行測方陣問題詳細(xì)總結(jié)

公務(wù)員考試行測輔導(dǎo)數(shù)學(xué)運(yùn)算“方陣”問題學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列。假如行數(shù)與列數(shù)都相等，則恰好排成一種正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫做方陣(亦叫乘方問題)。1.方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方(方陣問題的關(guān)鍵)2.方陣最外層每邊人數(shù)=(方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4)+13.方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多24.去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)×2-1例1學(xué)校學(xué)生排成一種方陣，最外層的人數(shù)是60人，問這個(gè)方陣共有學(xué)生多少人?A.256人B.250人C.225人D.196人(A類真題)解析：方陣問題的關(guān)鍵是求最外層每邊人數(shù)。根據(jù)四面人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四面人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。方陣最外層每邊人數(shù)：60÷4+1=16(人)整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：16×16=256(人)。因此，對的答案為A。例2參與中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操比賽的運(yùn)動(dòng)員排成了一種正方形隊(duì)列。假如要使這個(gè)正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少33人。問參與團(tuán)體操演出的運(yùn)動(dòng)員有多少人?分析如下圖表達(dá)的是一種五行五列的正方形隊(duì)列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等;最外層每邊人數(shù)是5，去一行、一列則一共要去9人，因而我們可以得到如下公式：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)×2-1解析：方陣問題的關(guān)鍵是求最外層每邊人數(shù)。原題中去掉一行、一列的人數(shù)是33，則去掉的一行(或一列)人數(shù)=(33+1)÷2=17方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，因此總?cè)藬?shù)為17×17=289(人)下面幾道習(xí)題供大家練習(xí)：1.小紅把平時(shí)節(jié)省下來的所有五分硬幣先圍成個(gè)正三角形，恰好用完，后來又改圍成一種正方形，也恰好用完。假如正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價(jià)值是：A.1元B.2元C.3元D.4元(中央真題)2.某儀仗隊(duì)排成方陣，第一次排列若干人，成果多出100人;第二次比第一次每行、每列都增長3人，又少29人。儀仗隊(duì)總?cè)藬?shù)為多少?答案：1.C2.500人(1)方陣總?cè)?物)數(shù)＝最外層每邊人(物)數(shù)的平方；(2)方陣最外一層總?cè)?物)數(shù)比內(nèi)一層總?cè)?物)數(shù)多8(行數(shù)和列數(shù)分別不小于2)；(3)方陣最外層每邊人(物)數(shù)＝(方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4)＋1；(4)方陣最外層總?cè)藬?shù)＝[最外層每邊人(物)數(shù)－1]×4；(5)去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù)×2－1【例1】（國家A類-9、國家B類-18）某學(xué)校學(xué)生排成一種方陣，最外層的人數(shù)是60人，問這個(gè)方陣共有學(xué)生多少人？（）A.256人

B.250人

C.225人

D.196人［答案］A［解析］根據(jù)公式：方陣人數(shù)＝(最外層人數(shù)÷4＋1）^2＝（60÷4＋1）^2＝256（人）?！纠?】（浙江-18）某校的學(xué)生剛好排成一種方陣，最外層的人數(shù)是96人，則這個(gè)學(xué)校共有學(xué)生（）。A.600人

B.615人

C.625人

D.640人［答案］C［解一］根據(jù)公式：方陣人數(shù)＝(最外層人數(shù)÷4＋1)^2＝（96÷4＋1）^2＝625（人）。［解二］數(shù)字特性法：方陣的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是一種完全平方數(shù)，因此結(jié)合選項(xiàng)，選擇C?！纠?】（廣西-11）參與閱兵式的官兵排成一種方陣，最外層的人數(shù)是80人，問這個(gè)方陣共有官兵多少人？（）A．441B.400C.361D.386［答案］A［解析］根據(jù)公式：方陣人數(shù)＝(最外層人數(shù)÷4＋1)^2＝（80÷4＋1）^2＝441（人）?！纠?】（國家一類-44、國家二類-44）小紅把平時(shí)節(jié)省下來的所有五分硬幣先圍成一種正三角形，恰好用完，后來又改圍成一種正方形，也恰好用完。假如正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價(jià)值是多少？（）A.1元

B.2元

C.3元

D.4元［答案］C［解一］設(shè)正方形每邊x枚硬幣，三角形每邊y枚硬幣，一共有N枚硬幣，根據(jù)公式可得方程組：N=4x－4N=3y-3N=60y-x=5，由于每枚硬幣5分，因此總價(jià)值3元。［注釋］這里圍成的三角形和正方形都指的是空心的。［解二］根據(jù)數(shù)字特性法：硬幣能圍成正三角形→硬幣的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)→硬幣的價(jià)值可以三等分→根據(jù)選項(xiàng)選擇C?！纠?】參與中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操演出的運(yùn)動(dòng)員排成一種正方形隊(duì)列，若減少一行一列，則要減少49人，則參與團(tuán)體操演出的運(yùn)動(dòng)員共（）人。A.576

B.625

C.676

D.2401［答案］B［解析］重疊點(diǎn)思維：假設(shè)每邊有x人，則一行一列共有（2x-1）人（注意該行與列的交叉點(diǎn)上的人被反復(fù)計(jì)算了兩遍），有方程：2x-1=49，解得x=25。共有25^2=625人?！纠?】（廣東下-11）要在一塊邊長為48米的正方形地里種樹苗，已知每橫行相距3米，每豎列相距6米，四角多種一棵樹，問一共可種多少棵樹苗?（）A.128棵

B.132棵

C.153棵

D.157棵［答案］C［解析］根據(jù)公式：棵數(shù)=總長÷間隔+1。邊長為48米，每橫行相距3米，共有48÷3+1=17行；邊長為48米，每橫行相距6米，共有48÷6+1=9列；可得：17×9=153（棵），一共可種樹苗153棵?！纠?】某些解放軍戰(zhàn)士構(gòu)成一種長方陣，經(jīng)一次隊(duì)列變換后，增長了6行，減少了10列，恰構(gòu)成一種方陣，一種人也不多，一種人也不少。則原長方形陣共有（）人。A.196

B.225

C.256

D.289［答案］B［解析］設(shè)該正方形陣每邊x人，則原長方形陣為（x-6）行，（x+10）列。x^2=（x-6）（x+10）x=15，因此共有152=225人，選擇B?！纠?】奧運(yùn)會(huì)前夕，在廣場中心周圍用盆花圍成了一種兩層的空心方陣。則外層有（）盆花。A.251

B.253

C.1000

D.1008［答案］D［解一］設(shè)外層有m盆，內(nèi)層有n盆，根據(jù)公式：m-n=8。則：m-n=8m+n=m=1008n=1000［解二］設(shè)該方陣外層每邊x盆，根據(jù)“逆向法思維”：x^2-（x-4）^2=x=253，外層每邊有253盆，根據(jù)公式：外層共有253×4-4=1008?！纠?0】（江蘇-74）有一列士兵排成若干層的中空方陣，外層共有68人，中間一層共有44人，則該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是（）。A.296人

B.308人

C.324人

D.348人［答案］B［解一］最外層68人，中間一層44人，則最內(nèi)層為44×2－68＝20人（成等差數(shù)列）。因此一共有：68-208＋1＝7（層），總?cè)藬?shù)為44×7＝308。［解二］中間一層共44人，總?cè)藬?shù)是＝44×層數(shù)，是44的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)直接鎖定B?！纠?1】有一隊(duì)學(xué)生，排成一種中空方陣，最外層的人數(shù)共48人，最內(nèi)層人數(shù)為24人，則該方陣共有（）人。A.120

B.144

C.176

D.194［答案］B［解一］設(shè)最外層每邊x人，最內(nèi)層每邊y人，根據(jù)公式：4x-4=484y-4=24x=13y=7因此外層每邊13人，內(nèi)部空心部分每邊7-2＝5人，根據(jù)“逆向法思維”：共有132-52=144人。［解二］總?cè)藬?shù)＝（48+24）×層數(shù)÷2＝36×層數(shù)，是36的倍數(shù)，直接鎖定B。［解三］根據(jù)公式：相鄰兩圈相差8，因此很輕易得到這幾圈分別為48、40、32、24，直接加起來即可?！纠?2】有若干人，排成一種空心的四層方陣。目前調(diào)整陣形，把最外邊一層每邊人數(shù)減少16人，層數(shù)由本來的四層變成八層，則共有（）人。A.160

B.1296

C.640

D.1936［答案］C［解析］設(shè)調(diào)整前最外層每邊x人，調(diào)整后每邊y人，根據(jù)“逆向法思維”：x-y=16x^2-（x-8）^2=y^2-（y-16）^2x=44y=28因此：44^2-（44-8）^2=640（人）。容斥原理解題技巧在行測考試中，容斥原理題令諸多考生頭痛不已，由于容斥原理題看起來復(fù)雜多變，讓考生一時(shí)找不著頭緒。但該題型還是有著非常明顯的內(nèi)在規(guī)律，只要考生可以掌握該題型的內(nèi)在規(guī)律，看似復(fù)雜的問題就能迎刃而解，下面就該題型分兩種狀況進(jìn)行剖析，相信可以給考生帶來一定的協(xié)助。一、兩集合類型1、解題技巧題目中所波及的事物屬于兩集合時(shí)，容斥原理合用于條件與問題都可以直接帶入公式的題目，公式如下：A∪B=A+B－A∩B迅速解題技巧：總數(shù)=兩集合數(shù)之和+兩集合之外數(shù)－兩集合公共數(shù)2、真題示例【例1】既有50名學(xué)生都做物理、化學(xué)試驗(yàn)，假如物理試驗(yàn)做對的的有40人，化學(xué)試驗(yàn)做對的的有31人，兩種試驗(yàn)都錯(cuò)的有4人，則兩種試驗(yàn)都做對的有()A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式為：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，因此答案為B?！纠?】某服裝廠生產(chǎn)出來的一批襯衫大號(hào)和小號(hào)各占二分之一。其中25％是白色的，75％是藍(lán)色的。假如這批襯衫共有100件，其中大號(hào)白色襯衫有10件，小號(hào)藍(lán)色襯衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】這是一種新題型，該種題型直接從求解出發(fā)，將所求答案設(shè)為A∩B，本題設(shè)小號(hào)和藍(lán)色分別為兩個(gè)事件A和B，小號(hào)占50%，藍(lán)色占75%，直接代入公式為：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。二、三集合類型1、解題環(huán)節(jié)波及到三個(gè)事件的集合，解題環(huán)節(jié)分三步：①畫文氏圖；②弄清圖形中每一部分所代表的含義，按照中路（三集合公共部分）突破的原則，填充各部分的數(shù)字；③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）進(jìn)行求解。2、解題技巧三集合類型題的解題技巧重要包括一種計(jì)算公式和文氏圖。公式：總數(shù)=各集合數(shù)之和－兩集合數(shù)之和＋三集合公共數(shù)＋三集合之外數(shù)3、真題示例【例3】【國考-47】某高校對某些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參與注冊會(huì)計(jì)師考試的有63人，準(zhǔn)備參與英語六級(jí)考試的有89人，準(zhǔn)備參與計(jì)算機(jī)考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參與的有24人，準(zhǔn)備只選擇兩種考試都參與的有46人，不參與其中任何一種考試的都15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人？（

）A．120B．144C．177D．192【答案】A【解析】本題畫圖按中路突破原則，先填充三集合公共部分?jǐn)?shù)字24，再推其他部分?jǐn)?shù)字：根據(jù)每個(gè)區(qū)域含義應(yīng)用公式得到：總數(shù)=各集合數(shù)之和－兩兩集合數(shù)之和＋三集合公共數(shù)＋三集合之外數(shù)＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15根據(jù)上述含義分析得到：x+z+y只屬于兩集合數(shù)之和，也就是該題所講的只選擇兩種考試都參與的人數(shù)，因此x+z+y的值為46人；得本題答案為120.【例4】對某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查，成果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有多少人（）A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本題畫圖按中路突破原則，先填充三集合公共部分?jǐn)?shù)字12，再推其他部分?jǐn)?shù)字：根據(jù)各區(qū)域含義及應(yīng)用公式得到：總數(shù)=各集合數(shù)之和－兩兩集合數(shù)之和＋三集合公共數(shù)＋三集合之外數(shù)100＝58+38+52－{18+16+（12+

x）}+12+0,由于該題中，沒有三種都不喜歡的人，因此三集合之外數(shù)為0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y(jié)＝22人。（曾凡穩(wěn)）一、兩集合類型1、解題技巧題目中所波及的事物屬于兩集合時(shí)，容斥原理合用于條件與問題都可以直接帶入公式的題目，公式如下：A∪B=A+B－A∩B迅速解題技巧：總數(shù)=兩集合數(shù)之和+兩集合之外數(shù)－兩集合公共數(shù)2、真題示例【例1】既有50名學(xué)生都做物理、化學(xué)試驗(yàn)，假如物理試驗(yàn)做對的的有40人，化學(xué)試驗(yàn)做對的的有31人，兩種試驗(yàn)都做錯(cuò)的有4人，則兩種試驗(yàn)都做對的有()【答案】C【解析】直接代入公式為：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，因此答案為B?！纠?】某服裝廠生產(chǎn)出來的一批襯衫大號(hào)和小號(hào)各占二分之一。其中25％是白色的，75％是藍(lán)色的。假如這批襯衫共有100件，其中大號(hào)白色襯衫有10件，小號(hào)藍(lán)色襯衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】這是一種新題型，該種題型直接從求解出發(fā)，將所求答案設(shè)為A∩B，本題設(shè)小號(hào)和藍(lán)色分別為兩個(gè)事件A和B，小號(hào)占50%，藍(lán)色占75%，直接代入公式為：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。二、三集合類型1、解題環(huán)節(jié)波及到三個(gè)事件的集合，解題環(huán)節(jié)分三步：①畫文氏圖；②弄清圖形中每一部分所代表的含義，按照中路（三集合公共部分）突破的原則，填充各部分的數(shù)字；③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）進(jìn)行求解。2、解題技巧三集合類型題的解題技巧重要包括一種計(jì)算公式和文氏圖。公式：總數(shù)=各集合數(shù)之和－兩集合數(shù)之和＋三集合公共數(shù)＋三集合之外數(shù)文氏圖如下：其中各區(qū)域含義分別為：1區(qū)域代表只屬于A集合；2區(qū)域代表只屬于A和B；3區(qū)域代表只屬于B集合；4區(qū)域代表只屬于B和C；5區(qū)域代表三集合公共部分；6區(qū)域代表只屬于A和C；7區(qū)域代表只屬于C集合；2+5區(qū)域代表A∩B；4+5區(qū)域代表B∩C；5+6區(qū)域代表A∩C；1+2+5+6區(qū)域代表屬于A集合；3+2+5+4區(qū)域代表屬于B集合；4+5+6+7區(qū)域代表屬于C集合。3、真題示例【例3】【國考-47】某高校對某些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參與注冊會(huì)計(jì)師考試的有63人，準(zhǔn)備參與英語六級(jí)考試的有89人，準(zhǔn)備參與計(jì)算機(jī)考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參與的有24人，準(zhǔn)備只選擇兩種考試都參與的有46人，不參與其中任何一種考試的都15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A【解析】本題畫圖按中路突破原則，先填充三集合公共部分?jǐn)?shù)字24，再推其他部分?jǐn)?shù)字，得下圖：根據(jù)每個(gè)區(qū)域含義應(yīng)用公式得到：總數(shù)=各集合數(shù)之和－兩兩集合數(shù)之和＋三集合公共數(shù)＋三集合之外數(shù)＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15根據(jù)上術(shù)含義分析得到：x+z+y只屬于兩集合數(shù)之和，也就是該題所講的只選擇兩種考試都參與的人數(shù)，因此x+z+y的值為46人；得本題答案為120.【例4】對某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查，成果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有多少人（）A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本題畫圖按中路突破原則，先填充三集合公共部分?jǐn)?shù)字12，再推其他部分?jǐn)?shù)字，得下圖：根據(jù)各區(qū)域含義及應(yīng)用公式得到：總數(shù)=各集合數(shù)之和－兩兩集合數(shù)之和＋三集合公共數(shù)＋三集合之外數(shù)100＝58+38+52－{18+16+（12+x）}+12+0,由于該題中，沒有三種都不喜歡的人，因此三集合之外數(shù)為0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y(jié)＝22人。容斥原理題目巧解容斥原理是公務(wù)員考試中較難的一類題目，一般的解題思緒有兩種：1、公式法，合用于“條件與問題”都可直接代入公式的題目；2、文氏圖示意法，即當(dāng)條件與問題不能直接代入公式時(shí)，需要運(yùn)用該措施處理。一般而言，可以直接代入公式的題目較輕易，而需要運(yùn)用文氏圖的題目相對靈活，輕易給考生解題帶來不便。假如大家可以對公式中的各個(gè)要素以及文氏圖上的各個(gè)部分所代表的含義有深入理解，則可以迅速抓住解題關(guān)鍵?！纠}】某班有35個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少參與英語小組、語文小組、數(shù)學(xué)小組中的—個(gè)課外活動(dòng)小組?，F(xiàn)已知參與英語小組的有17人。參與語文小組的有30人，參與數(shù)學(xué)小組的有13人。假如有5個(gè)學(xué)生三個(gè)小組全參與了，問有多少個(gè)學(xué)生只參與了一種小組？A.15

B.16

C.17

D.18對于這個(gè)題目，一般思緒為：將題目條件帶入三集合文氏圖，假設(shè)只參與兩個(gè)小組的人數(shù)分別為x，y，z人，由加減關(guān)系可以得到只參與一種小組的人數(shù)的表達(dá)形式，根據(jù)總?cè)藬?shù)可以列出方程：(13-5-x-y)+(17-5-x-y)+(30-5-x-y)+x+y+z+5=35，從而得到x+y+z=15，即為所求。該措施是運(yùn)用文氏圖和列方程的措施進(jìn)行解題，措施簡樸易懂，不過實(shí)際操作起來消耗時(shí)間較多，下文將給出本題的此外兩種解法：【解法1】文氏圖與三集合原則型公式相結(jié)合。三集合原則型的公式如下：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC。將語文小組的人數(shù)視為A，數(shù)學(xué)小組人數(shù)視為B，英語小組人數(shù)視為C，分別代入公式可以得到AB+AC+BC=30?！癆B+AC+BC”中包括三個(gè)ABC，因此要減去兩個(gè)，即AB+AC+BC-2ABC=20，即為至少選兩個(gè)小組的人數(shù)，因此，得到只參與一種小組的人數(shù)=總?cè)藬?shù)(AUBUC=35)減去至少選兩個(gè)小組的人數(shù)(AB+AC+BC-2ABC=20)，等于15。該措施將文氏圖與三集合原則型公式結(jié)合使用，防止了求解不必要要素的過程，這需要各位考生對于基本公式和文氏圖各部分的意義有深刻理解。對于這道題目而言，尚有愈加迅速的解題措施，如下：【解法2】通過讀題，我們可以發(fā)現(xiàn)，英語小組、語文小組、數(shù)學(xué)小組在題目中都是同步出現(xiàn)，即這三個(gè)小組是并列關(guān)系，對于這三個(gè)小組的人數(shù)，即17、30、13三個(gè)數(shù)字只能用加法處理，等于60。這樣原題五個(gè)數(shù)字(35、17、30、13、5)就變?yōu)槿齻€(gè)(35、60、5)，而這三個(gè)數(shù)字之間只能做加減，而不能做乘除，因此，得到成果的尾數(shù)必為“0”或“5”。在得到這個(gè)結(jié)論之后，我們觀測一下選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)只有A選項(xiàng)尾數(shù)為5，因此，本題答案確定無疑，就是A。本題成功實(shí)現(xiàn)“秒殺”。有關(guān)容斥原理的考試題目千變?nèi)f化，不過無論怎樣變化都離不開基本公式和文氏圖，考生在平時(shí)練習(xí)的時(shí)候一定要純熟掌握這兩種措施，從而提高做題速度與對的率，并爭取針對個(gè)性化的題目產(chǎn)生巧妙的措施。山東公務(wù)員行測：數(shù)量關(guān)系之容斥問題解題原理及措施一、知識(shí)點(diǎn)1、集合與元素：把一類事物的全體放在一起就形成一種集合。每個(gè)集合總是由某些組員構(gòu)成的，集合的這些組員，叫做這個(gè)集合的元素。如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9為A的元素。2、并集：由所有屬于集合A或集合B的元素所構(gòu)成的集合，叫做A，B的并集，記作A∪B，記號(hào)“∪”讀作“并”。A∪B讀作“A并B”，用圖表達(dá)為圖中陰影部分表達(dá)集合A，B的并集A∪B。例：已知6的約數(shù)集合為A={1，2，3，6}，10的約數(shù)集合為B={1，2，5，10}，則A∪B={1，2，3，5，6，10}3、交集：A、B兩個(gè)集合公共的元素，也就是那些既屬于A，又屬于B的元素，它們構(gòu)成的集合叫做A和B的交集，記作“A∩B”，讀作“A交B”，如圖陰影表達(dá)：例：已知6的約數(shù)集合A={1，2，3，6}，10的約數(shù)集合B={1，2，5，10}，則A∩B={1，2}。4、容斥原理(包括與排除原理)：(用|A|表達(dá)集合A中元素的個(gè)數(shù)，如A={1，2，3}，則|A|=3)原理一：給定兩個(gè)集合A和B，要計(jì)算A∪B中元素的個(gè)數(shù)，可以提成兩步進(jìn)行：第一步：先求出∣A∣+∣B∣(或者說把A，B的一切元素都“包括”進(jìn)來，加在一起);第二步：減去∣A∩B∣(即“排除”加了兩次的元素)總結(jié)為公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣原理二：給定三個(gè)集合A，B，C。要計(jì)算A∪B∪C中元素的個(gè)數(shù)，可以分三步進(jìn)行：第一步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣;第二步：減去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣;第三步：再加上∣A∩B∩C∣。即有如下公式：∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣-|C∩A|+|A∩B∩C∣二、例題分析：例1求不超過20的正整數(shù)中是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)。分析：設(shè)A={20以內(nèi)2的倍數(shù)}，B={20以內(nèi)3的倍數(shù)}，顯然，規(guī)定計(jì)算2或3的倍數(shù)個(gè)數(shù)，即求∣A∪B∣。解1：A={2，4，6，…20}，共有10個(gè)元素，即|A|=10B={3，6，9，…18}，共有6個(gè)元素，即|B|=6A∩B={既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)}={6，12，18}，共有3個(gè)元素，即|A∩B|=3因此∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13，即A∪B中共有13個(gè)元素。解2：本題可直觀地用圖示法解答如圖，其中，圓A中放的是不超過20的正整數(shù)中2的倍數(shù)的全體;圓B中放的是不超過20的正整數(shù)中3的倍數(shù)的全體，其中陰影部分的數(shù)6，12，18是既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)的數(shù)(即A∩B中的數(shù))只要數(shù)一數(shù)集合A∪B中的數(shù)的個(gè)數(shù)即可。例2某班記錄考試成績，數(shù)學(xué)得90分上的有25人;語文得90分以上的有21人;兩科中至少有一科在90分以上的有38人。問兩科都在90分以上的有多少人?解：設(shè)A={數(shù)學(xué)成績90分以上的學(xué)生}B={語文成績90分以上的學(xué)生}那么，集合A∪B表達(dá)兩科中至少有一科在90分以上的學(xué)生，由題意知，∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38現(xiàn)規(guī)定兩科均在90分以上的學(xué)生人數(shù)，即求∣A∩B∣，由容斥原理得∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8點(diǎn)評(píng)：處理本題首先要根據(jù)題意，設(shè)出集合A，B，并且會(huì)表達(dá)A∪B，A∩B，再運(yùn)用容斥原理求解。例3某班同學(xué)中有39人打籃球，37人跑步，25人既打籃球又跑步，問全班參與籃球、跑步這兩項(xiàng)體育活動(dòng)的總?cè)藬?shù)是多少?解：設(shè)A={打籃球的同學(xué)};B={跑步的同學(xué)}則A∩B={既打籃球又跑步的同學(xué)}A∪B={參與打籃球或跑步的同學(xué)}應(yīng)用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51(人)例4求在不超過100的自然數(shù)中，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)有多少個(gè)?分析：這個(gè)問題與前幾種例題看似不相似，不能直接運(yùn)用容斥原理，要計(jì)算的是“既不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)?！辈贿^，只要同學(xué)們仔細(xì)分析題意，這只需先算出“100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)?！痹購?00中減去就行了。解：設(shè)A={100以內(nèi)的5的倍數(shù)}B={100以內(nèi)的7的倍數(shù)}A∩B={100以內(nèi)的35的倍數(shù)}A∪B={100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)}則有∣A∣=20，∣B∣=14，∣A∩B∣=2由容斥原理一有：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=20+14-2=32因此，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是：100-32=68(個(gè))點(diǎn)評(píng)：從以上的解答可體會(huì)出一種重要的解題思想：有些問題表面上看好象很不一樣樣，但通過細(xì)心的推敲就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們之間有著緊密的聯(lián)絡(luò)，應(yīng)當(dāng)善于將一種問題轉(zhuǎn)化為另一種問題。例5某年級(jí)的課外學(xué)科小組分為數(shù)學(xué)、語文、外語三個(gè)小組，參與數(shù)學(xué)小組的有23人，參與語文小組的有27人，參與外語小組的有18人;同步參與數(shù)學(xué)、語文兩個(gè)小組的有4人，同步參與數(shù)學(xué)、外語小組的有7人，同步參與語文、外語小組的有5人;三個(gè)小組都參與的有2人。問：這個(gè)年級(jí)參與課外學(xué)科小組共有多少人?解1：設(shè)A={數(shù)學(xué)小組的同學(xué)}，B={語文小組的同學(xué)}，C={外語小組的同學(xué)}，A∩B={數(shù)學(xué)、語文小組的同學(xué)}，A∩C={參與數(shù)學(xué)、外語小組的同學(xué)}，B∩C={參與語文、外語小組的同學(xué)}，A∩B∩C={三個(gè)小組都參與的同學(xué)}由題意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2根據(jù)容斥原理二得：∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣=23+27+18-(4+5+7)+2=54(人)山東公務(wù)員行測：數(shù)量關(guān)系之容斥問題解題原理及措施解2：運(yùn)用圖示法逐一填寫各區(qū)域所示的集合的元素的個(gè)數(shù)，然后求出最終成果。設(shè)A、B、C分別表達(dá)參與數(shù)學(xué)、語文、外語小組的同學(xué)的集合，其圖分割成七個(gè)互不相交的區(qū)域，區(qū)域Ⅶ(即A∩B∩C)表達(dá)三個(gè)小組都參與的同學(xué)的集合，由題意，應(yīng)填2。區(qū)域Ⅳ表達(dá)僅參與數(shù)學(xué)與語文小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為4-2=2(人)。區(qū)域Ⅵ表達(dá)僅參與數(shù)學(xué)與外語小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為7-2=5(人)。區(qū)域Ⅴ表達(dá)僅參與語文、外語小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為5-2=3(人)。區(qū)域Ⅰ表達(dá)只參與數(shù)學(xué)小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為23-2-2-5=14(人)。同理可把區(qū)域Ⅱ、Ⅲ所示的集合的人數(shù)逐一算出，分別填入對應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，則參與課外小組的人數(shù)為;14+20+8+2+5+3+2=54(人)點(diǎn)評(píng)：解法2簡樸直觀，不易出錯(cuò)。由于各個(gè)區(qū)域所示的集合的元素個(gè)數(shù)都計(jì)算出來了，因此提供了較多的信息，易于回答多種方式的提問。例6學(xué)校教導(dǎo)處對100名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，成果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。此外還懂得，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇(但不喜歡看電影)的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇(但不喜歡看球賽)的有4人，三種都喜歡的有12人。問有多少同學(xué)只喜歡看電影?有多少同學(xué)既喜歡看球賽又喜歡看電影(但不喜歡看戲劇)?(假定每人至少喜歡一項(xiàng))解法1：畫三個(gè)圓圈使它們兩兩相交，彼此提成7部分(如圖)這三個(gè)圓圈分別表達(dá)三種不一樣愛好的同學(xué)的集合，由于三種都喜歡的有12人，把12填在三個(gè)圓圈的公共部分內(nèi)(圖中陰影部分)，其他6部分填上題目中所給出的不一樣愛好的同學(xué)的人數(shù)(注意，有的部分的人