圓的一般方程（重難點(diǎn)突破）

專題2.4.2圓的一般方程知識(shí)點(diǎn)一：圓的一般方程當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.為圓心，為半徑.知識(shí)點(diǎn)詮釋：由方程得(1)當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解.它表示一個(gè)點(diǎn).(2)當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．(3)當(dāng)時(shí)，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓.知識(shí)點(diǎn)二：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數(shù)法”.用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于或的方程組.(3)解方程組，求出或的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程.知識(shí)點(diǎn)三：軌跡方程求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過(guò)“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量之間的方程．1．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法（或稱相關(guān)點(diǎn)法）．2．求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等．3．求軌跡方程的步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用表示軌跡（曲線）上任一點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）列出關(guān)于的方程；（3）把方程化為最簡(jiǎn)形式；（4）除去方程中的瑕點(diǎn)（即不符合題意的點(diǎn)）；（5）作答．重難點(diǎn)題型1求圓的一般方程例1、（1）、（2022秋·山東泰安·高二統(tǒng)考期中）已知圓M的方程為，則圓心M的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化成標(biāo)準(zhǔn)式，即得圓心坐標(biāo).【詳解】，因此圓心坐標(biāo)為.故選：B.（2）、（2021秋·陜西·高二?？茧A段練習(xí)）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】方程配方后，左邊為平方和，由右邊大于0可得．【詳解】方程配方得，方程表示圓，則，解得或，故選：D．（3）、（2023秋·高一單元測(cè)試）以為圓心，且經(jīng)過(guò)的圓的方程是.【答案】【分析】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，把代入圓方程即可求出參數(shù)，從而得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)閳A心，故可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，所以所求圓的方程為.故答案為：（4）、（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)三點(diǎn)的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)出圓的一般方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)圓的方程為，將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，整理可得，解得，故所求的圓的一般方程為，故選：D．【變式訓(xùn)練11】、（2023秋·廣東廣州·高二廣州市白云中學(xué)?？计谀┮阎獔A，則圓心坐標(biāo)、圓的半徑分別是（

）A．，3 B．，3 C．，3 D．，9【答案】A【分析】將圓的一般式化為標(biāo)準(zhǔn)式，寫出圓心和半徑.【詳解】變形為，故圓心為，半徑為3.故選：A【變式訓(xùn)練12】、（2021春·河北·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若圓C：的半徑為1，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】由，得，所以圓C的圓心為，半徑為，因?yàn)閳AC：的半徑為1，所以，解得，故實(shí)數(shù).故選：D.【變式訓(xùn)練13】、（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）圓心在y軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與x軸相切的圓的方程是．【答案】【分析】先設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用條件建立方程求出參數(shù)即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，設(shè)圓的方程為，因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以把點(diǎn)代入圓的方程，得，整理得，∴，所以圓的方程為，即，故答案為：.【變式訓(xùn)練14】、（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）圓過(guò)點(diǎn)、，求面積最小的圓的一般方程為．【答案】【分析】求出以線段為直徑的圓的方程，即可得解.【詳解】當(dāng)為圓的直徑時(shí)，過(guò)、的圓的半徑最小，從而面積最?。?yàn)辄c(diǎn)、，線段的中點(diǎn)為，，故所求圓的半徑為，所以，所求圓的方程為，即.故答案為：.例2、（2023春·江蘇常州·高一華羅庚中學(xué)校考期末）已知方程.(1)若此方程表示圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若m的值為（1）中能取到的最大整數(shù)，則得到的圓設(shè)為圓E，若圓E與圓F關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)為圓F上任意一點(diǎn)，求到直線的距離的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值為，最小值【分析】（1）根據(jù)表示圓的限制條件可得實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）先確定圓E的方程，再利用對(duì)稱性得到圓F的方程，根據(jù)圓心到直線的距離可得答案.【詳解】（1）若此方程表示圓，則，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是；（2）由（1）可知，此時(shí)圓E：，圓心坐標(biāo)為，半徑為1，因?yàn)閳AF和圓E關(guān)于y軸對(duì)稱，所以圓F圓心坐標(biāo)是，半徑是1，故圓F方程為，則圓心到直線的距離，故到直線的距離的最大值為，最小值.例3、（2022秋·江西宜春·高二?？茧A段練習(xí)）已知方程表示圓，其圓心為.(1)求圓心坐標(biāo)以及該圓半徑的取值范圍；(2)若，線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)為，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用配方法，整理圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程的成立條件，可得答案；（2）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，表示點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓方程，可得答案.【詳解】（1）方程可變?yōu)椋河煞匠瘫硎緢A，所以，即得，.圓心坐標(biāo)為.（2）當(dāng)時(shí)，圓方程為：，設(shè)，又為線段的中點(diǎn)，的坐標(biāo)為則，由端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，即線段中點(diǎn)的軌跡方程為.例4、（2022秋·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)?？计谥校┣筮m合下列條件的圓的方程：(1)圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)的圓；(2)過(guò)三點(diǎn)的圓.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意得到，再解方程組即可.（2）首先設(shè)圓的一般方程為：，，根據(jù)題意得到，再解方程組即可.【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題知：，解得.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)圓的一般方程為：，，由題知：，所以圓的方程為：.例5、（2022秋·山西大同·高一山西省陽(yáng)高縣第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）