第二章梁的彈塑性彎曲及

第二章

梁的彈塑性彎曲及梁和剛架的塑性極限分析§2.1矩形載面梁的彈塑性純彎曲§2.2橫向載荷作用下梁的彈塑性分析§2.3強化材料矩形載面梁彈塑性純彎曲§2.4超靜定梁的塑性極限載荷§2.5用靜力法和機動法求剛架的塑性極限載荷§2.6極限分析中的上下限定理§2.7最輕結(jié)構(gòu)的極限設計§2.8彎矩和軸向力同時作用的情形§2.1矩形截面梁的彈塑性純彎曲

關(guān)于梁的兩個假定（材料力學）：①

平截面假定：梁的橫截面在變形之后仍然保持平面。②

截面上正應力對變形的影響是主要的，其它應力分量的影響可以忽略。故應力應變關(guān)系可簡化為正應力σ和正應變ε之間的關(guān)系。一、基本關(guān)系在圖示的矩形截面梁中，如取x軸為中心線，y軸指向梁的撓度方向，梁的受力狀態(tài)對稱與x-y平面時。由平面假設，截面上的正應變?yōu)槠渲袨榍?，和都是的函?shù)。小變形情形下——式中撓度以指向軸的方向為正。截面上的軸力和彎矩為——式中b和h分別為矩形截面的寬度和高度考慮梁的純彎曲問題，故（3）式中軸向力為零，N=0，而（4）式的彎矩M與x無關(guān)。二、彈性階段由得將代入（3）、（4）——截面的慣性矩說明彎矩和曲率之間有線性關(guān)系代入式（5）說明應力分布與y成比例在梁的最上層和最下層，應力的絕對值最大，故開始屈服所對應的彎矩和曲率為——彈性極限彎矩——彈性極限曲率則（6）式的無量綱形式可寫為三、彈塑性階段考慮的情形設彈塑性區(qū)交界處的值為有截面上的彎矩：或（10）式中，對應于y=y0的應力為σ=σs，故考慮的情形（11）式也可寫為對比彈性解1、表明雖然梁截面的外層纖維已進入塑性屈服階段，但由于其中間部分仍處于彈性階段，“平截面”的變形特性限制了外層纖維塑性變形的大小，因而它們是處于約束塑性變形狀態(tài)，梁的曲率完全由中間彈性部分控制。，，塑性極限載荷，在y=±0處上下纖維的正應力從+σs跳到-σs，出現(xiàn)了正應力的強間斷。2、3、當變形限制在彈性變形的量級時，材料的塑性變形可以使梁的抗彎能力得到提高。矩形截面梁圓形截面薄圓管工字梁三、卸載時的殘余曲率和殘余應力

1、卸載規(guī)律——在卸載時M~K之間應服從彈性規(guī)律彎矩的改變量和曲率的改變量之間的關(guān)系：應力的改變量：2、殘余曲率若彎矩完全卸到零，即殘余曲率的表達式卸載后的殘余曲率與未卸載時的曲率之比：或：適用：或：當時，顯然有3、殘余應力其中與之間的關(guān)系有式（13）和（14）給出說明：1.在彈性區(qū)的殘余應力仍保留原來的符號。2.卸載時，應力變化最大的部位在梁的最外層由和3.當再次施加的正向彎矩值不超過M*時，梁將呈彈性響應。得外層的正應力改變了符號但未出現(xiàn)反向屈服4.如卸載到零以后再施加反向彎矩，則開始時的響應仍是彈性的，當△M滿足外層纖維開始反向屈服,即彎矩的變化范圍不大于2Me時，結(jié)構(gòu)將是安定的。§2.2橫向載荷作用下梁的彈塑性分析

一、梁的彈性極限載荷研究矩形截面的理想彈塑性懸臂梁，在端點受集中力作用梁的彎矩：當P增至根部的彎矩X=0截面的最外層纖維開始屈服稱為彈性極限載荷二、塑性狀態(tài)時，梁的彎矩分布仍服從（19）式。設開始進入塑性狀態(tài)的截面在處，則有位于的各截面上均有部分區(qū)域進入屈服狀態(tài)，其彈塑性交界位置1、塑性極限載荷在處，當時，即梁根部的整個截面都進入塑性流動階段稱為塑性極限載荷與相應的值可由2、塑性鉸塑性鉸：彎矩達到了塑性極限彎矩，則相應的曲率可任意地增長，就好像一個鉸那樣。與通常的鉸有兩點區(qū)別：1.通常的鉸不承受彎矩；2.通常較兩側(cè)的梁段可在兩個方向作相對轉(zhuǎn)動，而塑性鉸作反方向相對轉(zhuǎn)動對應于卸載。三、梁的撓度1、梁處于彈性狀態(tài)以及端條件可得特別地1、梁處于彈塑性狀態(tài)彈塑性梁段彈性梁段當區(qū)間中的曲率可由下式給出：利用端條件，得區(qū)間中的曲率可由下式給出：利用x=3/L處的連接條件，得其中自由端的撓度為：可見，彈塑性變形與彈性變形是同數(shù)量級的。？當載荷P先加到P，然后又卸載到零時，自由端的殘余撓度？§2.3強化材料矩形截面梁的彈塑性純彎曲一般強化材料:在純彎曲條件下，單調(diào)加載時，彎矩表達式為：作變量替換后，上式可寫為：可得到M～K

關(guān)系。僅當時，上式中的才不為零如已知K＞0，則由（9）和（12）式：可直接求得M值。如已知M＞0，則需用疊代法求出相應的K值和應力分布。為此，可利用將（24）式改寫為：上式右端的第一項為純彈性部分，第二項是由于梁的塑性變形而對曲率的修正。注意到，有在令：則對任意兩個曲率和，由中值定理可得--現(xiàn)定義算子T：而將（27）式寫成采用迭代法：先令則第一次迭代為：由于可見T是一個壓縮映象，以上迭代過程是收斂的。--則第次迭代為：§2.4超靜定梁的塑性極限載荷以圖示的一次超靜定梁為例設其

MK

曲線可由圖7中的理想彈塑性模型表示，即～當時設載荷P從零開始增長。AB段和BC段彎矩是線性分布的其中在根部A截面當時，對應的載荷為：當時（1）梁的根部形成一個塑性鉸，可以產(chǎn)生任意大的曲率。但由于其它部位仍處于彈性階段，故根部曲率的大小要受到這些部位的約束。（2）A點成為塑性鉸后，該處的彎矩已知，結(jié)構(gòu)成為靜定的。由平衡條件得當時，B點的彎矩為梁成為一個機構(gòu)而不能進一步承載。稱為塑性極限載荷分析：1.塑性極限載荷并不依賴于彈模E，其值僅與結(jié)構(gòu)本身和載荷有關(guān)，而與結(jié)構(gòu)的殘余應力狀態(tài)和加載歷史無關(guān)。彈塑性結(jié)構(gòu)的極限載荷與剛塑性結(jié)構(gòu)的極限載荷是相同的2.若僅計算極限載荷，無須分析彈塑性變形過程，可采用剛塑性模型，用更為簡單的方法進行計算。常用的方法：靜力法：以應力作為基本未知量機動法：以位移作為基本未知量靜力法：是通過與外載荷相平衡且在結(jié)構(gòu)內(nèi)處處不違反屈服條件的廣義應力場來尋求所對應外載荷的最大值的一種方法。以圖6所示的梁為例彎矩（絕對值）的最大值只可能在A點和B點。以C點的支座反力為參數(shù)梁內(nèi)處處不違反屈服條件就要求兩個不等式同時成立，所對應的最大外載荷為：——塑性極限載荷機動法：是當結(jié)構(gòu)的變形可能成為一個塑性流動（或破損）機構(gòu)時，通過外載荷所做的功與內(nèi)部耗散功的關(guān)系來尋求所對應外載荷的最小值的一種方法。對于圖6所示的梁，可能的破損機構(gòu)只有一種，即根部A和中點B都成為塑性鉸。令B點向下移動的距離為δ，A點處梁的轉(zhuǎn)角為B點兩側(cè)梁段的相對轉(zhuǎn)角為則力P所作的功為：塑性鉸上所作的耗散功為：由外力功和內(nèi)部耗散功相等的條件——塑性極限載荷或注：對于較為復雜的結(jié)構(gòu)，可能的破損機構(gòu)一般有好幾種。對應于每一種機構(gòu)，都可求得一個載荷值。真實的極限載荷是所有這些載荷中的最小值?！?.5用靜力法和機動法求剛架的塑性極限載荷

一、幾個概念靜力場

：處處滿足平衡條件的內(nèi)力分布現(xiàn)考慮一個n次超靜定剛架，它有n個多余反力設剛架中可能出現(xiàn)塑性鉸的節(jié)點個數(shù)為m。m個節(jié)點處的彎矩外力多余反力消去得到的m-n個方程反映了結(jié)構(gòu)的平衡條件即構(gòu)成一個平衡體系——稱為靜力場靜力許可場：結(jié)構(gòu)內(nèi)處處不違反屈服條件的靜力場結(jié)構(gòu)內(nèi)處處不違反屈服條件——稱為靜力許可場靜力法：就是要在一切可能的靜力許可場中尋求取值最大的外載荷。

二、例子①⑤②③④圖8我們來考慮圖8所示的平面剛架。設各截面的塑性極限彎矩為MS。在水平力3P和豎直力2P的作用下，求出結(jié)構(gòu)最大可能承受的載荷P。

解：該結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)n=2

節(jié)點①，②，③，④處可能出現(xiàn)塑性鉸,故m=4取節(jié)點⑤處的支座反力R和N為多余反力，并規(guī)定彎矩的符號以剛架內(nèi)側(cè)拉為正，則相應的平衡方程為[靜力法]消去R、N，得到m-n=2個獨立的平衡方程即如果mj還滿足屈服條件則就構(gòu)成一個靜力許可場(29)利用（30）式，條件（31）式可等價地寫為

或消去消去(32)(33)(34)而（負號對應于反向加載）對應于最大載荷值：當(34)式中的各式才可能成立?！獮榇嬖陟o力許可場的條件(36)1.對應于的彎矩分布可通過回代過程來確定：——塑性極限載荷說明：2.二次超靜定結(jié)構(gòu)中有三個節(jié)點①，②，④成為塑性鉸，結(jié)構(gòu)變成機構(gòu)而開始塑性流動。這說明（36）式的的確是一個極限載荷。[機動法]說明：1.對于n次超靜定剛架，當出現(xiàn)（n+1)個塑性鉸時，結(jié)構(gòu)就會變成機構(gòu)而產(chǎn)生塑性流動。設可能出現(xiàn)塑性鉸的節(jié)點數(shù)為m，則可能的破損機構(gòu)的總數(shù)不少于m2.對于n次超靜定剛架，可能出現(xiàn)塑性鉸的節(jié)點數(shù)為m，可列出的獨立的平衡方程個數(shù)為m-n。這m-n個方程可利用虛功原理與結(jié)構(gòu)的m-n個破損機構(gòu)相對應，稱這樣的破損機構(gòu)為基本機構(gòu)其它的破損機構(gòu)可通過基本機構(gòu)組合而得到3.每一個破損機構(gòu)都是一個機動場。設在塑性鉸點兩側(cè)梁段的相對轉(zhuǎn)角為與外載荷相對應的廣義位移為可表示為許可機動場——使外載荷在上所作的總功取正值的機動場對于每一個運動機動場，當令外載荷作的總功與塑性鉸的總耗散功相等時，便得到一個載荷值。機動法就是要在一切可能的運動許可場中尋求取值最小的外載荷①⑤②③④圖8我們來考慮圖8所示的平面剛架。設各截面的塑性極限彎矩為MS。在水平力3P和豎直力2P的作用下，求出結(jié)構(gòu)最大可能承受的載荷P。

解：可能的破損機構(gòu)總數(shù)為基本機構(gòu)的個數(shù)為例如，取圖9中的（a)和（b）為基本機構(gòu)。則（a)和（b）這兩種基本機構(gòu)疊加：消去處的鉸，得到機構(gòu)（c）。②消去處的鉸，得到機構(gòu)（d）。④(d)成鉸③①②(c)成鉸①③④(b)成鉸③④①(a)成鉸②③④用機動法計算對應于每個破損機構(gòu)的載荷值(a)成鉸②③④(b)成鉸③④①(c)成鉸①③④(d)成鉸③①②以上四種載荷值中的最小者對應于機構(gòu)(b),最先形成塑性鉸的節(jié)點為①,②,④?！Y(jié)構(gòu)的塑性極限載荷討論一種簡便的方法：在以上這些塑性流動機構(gòu)中事先選取其中的某幾個，并分別計算出這幾個機構(gòu)所對應的“上限載荷”。進而考察這些“上限載荷”中取最小值的塑性流動機構(gòu)，并將其鉸點上的彎矩值取為極限彎矩，然后在根據(jù)平衡條件求出其它各節(jié)點處的彎矩值。如果所有截面上彎矩的絕對值都沒有超過極限彎矩，那么我們就找到了一個靜力許可場，因為它同時對應于某個運動機動場，所以以上所求得的載荷值就是真實的極限載荷，否則以上的載荷只能是真實極限載荷的上限，而需要對其它的塑性流動機構(gòu)再重新進行計算。(a)成鉸②③④我們來考慮圖8所示的平面剛架。先選取使節(jié)點成鉸的機構(gòu)為塑性流動機構(gòu)。②③④(29)由由柱45的平衡條件，可知節(jié)點處的水平力⑤可知節(jié)點處的水平力①由柱12的平衡條件，可知節(jié)點處