eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，得4x2－9k2x2＝36，即(4－9k2)x2＝36，因直線與雙曲線相交，∴x2＝eq\f(36,4－9k2)≥0，∴4－9k2＞0，∴－eq\f(2,3)＜k＜eq\f(2,3).三、直線與拋物線的交點1.思考直線與拋物線的位置關(guān)系有幾種.提示3種.相離、相切、相交.2.思考直線與拋物線只有一個公共點，那么直線與拋物線一定相切嗎？提示不一定，當直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，直線與拋物線只有一個公共點，但兩者相交.3.填空直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點個數(shù)取決于關(guān)于x的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的個數(shù)，即方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個數(shù).(1)當k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點，此時直線與拋物線相交；若Δ＝0，則直線與拋物線有一個公共點，此時直線與拋物線相切；若Δ<0，則直線與拋物線沒有公共點，此時直線與拋物線相離.(2)當k＝0時，直線與拋物線的軸平行或重合，此時直線與拋物線有1個公共點，此時直線與拋物線相交.溫馨提醒(1)直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.(2)研究直線與拋物線的關(guān)系時要注意直線斜率不存在的情況.4.做一做(1)已知直線y＝kx－k及拋物線y2＝2px(p＞0)，則()A.直線與拋物線有一個公共點B.直線與拋物線有兩個公共點C.直線與拋物線有一個或兩個公共點D.直線與拋物線可能沒有公共點答案C解析因為直線y＝kx－k＝k(x－1)，所以直線過點(1，0).又點(1，0)在拋物線y2＝2px的內(nèi)部.所以當k＝0時，直線與拋物線有一個公共點；當k≠0時，直線與拋物線有兩個公共點.故選C.(2)直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點，則k＝________.答案0或1解析當k＝0時，直線與拋物線有唯一交點；當k≠0時，聯(lián)立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由題意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，所以k＝1.綜上，k＝0或k＝1.題型一直線與橢圓的交點問題例1當m取何值時，直線l：y＝x＋m與橢圓9x2＋16y2＝144分別滿足下列條件：(1)無公共點；(2)有且僅有一個公共點；(3)有兩個公共點.解由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,9x2＋16y2＝144))消去y得9x2＋16(x＋m)2＝144，整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14400.(1)當Δ<0時，得m<－5或m>5，此時直線l與橢圓無公共點；(2)當Δ＝0時，得m＝±5，此時直線l與橢圓有且僅有一個公共點；(3)當Δ>0時，得－5<m<5，此時直線l與橢圓有兩個公共點.思維升華判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，可以直接由直線方程和橢圓方程聯(lián)立后，通過消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，然后利用判別式判斷即可；有些題目可先判斷直線所恒過的點與橢圓的位置關(guān)系，從而得到直線與橢圓的位置關(guān)系.訓練1若直線y＝x＋m與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1有兩個公共點，求m的取值范圍.解把直線方程y＝x＋m與橢圓方程eq\f(x2,4)＋y2＝1聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程5x2＋8mx＋4m2－4＝0，由Δ>0，得(8m)2－4×5×(4m2－4)>0，解得－eq\r(5)<m<eq\r(5).故m的取值范圍為(－eq\r(5)，eq\r(5)).題型二直線與雙曲線的交點問題例2已知雙曲線x2－y2＝4，直線l：y＝k(x－1)，試分別確定滿足下列條件的實數(shù)k的取值范圍.(1)直線l與雙曲線有兩個不同的公共點；(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點；(3)直線l與雙曲線沒有公共點.解聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝4，,y＝k（x－1），))消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)當1－k2≠0，即k≠±1時，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2>0，,1－k2≠0))得－eq\f(2\r(3),3)<k<eq\f(2\r(3),3)且k≠±1，此時方程(*)有兩個不同的實數(shù)解，即直線l與雙曲線有兩個不同的公共點.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2＝0，,1－k2≠0))得k＝±eq\f(2\r(3),3)，此時方程(*)有一個實數(shù)解，即直線l與雙曲線有且只有一個公共點；當1－k2＝0，即k＝±1時，直線l與雙曲線的漸近線平行，方程(*)化為2x＝5，故方程(*)只有一個實數(shù)解，即直線l與雙曲線相交，有且只有一個公共點.故當k＝±eq\f(2\r(3),3)或±1時，直線l與雙曲線有且只有一個公共點.(3)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2<0，,1－k2≠0))得k<－eq\f(2\r(3),3)或k>eq\f(2\r(3),3)，此時方程(*)無實數(shù)解，即直線l與雙曲線無公共點.思維升華(1)解決直線與雙曲線的公共點問題，不僅要考慮判別式，更要注意二次項系數(shù)為0時，直線與漸近線平行的特殊情況.(2)雙曲線與直線只有一個公共點時，應(yīng)分兩種情況討論，直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.(3)注意對直線的斜率是否存在進行討論.訓練2已知雙曲線x2－eq\f(y2,4)＝1，過點P(1，1)的直線l與雙曲線只有一個公共點，求直線l的斜率k.解(1)當直線l的斜率不存在時，l：x＝1與雙曲線相切，符合題意.(2)當直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)＋1，代入雙曲線方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.當4－k2＝0時，k＝±2，l與雙曲線的漸近線平行，l與雙曲線只有一個公共點；當4－k2≠0時，令Δ＝0，得k＝eq\f(5,2).綜上，k＝eq\f(5,2)或k＝±2或k不存在.題型三直線與拋物線的交點問題例3已知直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當k為何值時，l與C：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？解聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)當k＝0時，(*)式只有一個解x＝eq\f(1,4)，∴直線l與C只有一個公共點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，此時直線l平行于x軸.當k≠0時，(*)式是一個一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).①當Δ＞0，即k＜1，且k≠0時，l與C有兩個公共點，此時直線l與C相交；②當Δ＝0，即k＝1時，l與C有一個公共點，此時直線l與C相切；③當Δ＜0，即k＞1時，l與C沒有公共點，此時直線l與C相離.綜上所述，當k＝1或0時，l與C有一個公共點；當k＜1，且k≠0時，l與C有兩個公共點；當k＞1時，l與C沒有公共點.思維升華判斷直線與拋物線的位置關(guān)系的方法：聯(lián)立方程組消元，當二次項系數(shù)不等于零時，用判別式Δ來判定；當二次項系數(shù)等于0時，直線與拋物線相交于一點.訓練3已知拋物線方程為y2＝8x，若過點Q(－2，0)的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是________.答案[－1，1]解析由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，代入拋物線方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，當k＝0時，顯然滿足題意；當k≠0時，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1.因此直線l的斜率的取值范圍是[－1，1].[課堂小結(jié)]1.牢記三個知識點：(1)直線與橢圓的交點問題；(2)直線與雙曲線的交點問題；(3)直線與拋物線的交點問題.2.掌握兩種思想方法：分類討論與數(shù)形結(jié)合.3.辨清一個易錯點：直線與雙曲線，拋物線有一個公共點時易出錯.一、基礎(chǔ)達標1.已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，直線l：x＋my－m＝0(m∈R)，直線l與橢圓的位置關(guān)系是()A.相離 B.相切C.相交 D.不確定答案C解析由題意知，x＋my－m＝0(m∈R)恒過點(0，1)，∵eq\f(02,4)＋eq\f(12,3)＜1，∴點(0，1)在橢圓內(nèi)部，∴直線l與橢圓相交.2.過點(0，1)且與拋物線y2＝x只有一個公共點的直線有()A.1條 B.2條C.3條 D.無數(shù)條答案C解析∵點(0，1)在拋物線的外部，∴過點(0，1)且與拋物線只有一個公共點的直線有2條切線，1條交線.3.經(jīng)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))且與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1相切的直線方程是()A.x＋2eq\r(3)y－4＝0 B.x－2eq\r(3)y－4＝0C.x＋2eq\r(3)y－2＝0 D.x－2eq\r(3)y＋2＝0答案A4.直線y＝2x與雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1公共點的個數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.4答案A解析由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,\f(x2,4)－y2＝1，))消y得eq\f(x2,4)－4x2＝1，方程無解，故直線與雙曲線無交點.5.已知直線l與拋物線x2＝2py(p>0)只有一個交點，則直線l與拋物線的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切C.相離 D.相交或相切答案D解析當直線l與y軸平行(重合)時，直線l與拋物線x2＝2py(p>0)只有一個交點，此時直線l與拋物線是相交的.當直線l的斜率存在，直線l與拋物線x2＝2py(p>0)只有一個交點時，直線l與拋物線相切.6.橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦點到直線y＝eq\r(3)x的距離是________.答案eq\f(\r(3),2)解析已知橢圓的右焦點為(1，0)，它到直線eq\r(3)x－y＝0的距離為eq\f(|\r(3)－0|,\r(3＋1))＝eq\f(\r(3),2).7.若直線mx＋ny＝4與圓x2＋y2＝4沒有交點，則過點P(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交點個數(shù)為________.答案2解析因為直線mx＋ny＝4與圓x2＋y2＝4沒有交點，所以eq\f(|－4|,\r(m2＋n2))>2，所以m2＋n2<4，即點P(m，n)在以原點為圓心，以2為半徑的圓內(nèi)(不包含邊界)，所以點P(m，n)在橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的內(nèi)部，故過點P(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有兩個交點.8.直線y＝x＋3與曲線eq\f(y2,9)－eq\f(x|x|,4)＝1交點的個數(shù)為________.答案3解析當x＞0時，曲線eq\f(y2,9)－eq\f(x|x|,4)＝1表示雙曲線eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1位于y軸右側(cè)的部分，其漸近線為y＝±eq\f(3,2)x，而直線y＝x＋3的斜率為1，1＜eq\f(3,2)，∴y＝x＋3與x軸上半部分且位于y軸右側(cè)的雙曲線有1個交點.當x≤0時，曲線eq\f(y2,9)－eq\f(x|x|,4)＝1表示橢圓eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,4)＝1的左半部分，又∵直線y＝x＋3過橢圓頂點，∴直線y＝x＋3與橢圓左半部分有2個交點.綜上，共有3個交點.9.若直線y＝kx＋1與焦點在x軸上的橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點，求實數(shù)m的取值范圍.解法一由于橢圓的焦點在x軸上，知0<m<5.又∵直線與橢圓總有公共點，∴直線所經(jīng)過的定點(0，1)必在橢圓內(nèi)部或邊界上，∴eq\f(02,5)＋eq\f(12,m)≤1，即m≥1，故實數(shù)m的取值范圍是m∈[1，5).法二由橢圓方程及橢圓焦點在x軸上知0<m<5.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,5)＋\f(y2,m)＝1))得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，又直線與橢圓有公共點，∴上述方程的Δ≥0對一切k都成立，即(10k)2－4(m＋5k2)×5(1－m)≥0，亦即5k2≥1－m對一切k都成立，∴1－m≤0，即m≥1，故實數(shù)m的取值范圍是m∈[1，5).10.求過點(0，1)，且與拋物線y2＝2x有且只有一個公共點的直線方程.解①當所求直線斜率不存在，即直線垂直x軸時，因為過點(0，1)，所以x＝0，即y軸，它正好與拋物線y2＝2x相切.②當所求直線斜率為零時，直線為y＝1平行x軸，它正好與拋物線y2＝2x只有一個交點.③一般地，設(shè)所求的過點(0，1)的直線為y＝kx＋1(k≠0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝2x，))∴k2x2＋(2k－2)x＋1＝0.令Δ＝0，解得k＝eq\f(1,2)，∴所求直線為y＝eq\f(1,2)x＋1.綜上，滿足條件的直線為：y＝1或x＝0或y＝eq\f(1,2)x＋1.二、能力提升11.若直線l：x－2y＝0與雙曲線x2－ay2＝4(a＞0)的右支僅有一個公共點，則a的取值范圍是()A.(4，＋∞) B.[4，＋∞)C.(0，4) D.(0，4]答案C解析由雙曲線方程為x2－ay2＝4(a＞0)，可得漸近線方程為x＝±eq\r(a)y，由直線方程l：x－2y＝0與雙曲線的右支僅有一個公共點，可得eq\r(a)＜2，解得0＜a＜4，故選C.12.(多選)與直線x＋y－eq\r(2)＝0僅有一個公共點的曲線是()A.x2＋y2＝1 B.eq\f(x2,2)＋y2＝1C.x2－y2＝1 D.y2＝x答案AC解析直線與點(0，0)的距離d＝eq\f(\r(2),\r(2))＝1，故直線x＋y－eq\r(2)＝0與x2＋y2＝1相切，所以只有一個公共點，所以A正確；聯(lián)立直線x＋y－eq\r(2)＝0與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1的方程，消y得eq\f(3,2)x2－2eq\r(2)x＋1＝0，Δ＝8－4×eq\f(3,2)×1＝2>0，所以直線與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1有2個交點，所以B不正確；直線x＋y－eq