2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專講專練第49講柯西中值定理在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用與第50講泰勒展開解密放縮法和高考命題方法含解析

第49講柯西中值定理在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用微分中值定理是微分學(xué)中的一個重要內(nèi)容，它主要包括羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Larange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理.本節(jié)內(nèi)容所要講解的柯西中值定理比拉格朗日中值定理更具有一般性,我將講解其一般證明方法,如果大家在考試時使用了,則需要先給出證明.柯西中值定理及其證明柯西中值定理:若與在上可導(dǎo),且,則在內(nèi)至少存在一點,使.大家不難發(fā)現(xiàn)，拉格朗日中值定理只是柯西中值定理的一個特例:當(dāng)?shù)臅r候,即為拉格朗日中值定理.其證明方法的探討與研究是一個引人注目的問題,這里會順便引人羅爾定理及其證明,并利用羅爾定理來證明柯西中值定理.羅爾定理:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間上可導(dǎo),而且在兩端點處函數(shù)的值相等,那么在開區(qū)間上至少有一點,使得在這點的導(dǎo)數(shù)等于零.證明:設(shè)和分別是在區(qū)間,上的最大值和最小值.由于在上是連續(xù)的,∴的最大值和最小值是存在的.如果等式成立,那么對于一切都有.如果和不能同時成立,那么和這兩個數(shù)中間至少有一個不等于數(shù).為了確切起見,設(shè)是這樣的數(shù).于是,在開區(qū)間的某點,函數(shù)達到閉區(qū)間上的最大值,因而在這個點同時有局部極大值.因為在點處的導(dǎo)數(shù)存在且等于零.的情況可以進行類似的討論.下面證明柯西中值定理.證明:引人函數(shù)?.這個函數(shù)在上顯然是連續(xù)的,而且在開區(qū)間上有導(dǎo)數(shù).此外,.因此根據(jù)羅爾定理可以找到這樣的點,使得,,即.(1)顯然,否則的話,由于,就應(yīng)該有,但是根據(jù)已知條件和不同時等于零,因此,,用它除等式(1)的右邊,即得所證.柯西中值定理證明無參不等式【例1】若,求證:【解析】證明：要證,實際上只需證.設(shè),則在上,滿足柯西中值定理條件,.注意:其中用到及是單調(diào)增加函數(shù)來放縮.柯西中值定理求解一元參數(shù)范圍柯西中值定理可以解決:已知在上,不等式恒成立,求參數(shù)的取值范圍問題(其中,其一般步驟如下:第一步:參變分離.(暫定,具體要討論).第二步:柯西中值定理轉(zhuǎn)換.,其中.第三步:構(gòu)造函數(shù)求解.令,問題轉(zhuǎn)化為在恒成立問題,按一元函數(shù)求解.【例1】已知函數(shù),若在上恒成立,求的取值范圍?！窘馕觥拷夥ㄒ?分類討論法∵,當(dāng)時,,∴在上單調(diào)遞減.∴當(dāng)時,,不合題意.②當(dāng)時,,令得.得.(1)當(dāng),即時,時,,即遞減,∴,不合題意.(2)當(dāng),即時,時,,即單調(diào)遞增,∴滿足題意.綜上,.法二:柯西中值定理法第一步:分類討論,并參變分離.當(dāng)時不等式成立,當(dāng)時,可參變分離,即.第二步:分子和分母分別構(gòu)造函數(shù)..又,得.第三步:利用柯西中值定理簡化函數(shù).其中.第四步:利用極限可得函數(shù)確界.由,可得.【例2】已知函數(shù)1),,若當(dāng)時,恒成立,求的取值范圍.【解析】解法一:由函數(shù),則）,其中.當(dāng)時,∵.∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,故.當(dāng)時,令得.若,則,∴函數(shù)在時,,不符合題意.綜上,的取值范圍是.法二:柯西中值定理法第一步:分類討論,并參變分離.當(dāng)時不等式成立,當(dāng)時,可參變分離,即.第二步:分子和分母分別構(gòu)造函數(shù).,又,得.第三步:利用柯西中值定理簡化函數(shù).第四步:利用極限可得函數(shù)確界.由,可得.【例3】已知函數(shù),當(dāng)時,,求實數(shù)的取值范圍.【解析】解第一步:分類討論,并參變分離.當(dāng)時不等式成立,當(dāng)時,可參變分離,即.第二步:分子和分母分別構(gòu)造函數(shù)..又,得.第三步:利用柯西中值定理簡化函數(shù).,其中.第四步:再次利用柯西中值定理簡化函數(shù).其中.第五步:利用極限可得函數(shù)確界.由,可得,即.),若時,恒成立,求的最大值.解,要使時,恒成立.當(dāng)時,不等式成立.②當(dāng)時,參變分離可得[其中.由柯西中值定理可得其中.再次利用柯西中值定理可得其中.由,可得.第50講泰勒展開解密放縮法和高考命題方法為何高考中總是考和這些超越函數(shù)呢?因為高考命題專家很多是大學(xué)老師,他們俯視高中數(shù)學(xué),一覽無遺.超越函數(shù)本質(zhì)上就是高等數(shù)學(xué)中的泰勒公式,即從某個點處,我們可以構(gòu)建一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值.如果這個點是0,就是形式比較簡單的麥克勞林公式.簡而言之,它的功能就是把超越式近似表示為冪函數(shù).這也是放縮法的理論依據(jù),也是出題老師的出題角度,后面將在泰勒展開中專門講解如何命題,大家可先理解放縮法.泰勒展開公式及其應(yīng)用一、泰勒展開公式設(shè)函數(shù)在點處的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù),則對該鄰域內(nèi)異于的任意點,在與之間至少存在一點,使得 余項,上式稱為階泰勒公式.若,則泰勒公式稱為麥克勞林公式,其中為階無窮小,相當(dāng)于余項,即.二、常用的初等函數(shù)的麥克勞林公式(1)(2)(3)(4)(5)【例1】按的三展開多項式.思路:直接展開法,求按的?展開的階泰勒公式,則依次求直到階的導(dǎo)數(shù)在處的值,然后代入公式即可.【解析】【例2】求函數(shù)的帶有皮亞諾型余項的階麥克勞林展開式.【解析】解法一:,,將以上結(jié)果代入麥克勞林公式得 法二:中含有時,通常利用已知結(jié)論. 【例3】求函數(shù)按的冪展開的帶有皮亞諾型余項的階泰勒公式.【解析】解法一:直接展開. 將以上結(jié)果代入泰勒公式得.法二:為對數(shù)函數(shù)時利用已知的結(jié)論.,然后變形可得利用泰勒公式證明無參不等式泰勒展開證明無參不等式的一般步?驟:第一步:構(gòu)造函數(shù),并按泰勒公式展開函數(shù),即如果函數(shù)在定義域上有定義,且有階導(dǎo)數(shù)存在,,則,其中介于和間第二步:判定余項的正負號,并去掉余項,得不等式.在上述泰勒公式中,若余項,則去掉余項可得若,則去掉余項可得【例1】當(dāng)時,.【解析】解法一:令,則當(dāng)時,單調(diào)遞增,從而,即,結(jié)論成立.法二:由泰勒公式得從而得,結(jié)論成立.【例2】設(shè),證明:.【解析】證明法一:設(shè)1),,則在上單調(diào)遞減,∴,即有1).法二:由泰勒展開可得則,結(jié)論成立.【例3】證明:【解析】證明：設(shè),則在處有帶有拉格朗日余項。三階泰勒公式【例4】證明不等式:.【解析】證明：設(shè),則,代入的二階泰勒公式,有泰勒探究放縮法本質(zhì)經(jīng)過對泰勒證明不等式的學(xué)習(xí),應(yīng)該體會到了泰勒公式的強大.我們在放縮法那一節(jié)的所有不等式都是在泰勒展開的基礎(chǔ)上變形而來的,所以泰勒公式才是放縮法的核心，為什么這么說呢?泰勒展開式的本質(zhì)上是將一個復(fù)雜的函數(shù)近似表示為一個多項式函數(shù),是一種函數(shù)逼近的思想,也就是我們所說的放縮,下面我將用一個例子來探討這一近似逼近的思想,以及相關(guān)不等式的變形.【例】比較和的大小.【解析】令,按泰勒展開有.去掉余項可以得到不等式:.下面利用一般方法證明該不等式.證明:(1)設(shè),,則在上單調(diào)遞減.當(dāng)時取等號.(2)設(shè),則在上單調(diào)遞減,∴,即有,當(dāng)時取等號.綜上所述,有不等式:,當(dāng)時取等號.上述常用對數(shù)不等式描述的函數(shù)位置關(guān)系如下圖所示.同理,我們可以從指數(shù)函數(shù)的麥克勞林展開人手,通過去余項變形的方式得到我們常用的不等式:對于函數(shù)在處的展開式如下:.(1)從此式出發(fā),可以變形演繹出一些十分重要的不等式.(1)式等號右邊取兩項,則有.(2)(2)式兩邊取自然對數(shù)得.(3)(2)式中用替換得(4)式兩邊取自然對數(shù)得(5)式中用替換得.結(jié)合(3)式和(6)式得.(7)對(1)式等號右邊分別取三項、四項,則有上述不等式(2)到(9)式,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.讀者可以翻到前面關(guān)于“放縮法”的章節(jié),試試看利用泰勒展開得到其他常用的不等式.利用泰勒放縮證明含參不等式在不等式恒成立中,我們通過泰勒展開放縮來大大簡化計算,但前面也說過,泰勒展開放縮是一種近似計算,所求的范圍只能是必要性范圍,一般來說,會比直接求解的范圍要大,所以需要進一步用常規(guī)方法驗證,但這里也可以簡化了討論的范圍,方便計算,一般也可以得到最終的范圍.【例1】已知函數(shù),證明:當(dāng)時,.【解析】解法一:去參放縮法當(dāng)時,.構(gòu)造函數(shù),則，當(dāng)時,.當(dāng)時,是的最小值點.故當(dāng)時,.因此,當(dāng)時,.法二:泰勒展開法由法一知,證明即可.由泰勒公式的變形可得.用代替可得.(1)對兩邊取自然對數(shù),可得,用代替,可得,即由(1)(2)可得,故因此,當(dāng)時,.【例2】設(shè)函數(shù),若當(dāng)時,求的取值范圍.【解析】,由指數(shù)不等式,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.得,從從而當(dāng),即時,,而,于是當(dāng)時,.由可得從而當(dāng)時,1),故當(dāng)時,,而,當(dāng)時,0,不合題意.綜合得的取值范圍為.【例3】設(shè)函數(shù).其中是的導(dǎo)函數(shù),若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【解析】第一步:泰勒展開放縮得必要性范圍.恒成立,應(yīng)用不等式,有,對上式進行放縮,利用求的取值范圍.當(dāng)時,上式化簡為