相似三角形與圓的綜合應用

相似三角形與圓的綜合應用個性化輔導講義：課題相似三角形與圓的綜合應用教學目的理解相似圖形和相似三角形的定義，掌握相似三角形的鑒定定理及相似三角形的性質掌握與圓的有關性質，以及與圓有關的角的概念及性質，理解切線及切線長定理在圓中的應用掌握點與圓、直線與圓、圓與圓的有關位置關系，理解相似三角形在圓中的應用重點、難點相似三角形的定義及相似三角形的鑒定定理和性質與圓有關的性質與圓有關的位置關系相似三角形在圓中的應用考點及考試規(guī)定考點一：相似三角形，理解相似圖形和相似三角形的定義，掌握相似三角形的鑒定定理及相似三角形的性質?？键c二：圓的基本性質及與圓有關的位置關系，掌握圓的基本性質，尤其是垂徑定理、圓周角及圓心角；理解與圓有關的位置關系，特殊是直線與圓位置關系中的相切關系和圓與圓的位置關系。教學內容知識框架相似三角形的概念與鑒定（一）定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫相似三角形。相似三角形的對應邊的比叫做相似比（也叫相似系數）。（二）鑒定：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似。②兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似。③有兩個角對應相等的兩個三角形相似。④三條邊對應成比例的兩個三角形相似。⑤一條直角邊和斜邊對應成比例的兩個直角三角形相似。⑥直角三角形被斜邊上的高提成的兩個直角三角形與原直角三角形相似。相似三角形的性質1.相似比：相似三角形對應邊的比值2.相似三角形各組對應角相等3.相似三角形各組對應邊的比值相等4.相似三角形對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比5.相似三角形周長的比等于相似比6.相似三角形面積的比等于相似比的平方7.直角三角形中，斜邊上的高線是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項圓的性質1、旋轉不變性2、圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．3、軸對稱：4、與圓有關的角⑴圓心角⑵圓周角點和圓、圓與圓的位置關系1.點與圓的位置關系2.鑒定直線與圓的位置關系的措施有兩種3、常用的輔助線是：圓心到直線的垂線段圓與圓的位置關系：1.兩圓的位置關系有五種2.根據兩圓交點個數判斷兩圓的位置關系3.根據圓心距與兩圓半徑的和的數量關系圓中常見的輔助線1．作半徑，運用同圓或等圓的半徑相等；2．作弦心距，運用垂徑定理進行證明或計算；3．作半徑和弦心距，構造由“半徑、半弦和弦心距”構成的直角三角形進行計算；4．作弦構造同弧或等弧所對的圓周角；5．作弦、直徑等構造直徑所對的圓周角——直角；6．碰到三角形的外心常連結外心和三角形的各頂點。考點一：相似三角形經典例題1在△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°,∠ABC的平分線BD與AC交于D,求證:BC＝BD(2)△ABC∽△BDC2.兩個相似三角形對應中線之比是3:7，周長之和為30cm,則它們的周長分別是3．如圖，已知EQ\F(AB,AD)＝EQ\F(BC,DE)=EQ\F(AC,AE)，求證：△ABD∽△ACE4．在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，則BD∶AD等于（）（A）a∶b（B）a2∶b2（C）eq\r(a)∶eq\r(b)（D）不能確定5.如圖，在ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，EQ\F(CE,DE)=EQ\F(1,2)求EQ\F(BC,AC)的值。知識概括、措施總結與易錯點分析相似三角形的概念與鑒定（一）定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫相似三角形。相似三角形的對應邊的比叫做相似比（也叫相似系數）。（二）鑒定：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似。②兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似。③有兩個角對應相等的兩個三角形相似。④三條邊對應成比例的兩個三角形相似。⑤一條直角邊和斜邊對應成比例的兩個直角三角形相似。⑥直角三角形被斜邊上的高提成的兩個直角三角形與原直角三角形相似。相似三角形的性質1.相似比：相似三角形對應邊的比值2.相似三角形各組對應角相等3.相似三角形各組對應邊的比值相等4.相似三角形對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比5.相似三角形周長的比等于相似比6.相似三角形面積的比等于相似比的平方7.直角三角形中，斜邊上的高線是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項針對性練習1．兩個相似三角形的對應角平分線的長分別為10cm和20cm，若它們的周長的差是60cm，則較大的三角形的周長是----------，若它們的面積之和為260cm2，則較小的三角形的面積為----------cm22.如圖，PLMN為矩形，AD⊥BC于D，PL∶LM=5∶9，且BC=36cm，AD=12cm，求矩形PLMN的周長3.如圖，在RtΔABD中，∠ADB=90°,CD⊥AB于C，AC=20cm,BC=9cm,求AB及BD的長如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，若BE=4，DE=9,求矩形的面積考點二：圓、相似與圓的綜合應用經典例題1.如圖，AB是△ABC的外接圓⊙O的直徑，D是⊙O上的一點，DE⊥AB于點E，且DE的延長線分別交AC、⊙O、BC的延長線于F、M、G.求證：AE·BE＝EF·EG；2.如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，D是⊙O上的一點，且AD∥CO。(1)求證：ΔADB∽ΔOBC；(2)若AB=2，BC=，求AD的長。(成果保留根號)ABCDOP圖5－1－23.已知：如圖，AB是ABCDOP圖5－1－2求證：（1）BC平分∠PBD；（2）4.如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，弦AD∥OC.求證：CD是⊙O的切線。AAODB.知識概括、措施總結與易錯點分析圓的性質1、旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和本來圖形重疊；2、圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．性質：在同圓或等圓中，假如兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩個弦心距中有一對量相等，那么它們所對應的其他各對量也分別相等。3、軸對稱：圓是軸對稱圖形，通過圓心的任一直線都是它的對稱軸．4、與圓有關的角⑴圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角。圓心角的性質：圓心角的度數等于它所對的弧的度數。⑵圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角的性質：①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的二分之一．②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角．點與圓的位置關系點在圓外d＞r點在圓上d=r點在圓內d＜r直線與圓的位置關系鑒定措施有兩種（1）根據定義，由直線與圓的公共點的個數來判斷；（2）根據性質，由圓心到直線的距離d與半徑r的關系來判斷常用的輔助線是：圓心到直線的垂線段圓與圓的位置關系（1）當兩圓有唯一的公共點時，叫做兩圓相切，唯一的公共點叫做切點。相切的兩個圓除了切點外，一種圓上的點都在另一種圓的外部時，我們就說這兩個圓外切（如圖1）；，相切的兩個圓，除了切點外，一種圓上的點都在另一種圓的內部時，我們就說這兩個圓內切（如圖2）。（2）設兩個圓的半徑為R和r,(R＞r)，圓心距為d，則可得兩圓外切d=R+r;兩圓內切d=R-r。（3）相切兩圓也構成軸對稱圖形，通過兩圓的圓心的直線叫做連心線，是他們的對稱軸，由此我們得到相切兩圓的連心線的性質：相切兩圓的連心線必通過切點。兩圓的位置關系尚有如下三種狀況：當兩個圓有兩個公共點時，叫做兩圓相交（如圖1）；當兩個圓沒有公共點時，叫做兩圓相離，相離的兩個圓，假如一種圓上的點都在另一種圓的外部，我們就說這兩個圓外離（如圖2），假如一種圓上點都在另一種圓的內部。我們就說這兩個圓內含（如圖3）設兩個圓的半徑為R和r,圓心距為d,則（1）兩圓相交R-r＜d＜R+r;（2）兩圓外離d＞R+r;（3）兩圓內含d＜R-r（R＞r）;圓中常見的輔助線1．作半徑，運用同圓或等圓的半徑相等；2．作弦心距，運用垂徑定理進行證明或計算；3．作半徑和弦心距，構造由“半徑、半弦和弦心距”構成的直角三角形進行計算；4．作弦構造同弧或等弧所對的圓周角；5．作弦、直徑等構造直徑所對的圓周角——直角；6．碰到三角形的外心常連結外心和三角形的各頂點。針對性練習：1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE⊥AB，垂足為C，過點D作⊙O的切線交BA的延長線于點P，tan∠P＝，PO＝16。(1)求⊙O的半徑；(2)求OC的長；(3)若F為弧AE的中點，求cos∠AOF的值。2.已知：如圖，直線PA交⊙O于A、E兩點，PA的垂線DC切⊙O于點C，過A點作⊙O的直徑AB。（1）求證：AC平分DAB；（2）若DC＝4，DA＝2，求⊙O的直徑。3.PC切⊙O于點C，過圓心的割線PAB交⊙O于A、B兩點，BE⊥PE，垂足為E，BE交⊙O于點D，F是PC上一點，且PF＝AF，FA的延長線交⊙O于點G。求證：（1）∠FGD＝2∠PBC；（2）.4.已知直線L與⊙O相切于點A，直徑AB=6，點P在L上移動，連接OP交⊙O于點C，連接BC并延長BC交直線L于點D，若AP=4，求線段PC的長若ΔPAO與ΔBAD相似，求∠APO的度數和四邊形OADC的面積（答案規(guī)定保留根號）鞏固作業(yè)1、如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，若∠APB=60°，則∠ABO=.(第1題)(第2題)(第3題)2．如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A與BC相切于點D，則⊙A的半徑為cm．3．如圖，已知∠AOB=30°，M為OB邊上一點，以M為圓心、2cm為半徑作⊙M．若點M在OB邊上運動，則當OM=cm時，⊙M與OA相切．4．如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，PO交⊙O于點B，PA=3，OA=4，則cos∠APO的值為（）（A）eq\f(3,4)（B）eq\f(3,5)（C）eq\f(4,5)（D）eq\f(4,3)5．已知正三角形的內切圓半徑為eq\f(\r(3),3)cm，則它的邊長是（）（A）2cm（B）eq\f(4,3)cm（C）2eq\r(3)cm（D）eq\r(3)cm6．已知半徑均為1厘米的兩圓外切，半徑為2厘米，且和這兩圓都相切的圓共有（）（A）2個（B）3個（C）4個（D）5個7.如圖，AD、AE分別是⊙O的切線，D、E為切點，BC切⊙O于F,交AD、AE于點B、C，若AD=8.則三角形ABC的周長是（）A.8B.10C.16D.不能確定8.如圖，BC是⊙O的直徑，弦AE⊥BC，垂足D,,AE與BF相交于點G.求證：(1)；(2)BG=GE9.如圖,已知AB是⊙O的直徑,⊙O過BC的中點D,且DE⊥AC.(1)求證:DE是⊙O的切線.(2)若∠C=30°,CD=10cm,求⊙Ｏ的半徑．OOＡＢＤＥ10.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90，AB＝6，BC＝8。以AB為直徑的⊙O交AC于D，E是B