基尼系數(shù)的計算

基尼系數(shù)的計算

基本數(shù)量可以用來衡量收入不平等、消費不平等、財富不平等和其他不平等分配的現(xiàn)象。這個指標已為許多經(jīng)濟學家所通曉,并在實證研究和政策分析中得到了廣泛的應用?；嵯禂?shù)問世以來的八十多年中,一直處于不斷完善的過程之中。目前計算基尼系數(shù)的方法主要有幾何方法、基尼平均差方法、斜方差方法、矩陣方法,每種方法都有其自身的優(yōu)點和某種特殊的用處。但是它們在現(xiàn)實中都顯現(xiàn)出計算的復雜性,以至于人們希望能有一種新型的易操作的計算方法。本文設計了一種特殊的廣義行列式,用它可以較容易地求解任意平面多邊形的面積,從而為計算基尼系數(shù)提供了一種新的計算方法。一、基尼系數(shù)的計算分析基尼系數(shù)的理論結果有兩種方法:一種是以離散分布為基礎的分析,該方法容易理解,但計算比較繁雜;另一種是以連續(xù)分布為基礎的分析,在某種情形下,連續(xù)分布使有些數(shù)學推導得以簡化,這兩者實質(zhì)上是統(tǒng)一的。在計算基尼系數(shù)的過程中,借用洛倫茨曲線顯得更加直觀。洛倫茨曲線是美國經(jīng)濟學家洛倫茨在1907年提出的,應用積累次數(shù)分配曲線(或折線)描述一個國家或地區(qū)收入分配平均程度的一種圖示方法。如圖1,將相對積累人數(shù)作為橫軸,相對積累總收入作為縱軸,并將某年各收入組的數(shù)據(jù)畫在坐標系上,連接各點形成一條曲線即為洛倫茨曲線。由于已將人數(shù)和收入轉換成相對累計數(shù)字,因而坐標系的橫軸和縱軸都是以1.0為單位的相同長度線段。從左下方零點到右上方頂點的對角線表示收入分配的絕對公平線,即某一比例的人數(shù)得到相同比例的收入。橫軸底線和縱軸右邊線稱為絕對不公平線,表明接近100%的人沒有收入,而極少數(shù)人獲得全部收入。目前計算基尼系數(shù)的方法主要有幾何方法、基尼的平均差方法、斜方差方法以及矩陣法。用幾何方法計算基尼系數(shù)(見圖1),可以表示為:G=AA+B=AA+0.5-A=2AG=AA+B=AA+0.5?A=2A如果收入分布是連續(xù)的,那么基尼系數(shù):G=1-2∫10L(p)dpG=1?2∫10L(p)dp這里L(p)為洛倫茨曲線方程。但如果收入分布是離散的,那么計算A區(qū)域的面積就顯得復雜。在基尼(1912)的工作基礎上,Kendall在他的名著《高級統(tǒng)計理論》中,提到基尼系數(shù)是基尼相對平均差的1/2,于是基尼系數(shù)可以表示為:G=E|Yi-Yj|2μy這里Yi和Yj是同一分布的變量,μy是居民的平均收入。建立在相對平均差基礎上的基尼系數(shù)有其統(tǒng)計學意義,但是它的計算非常復雜。關于求解基尼系數(shù)的斜方差方法,代表者主要有Anand(1983)、Lerman和Yitzhika(1984)與Lambert(1989)。運用Anand的方法進行基尼系數(shù)的計算,首先要對收入進行排序,其次計算收入和及其序數(shù)的斜方差,最后除以觀測值的數(shù)目n?cov(y?in)=1ncov(y,i);這里,in是實際的累積密度函數(shù)F(y)的值。于是基尼系數(shù)為:G=2nμycov(yi,i)其結果與Lerman和Yitzhika以及Lambert一致。Shalit(1985)對這種方法進行了擴展,擴展后基尼系數(shù)可以通過一個回歸模型計算出來。斜方差方法的一個優(yōu)點是該方法可通過軟件中斜方差的計算程序計算基尼系數(shù)?，F(xiàn)有的文獻表明,Pyatt(1976)和Silber(1989)為了對基尼系數(shù)進行分解,提出了矩陣方法。令E為一個k×k的矩陣,其中的分量為Eij=E(gain|i-j)。令p為-k×1的向量,其中各分量為Pi。令第I組的平均收入為mi,m為一向量,它的各分量為mi,因此有m′p=k∑i=1mipi=μy?；嵯禂?shù)就可以表示為:G=(m′p)-1p′Ep下面結合圖1,筆者提出一種新型直觀易操作的計算基尼系數(shù)的方法。二、廣義行列式s1a3an從以上簡短的文獻綜述中可以看出,基尼系數(shù)幾何求解方法最直觀,但A區(qū)域的多邊形面積求解復雜,如果能夠解決這一問題,基尼系數(shù)的幾何求解方法將最為完美。因此問題的關鍵在于有沒有一種簡單求解多邊形面積的方法。廣義行列式表示的代數(shù)和,也可以用畫線(見圖2)的方法記憶,其中各實線連接的兩個元素的乘積是代數(shù)和中的正數(shù),各虛線連接的兩個元素的乘積是代數(shù)和中的負數(shù)。對于任意平面n邊形A1A2A3…An,設各項點坐標分別為(a11,a21),(a12,a22),(a13,a23),…,(a1n,a2n)。則按照上述廣義行列式法則,n邊形A1A2A3…An的面積可以表示為:SA1A2A3?An=12|a11a12a13?a1n-1a1na11a21a22a23?a2n-1a2na21|上式廣義行列式的列由n邊形的某一頂點的兩個坐標構成,其從左到右的排列是由n邊形的A1點開始沿著逆時針方向依次推進,最終回到A1點,形成一個閉合回路,見圖3。該多邊形面積計算公式可以應用數(shù)學歸納法證明。見圖3中多邊形A區(qū)域的面積公式:A=12|0L1L2L3?Ln100F1F2F3?Fn10|基尼系數(shù)G=|0L1L2L3?Ln100F1F2F3?Fn10|三、海南基尼系數(shù)的總體變化筆者收集了1990～2003年《海南省統(tǒng)計年鑒》關于“城鎮(zhèn)居民家庭生活按貧、富戶分組基本情況表”中的相關數(shù)據(jù),通過整理獲得了各年份人口及收入情況表。見表1海南省2001年人口及收入情況表。根據(jù)表1中2001年相對累積人數(shù)以及相對累積總收入列的相關數(shù)據(jù),繪制出圖4的2001年洛倫茨曲線。按照前面基尼系數(shù)測度方法以及表1中相對累積總收入以及相對累積總人口中的數(shù)據(jù),應用廣義行列式求面積的方法測算2001年海南省基尼系數(shù):仿照以上求解基尼系數(shù)的方法,分別算出海南省1990～2001年基尼系數(shù),見表2。表2顯示,海南省自建省以來,基尼系數(shù)總體變動趨勢在逐步提高,從1990年的0.2001上升到2001年的0.2841,這充分說明,海南省城鎮(zhèn)居民收入分配的差異性在擴大,在海南省經(jīng)濟的初步發(fā)展階段,這種收入分配差異性擴大的趨勢是必要的,能夠提高人們生產(chǎn)的積極性,體現(xiàn)多勞多得的社會主義分配原則。按照庫茲涅茨的倒U型假說,海南省經(jīng)濟發(fā)展水平尚處于庫茲涅茨倒U理論的初級發(fā)展階段,城鎮(zhèn)居民收入差距將經(jīng)歷一個由逐步擴大然后趨于縮小的過程,經(jīng)濟也將逐步走向繁榮。四、計算方法的計算盡管人們對基尼系數(shù)的研究