一道平面幾何題發(fā)現(xiàn)證明另一個(gè)結(jié)論_第1頁
一道平面幾何題發(fā)現(xiàn)證明另一個(gè)結(jié)論_第2頁
一道平面幾何題發(fā)現(xiàn)證明另一個(gè)結(jié)論_第3頁
一道平面幾何題發(fā)現(xiàn)證明另一個(gè)結(jié)論_第4頁
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文檔簡介

2002年第4 童(浙江省寧波市外國語學(xué)校初三(2班命題過一個(gè)凸四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的直線均平分四邊形的面積,則這三線共點(diǎn)的充如圖1,在四邊ABCD,ACBDO,BODO要證的是過ADC平分面積的直線交于一點(diǎn)

AC平分面積的直線重合于AC.而過點(diǎn)D平分面積的直線必交于AC.必要性的證明(i),考慮過任意凸四邊形頂點(diǎn)的直如圖2凸四邊形DAC的BCE.△BE=BO=1]△

=

BE的中點(diǎn) F,AF,AFS四邊形ABCD圓圓心和半徑,O到O1O2的距離分別記 R2- AO·O O1有 = 1d1d2.則 R- R- R- R-

O2 1= 2 =BO2sinα=sin OO1OEF延AO1OG,BG,O2BG上由相交弦定理,知=(R+d1)(R-d1)

∴∠O1DG=α+β=∠GO1DO1G=GDO2G=CGGD∴O1G=O2R2- O

O2

R2- 1即R2-d2=AO·O 1R2-d2=BO·O

2 ∵∠CBD=∠CAD

推論,ACD△BCD的內(nèi)切圓半徑相等(r1=r2,

=∠OAD=

d1=d2

∴r1=AO1sinα,r2=BO2sin 1]姚勇關(guān)聯(lián)三個(gè)圓的一個(gè)定理[J中等數(shù)學(xué),1999(6)連結(jié)AE.

1故BF1 2

2 1-2∴S△ACE=S△ADC 而F是BE的中點(diǎn) 1-

2b- ∴OE=(1-a)(2b-1)則S△ABF=2S△ABE=2(S△ABC+S△ACE OE (1-a)(2b- =2(S△ABC+S△ADC)=2S四邊形ABCD (1-a)(2b-1)+故AF平分 的面積 OE (1-a)(2b- (1-a)(2b-1)+G,連結(jié)GF.易得GF∥DE.

故DE=OD+OE BO-(1-b)BD+(1-a)(2b-1)b (1-a)(2b-1)+FBDACBC的點(diǎn)

(1-a)(2b-1)b(1-a)(2b-1)+因?yàn)橄襁@樣的點(diǎn)F4分別用F1F2F3F4表示

=a+b-2ab b 3

BF1=

CBF4H∥BOb1BD、AC的 a-1點(diǎn)GH作AC 4=OH 2=1 BD的平行線

22b12bABBC

∴BF1 F1 F3F1F4F2AF1

三線交于點(diǎn)P

2b-1+2a a+b-2FDEB F4F情形

EB·14 =OC=aBO=

a+b-22

=∵F2F4∥BD

aa+b-2 F4 F2

b=1

222 BF1AC

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