2005年數(shù)學(xué)分析試題及解答

0—（10分）計算定積分ex0解：exsin2xdx=1ex1cos2x exdxe 由分部積分法excos2xdxe1+2exsin2xdxe14excos 所以excos2xdx1e1，所以exsin2xdx=2e 解 （10分）f(x在[0,1]上Riemann0

f(x)dx

2

4n

f( f(x在[0,1]上Riemann可積，所以M

f(x)M1fi 因為

ln(1

1，所以4ln[1

f(

)]與 f()等價且極限值相n n lim4ln[11fi=41f(x)dx n 三（15分）abc為實數(shù)，且b1,c0試確定abc的值，使得

axsinxln(1 解：若b0，顯然

axsin3xln(1t3

0，這與c0矛盾，所以b計算

axsin3xln(1t3

axsinlim

acos ln(1lim 3，易有l(wèi)im x0xln(1t) x0ln(1x

a1.計算lim1cos

xln(1t

x0ln(1x3) lim1cosxlimxxcosxlim1cosxxsinxlim2sinxxcosx0ln(1x

x0ln(1 1

6x(1 3cosxxsin 1 x0(612x3)(1x3)26x2(6x3x4)(x31) (1x3)4（15分）f(x在[abxa,ba,b，使得在存在[ab],使得f()

f(y)

f

證明:反證法,f(x在[ab上連續(xù),由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),不妨假設(shè)0mf(x)1x,x使得f(x)

f(x) 存在x使得f(x) f(x)

f(x 所以x[a, f(x) f(x)M0,(n) 即limf(x0,x,0m

f(xM,矛盾所以[a,b]存在零 證五（20分1f(x)在[a

f(x)dxxna滿足條件limxn limlimf(x)0（2）設(shè)f(x)在[a,)上連續(xù)，f(x)0, f(x)dx收斂問是否必有l(wèi)imf(x)0？為什么

證明：（1）因為f(x)dx收斂，所以對于任意的0，存在G0,當(dāng)xxG

2f(x)dx

11考慮 f(x)dx，由積分中值定理，存在(n,n1)，使得 f(x)dx(，將nx

limx當(dāng)nG

f

f(xn)，即limf(xn) 證

2n(xn1

x[n1,n（2）不一定有.舉一個例子:f(x是這樣一個函數(shù):f(x2n(xn

x[n,n

n1, 其它,x1顯然函數(shù)f(x)0,f(x)dx 1,但limf(x)0(因為在整點處函數(shù)值為 12

六（20分）設(shè)f(x)在[0,)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且已 M0supf(x);x0,M2supf''(xx0,（1）f'(t)2M0tM對任何t0,x(0,均成立 （2）M1supf'(x);x0,也是有限數(shù)，并且滿足不等式M1 證明:(1)f(ttt處Talyor展開f(tt=f(tf'(t)tf''(t2,t>0,整理一下有2f(t)ff'(t)f(2t)f(t)f''()t,,所以ff(t)f 所以f'(t)2M0t 證 MM因為f'(t)2M0tM對任何t0,x(0,)均成立.取t MM f'(t)

M1supf'(x);x0,也是有限數(shù)，并且滿足不等式M1 七（10分）f(x在任何有限區(qū)間上Riemann可積，且

f(xdx

f(x)sin(nx)dx證明 因為

f(x)dx收斂,所 0, G

f(x)dx

f(x)dx2在[GGf(x)Riemann可積RiemannLebesgue引理lim

f(x)sin(nx)dxG即:0,NnNG

f(x)sin(nx)dx2所以0,NnN時 f(x)sin(nx)dxGf(x)sin(nx)dx f(x)dx

f(x)dx即

f(xsin(nx)dx （15分）（1）arctanx展開為冪級數(shù)，求收斂半徑（2）利用（1）證明：444...... ...... 2n（3）利用（2）中公式近似計算的值，需要用多少項求和，誤差會不超過10m（m為自然數(shù)）解：（1）arctanx=

2n1

11收斂半徑： 1limn 在級數(shù)

2n4arctan1444...... 2n

2n

42n

10m，所以2n1410m410m

410mn22所以至少計算 1項，這里y[x]是取整函數(shù) 解2 x2 （15分）設(shè)u(x,y)是R2\{0,0}上C2徑向函數(shù)，即存在一元函數(shù)f(x)使得u(x,y)f(x2 若

0f滿足的方程及函數(shù)u(x,y

f ， f f''(r) f'(r) f''(r) f'(r) 3333

x2

x2y2

x2

x2y2由

f''(rf'(r1 f''(r1，所以lnf'(rln10 f 01所以f'(r) ,f(r)Clnr 這里C,C,C均為常數(shù)1 所以u(x,y)C x2y2) （25分）(1)設(shè)f是R1上C1，周期為L的函數(shù)（L0）,且Lf(x)dx0。利用f的Fourier級數(shù)展開證明0Lf'(x)2dx4

Lf(x)2dx

af(t

2i La

2iL 2

設(shè)R2上具有C1A(是的面積，則2A()divrdxdyrv r(xyr1xy)ir2xy)jr1(xyxr2xyyij是xy軸的單位向量.v是邊界的單位外法向量，ds是邊界的弧長微分.（證明：（1）fR1上C1ffPassevalLf(x)dx02 0L0

f

dxanbn

fFourier2na2nbPasseval 2 42

2 2

42 L0f'(x)dx

L2nannbn，顯然

f'(x)dx f(x)dx

2iL

2i （2）divr=xy2，所以divrdxdy2dxdy

2rvds

式2dxdy=2 證將坐標(biāo)(x,y)看作是弧長s的函數(shù)(x(s),y(s))，因為有：(dx)2(dy)2 dx2dy1 1，令l()Lx(s),y(s)L的C1ds dsLA()0x(s)yL 4L L0考慮：LA() L0

x(s)y'(s)dsL0 x(s)

y'(s)

14

L2x2(s)ds

LLy'(