考研數(shù)學(xué)二二次型

考研數(shù)學(xué)二二次型1.【單項選擇題】下列矩陣中，正定矩陣是A.B.C.D.正確答案：C參考解析：

二次型正定的必要條件是：aij>0．2.【單項選擇題】n階實對稱矩陣A正定的充分必要條件是(??)．A.A無負特征值B.A是滿秩矩陣C.A的每個特征值都是單值D.A-1是正定矩陣正確答案：D參考解析：A正定的充分必要條件是A的特征值都是正數(shù)，(A)不對；若A為正定矩陣，則A一定是滿秩矩陣，但A是滿秩矩陣只能保證A的特征值都是非零常數(shù)，不能保證都是正數(shù)，(B)不對；(C)既不是充分條件又不是必要條件；(D)既是充分條件又是必要條件，選(D)．3.【單項選擇題】設(shè)A為可逆的實對稱矩陣，則二次型XTAX與XTA-1X(??)．A.規(guī)范形與標(biāo)準(zhǔn)形都不一定相同B.規(guī)范形相同但標(biāo)準(zhǔn)形不一定相同C.標(biāo)準(zhǔn)形相同但規(guī)范形不一定相同D.規(guī)范形和標(biāo)準(zhǔn)形都相同正確答案：B參考解析：因為A與A-1合同，所以XTAX與XTA-1X規(guī)范形相同，但標(biāo)準(zhǔn)形不一定相同，即使是同一個二次型也有多種標(biāo)準(zhǔn)形，選(B)．4.【單項選擇題】二次型f(x1，x2，x3)=x1x2+x2x3+x1x3的矩陣為（）．A.

B.

C.

D.

正確答案：B參考解析：5.【單項選擇題】A.

B.

C.

D.

正確答案：A參考解析：判定規(guī)范形，只要確定二次型的秩及正、負慣性指數(shù)，可以通過求二次型矩陣A的特征值來確定．

6.【單項選擇題】A是n階實對稱矩陣，則A合同于矩陣B的充分必要條件是（）．①r(A)=r(B)，②A與B的正慣性指數(shù)相等，③A與B均正定矩陣，④B是實對稱矩陣．A.①成立B.④成立C.①②④均成立D.③成立正確答案：C參考解析：首先④是必要條件．

7.【填空題】二次型f(x1，x2，x3)=2x1x2+4x1x3在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形是______.請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】8.【填空題】取值范圍____.請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】9.【填空題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：0【解析】10.【填空題】二次型f(x1，x2，x3)=(x1-2x2)2+4x2x3的矩陣為_______．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：11.【填空題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：12.【填空題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：13.【填空題】值范圍為______.請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：-2<a<1．【解析】

14.【填空題】設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=．(Ⅰ)求一個正交變換x=Qy，將f化為標(biāo)準(zhǔn)形；(Ⅱ)利用配方法，將f化為標(biāo)準(zhǔn)形．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：(I)

(Ⅱ)用配方法．

15.【填空題】（1）若3階實對稱矩陣A與B=合同，則二次型xTAx的規(guī)范形為______.請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：

16.【填空題】設(shè)A是3階實對稱矩陣，二次型xTAx經(jīng)過正交變換x=Qy后的標(biāo)準(zhǔn)形為,則二次型xTA*x的規(guī)范形為請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】

17.【解答題】已知A是3階矩陣，滿足A2-2A-3E=O，(1)證明A可逆，并求A-1(2)如|A+2E|=25，求|A-E|的值.(3)證明ATA是正定矩陣.請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：(1)有A2-2A=3E，有A*(A-2E)/3=E。所以A可逆且A-1=(A-2E)/3。(2)設(shè)λ是A的特征值，α是對應(yīng)的特征向量，即Aα=λα，α≠0．由A2-2A-3E=O有λ2-2λ-3=0，A的特征值為3或-1，那么A+2E的特征值是5或1．由|A+2E|=25，從而A的特征值只能是3，3，-1．于是|A-E|=2·2·(-2)=-8．(3)因(ATA)T=AT(AT)T=ATA，即ATA是對稱矩陣．由A可逆，對ATA=ATEA知ATA與E合同，從而ATA是正定矩陣．18.【解答題】設(shè)二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=的正負慣性指數(shù)都是1.(I)求a的值；(Ⅱ)求可逆線性變換x=By，將f(x1，x2，x3)化為標(biāo)準(zhǔn)形．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：(Ⅰ)

解得a=1或a=-2．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，二次型為

19.【解答題】是方程組A*x=4α的解向量．(Ⅰ)求矩陣A；(Ⅱ)求正交變換x=Qy，將二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化為標(biāo)準(zhǔn)形．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：(Ⅰ)由已知A*α=4α，等式兩邊同時左乘A，得AA*α=4Aα，即|A|α=4Aα，①

(Ⅱ)由于α1，α2已正交，所以只需將α1，α2，α3單位化，得

20.【解答題】(Ⅰ)求二次型f(x1，x2，…，xn)=xTAx的秩；(Ⅱ)求可逆矩陣P，使得P-1AP=A，并求二次型的正慣性指數(shù)．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：(Ⅰ)f(x1，x2，…，xn)

(Ⅱ)由|λE-A|=0，解得A的特征值為

21.【解答題】設(shè)A是實對稱矩陣，證明：A可逆的充要條件是存在方陣B，使得AB+BTA為正定矩陣．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：(必要性)因A可逆，取B=A-1，由A是實對稱矩陣，有

22.【解答題】設(shè)n階實對稱矩陣A的秩為r，且滿足A2=A(A稱為冪等陣)．求：(1)二次型XTAX的標(biāo)準(zhǔn)形；(2)|E+A+A2+…+An|的值．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：(1)因為A2=A，所以|A||E-A|=0，即A的特征值為0或者1，因為A為實對稱矩陣，所以A可對角化，由r(A)=r得A的特征值為λ=1(r重)，λ=0(n-r重)，則二次型XTAX的標(biāo)準(zhǔn)型為y12+y22+...+yr2。(2)令B=E+A+A2+...+An，則B的特征值為λ=n+1(r重)，λ=1(n-r重)，故|E+A+A2+...+An|=(n+1)r。23.【解答題】(1)記X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)寫成矩陣形式；(2)二次型g(X)=XTAX是否與f(x1，x2，…，xn)合同?請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：(1)(2)因為A可逆，所以A的n個特征值都不是零，而A與A-1合同，故二次型f(x1，x2，…，xn)與g(