向量組線性相關(guān)性判定的幾種常用方法

向量組線性相關(guān)性判定的幾種常用方法

在線性代代相傳的研究中，很難理解和掌握向量線性相關(guān)性的確定。向量相關(guān)性是線性關(guān)系和線性無(wú)關(guān)的總稱，向量組的線性相關(guān)性和線性無(wú)關(guān)。只要掌握向量組的線性判斷，向量組的線性判斷就可以同時(shí)解決。在這項(xiàng)工作中，我們總結(jié)了確定向量組線性關(guān)系的一般方法，如下所示。1+2+ks2,3,4線性相關(guān)這是判定向量組的線性相關(guān)性的基本方法,既適用于分量沒(méi)有給出的抽象向量組,也適用于分量已經(jīng)給出的具體向量組.定義設(shè)向量組α1,α2,,αs(s≥1),若數(shù)域F中存在不全為零的數(shù)k1,k2,,ks,使得k1α1+k2α2++ksαs=0,則稱向量組α1,α2,,αs線性相關(guān),否則,則稱向量組α1,α2,,αs線性無(wú)關(guān).例1:設(shè)β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1,證明向量組β1,β2,β3,β4線性相關(guān).證明:設(shè)存在四個(gè)數(shù)k1,k2,k3,k4,使得k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0,將β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1,代入上式整理得(k1+k4)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4=0,令k1=k3=1,k2=k4=-1,則有k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0,所以由線性相關(guān)的定義知,向量組β1,β2,β3,β4線性相關(guān).2其他向量線性表出向量組α1,α2,,αs(s≥2)的線性相關(guān)的充要條件是向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表出;而對(duì)于單個(gè)向量α,α線性相關(guān)的充要條件是α=0.如例1,β4=β1+β3-β2,即β4可由其余三個(gè)向量線性表出,故向量組β1,β2,β3,β4線性相關(guān).3充要條件的確定方程組法就是將向量組的線性相關(guān)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的有無(wú)非零解的問(wèn)題.對(duì)于各分量都給出的向量組α1,α2,,αs線性相關(guān)的充要條件是以α1,α2,,αs的列向量為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組有非零解;若齊次線性方程組只有零解,則向量組線性無(wú)關(guān).例2:討論向量組α1=(2,1,-1,-1),α2=(0,3,-2,0),α3=(2,4,3,-1)的線性相關(guān)性.解:以α1,α2,α3為系數(shù)的齊次線性方程組是解之得k1=-k3,k2=-k3,即k1=k2=-1,k3=1是方程組的一組非零解,故α1,α2,α3線性相關(guān).4構(gòu)造矩陣的秩與向量的關(guān)系矩陣秩法就是將向量組構(gòu)成矩陣,利用矩陣的初等變換,將矩陣化為階梯形矩陣.當(dāng)矩陣的秩小于向量的個(gè)數(shù),向量線性相關(guān);當(dāng)矩陣的秩等于向量的個(gè)數(shù),向量線性無(wú)關(guān).如上例2,以α1,α2,α3為列向量組的矩陣A,進(jìn)行初等行變換,得由最后階梯形矩陣的秩知原矩陣的秩為2,小于向量組的個(gè)數(shù)3.故α1,α2,α3線性相關(guān).上面是以α1,α2,α3為列向量組構(gòu)造矩陣,根據(jù)矩陣的行秩與列秩的關(guān)系,用α1,α2,α3為行向量組構(gòu)造矩陣,再進(jìn)行初等行(列)變換也可以得到相同的結(jié)果.5s矩陣的線性相關(guān)若向量組α1,α2,,αs是由s個(gè)s維向量所組成的向量組,且向量組α1,α2,,αs所構(gòu)成的矩陣為A=(α1,α2,,αs),即A為s階方陣.則(1)當(dāng)A=0,則向量組α1,α2,,αs線性相關(guān);(2)當(dāng)A≠0,則向量組α1,α2,,αs線性無(wú)關(guān).6判定向量組線性相關(guān)性此方法是數(shù)學(xué)中常用的證明方法,欲證命題真,先假設(shè)命題假,導(dǎo)出矛盾,從而原命題得證.例3:若α1,α2,,αm線性無(wú)關(guān),若αm+1=k1α1+k2α2++kmαm且ki≠0(i=1,2,,m).證:α1,α2,,αm,αm+1中任意m個(gè)向量線性無(wú)關(guān).證:由已知得,αm+1用α1,α2,,αm表示,且表達(dá)式唯一.設(shè)α1,,αi-1,αi+1,,αm+1(1≤i≤m+1)線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù)k1,k2,,km+1,使得k1α1++ki-1αi-1+ki+1αi+1++km+1αm+1=0且km+1≠0,所以其中αi的系數(shù)為零,與條件中ki≠0矛盾.從而結(jié)論成立.當(dāng)然,判斷向量組線性相關(guān)性還有一些結(jié)