第十三章 積分變換法求解定解問(wèn)題

1第十三章積分變換法在復(fù)變函數(shù)理論中，我們?cè)美绽棺儞Q法求解常微分方程．經(jīng)過(guò)變換，常微分方程變成了代數(shù)方程，解出代數(shù)方程，再進(jìn)行反演就得到了原來(lái)常微分方程的解．積分變換法是通過(guò)積分變換簡(jiǎn)化定解問(wèn)題的一種有效的求解方法．2對(duì)于多個(gè)自變量的線性偏微分方程，可以通過(guò)實(shí)施積分變換來(lái)減少方程的自變量個(gè)數(shù)，直至化為常微分方程，這就使問(wèn)題得到大大簡(jiǎn)化，再進(jìn)行反演，就得到了原來(lái)偏微分方程的解．

積分變換法在數(shù)學(xué)物理方程（也包括積分方程、差分方程等）中亦具有廣泛的用途．尤其當(dāng)泛定方程及邊界條件均為非齊次時(shí)，用經(jīng)典的分離變量法求解，就顯得有些煩瑣和笨挫，而積分變換法為這類問(wèn)題提供了一種系統(tǒng)的解決方法，并且顯得具有固定的程序，按照解法程序進(jìn)行易于求解．利用積分變換，有時(shí)還能得到有限形式的解，而這往往是用分離變量法不能得到的．3

特別是對(duì)于無(wú)界或半無(wú)界的定界問(wèn)題，用積分變換來(lái)求解，最合適不過(guò)了．（注明：無(wú)界或半無(wú)界的定界問(wèn)題也可以用行波法求解）用積分變換求解定解問(wèn)題的步驟為：第一：根據(jù)自變量的變化范圍和定解條件確定選擇適當(dāng)?shù)姆e分變換；對(duì)于自變量在

內(nèi)變化的定解問(wèn)題（如無(wú)界域的坐標(biāo)變量）常采用傅氏變換，4第二：對(duì)方程取積分變換，將一個(gè)含兩個(gè)自變量的偏微分方程化為一個(gè)含參量的常微分方程；第三：對(duì)定解條件取相應(yīng)的變換，導(dǎo)出常微分方程的定解條件；第四：求解常微分方程的解，即為原定解問(wèn)題的變換；第五：對(duì)所得解取逆變換，最后得原定解問(wèn)題的解．

自變量在內(nèi)變化的定解問(wèn)題（如時(shí)間變量）常采用拉氏變換．

513.1傅里葉變換法解數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題用分離變量法求解有限空間的定解問(wèn)題時(shí)，所得到的本征值譜是分立的，所求的解可表為對(duì)分立本征值求和的傅里葉級(jí)數(shù)．

對(duì)于無(wú)限空間，用分離變量法求解定解問(wèn)題時(shí)，所得到的本征值譜一般是連續(xù)的，所求的解可表為對(duì)連續(xù)本征值求積分的傅里葉積分．

因此，對(duì)于無(wú)限空間的定解問(wèn)題，傅里葉變換是一種很適用的求解方法．6下面的討論我們假設(shè)待求解的函數(shù)u及其一階導(dǎo)數(shù)是有限的.

13.1.1弦振動(dòng)問(wèn)題例13.1.1求解無(wú)限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)定解問(wèn)題（假定：函數(shù)u及其一階導(dǎo)數(shù)是有限的，以后不再特別指出．這一定解問(wèn)題在行波法中已經(jīng)介紹.

7【解】應(yīng)用傅里葉變換，即用遍乘定解問(wèn)題中的各式，并對(duì)空間變量x積分（這里把時(shí)間變量看成參數(shù)），按照傅里葉變換的定義，我們采用如下的傅氏變換對(duì)：