2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專講專練第20講取值范圍問(wèn)題的解法含解析

第20講取值范圍問(wèn)題的解法這一節(jié)主要講解解析幾何的范圍問(wèn)題,相對(duì)于前一講最值問(wèn)題來(lái)說(shuō)難度加大,但和最值問(wèn)題的解題思路很像,解題的核心思路是:構(gòu)建所求幾何量的含參一元函數(shù),形如,并且進(jìn)一步找到自變量范圍,進(jìn)而求出值域,即所求幾何量的范圍,常見(jiàn)的函數(shù)有:①二次函數(shù);②"對(duì)勾函數(shù)";③反比例函數(shù);④分式函數(shù).若出現(xiàn)非常規(guī)函數(shù),則可考慮通過(guò)換元“化歸”為常規(guī)函數(shù),或者利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解決.這里找自變量的取值范圍在或者換元的過(guò)程中產(chǎn)生.除此之外,在找自變量取值范圍時(shí),還可以從以下幾個(gè)方面考慮:①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍.②利用已知參數(shù)的范圍,求出新參數(shù)的范圍,解題的關(guān)鍵是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍.④利用函數(shù)值域的求法,確定參數(shù)的取值范圍.弦長(zhǎng)的取值范圍【例1】若為圓的任意一條切線,與橢圓交于兩點(diǎn),,求的取值范圍.【解析】設(shè)直線方程為:.直線為圓的切線,聯(lián)立直線與橢圓方程得.,由韋達(dá)定理得弦長(zhǎng).令,【例2】過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),為橢圓上一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足,其中,求的取值范圍.【解析】設(shè)直線的方程為:,,將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立得,設(shè),設(shè).,有,,把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中得簡(jiǎn)得,而,,.令.. ,當(dāng)?shù)淖畲笾禐?當(dāng)時(shí),.,的取值范圍為.【例3】已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),在橢圓上,且是以為直徑的圓,直線與相切,并且與橢圓交于不同的兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)當(dāng),且滿足時(shí),求弦長(zhǎng)的取值范圍?！窘馕觥?1)由得,可得,將點(diǎn)代入橢圓方程得又,與上式聯(lián)立解得,故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)直線與相切,則由得直線與橢圓交于不同的兩,點(diǎn).設(shè),..設(shè),則.在上單調(diào)遞增,.弦長(zhǎng)的取值范圍為.三角形面積的取值范圍【例1】如下圖所示,已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上任意一點(diǎn),過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且,點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為點(diǎn),求面積的取值范圍.【解析】由題意,,設(shè),,則,由題意可知,,聯(lián)立,整理得.由根與系數(shù)的關(guān)系得,..令,則,在上是增函數(shù),.面積的取值范圍為.【例2】設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)為線段的中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),射線與橢圓相交于點(diǎn),且點(diǎn)在以為直徑的圓上.記的面積分別為,求的取值范圍.【解析】為線段的中點(diǎn),.(1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),由及橢圓的對(duì)稱性,不妨設(shè)所在直線的方程為,得.則.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線:.聯(lián)立,消去,得.,即.化簡(jiǎn)得經(jīng)檢驗(yàn)滿足成立..時(shí),射線所在的直線方程為.聯(lián)立,消去得..,.綜上,的取值范圍為.四邊形面積的取值范圍【例1】已知橢圓的離心率為是橢圓的左、右焦點(diǎn),是橢圓上一點(diǎn),的最小值為2.(1)求橢圓的方程.(2)過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線交橢圓于兩點(diǎn),圓是以為圓心橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為半徑的圓,過(guò)且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn),求四邊形面積的取值范圍.【解析】(1)已知的最小值為,又,解得粗圓方程為.(2)①當(dāng)與軸不垂直時(shí),設(shè)的方程為,.聯(lián)立得,由韋達(dá)定理得,設(shè)過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線:到的距離為,四邊形的面積.可得當(dāng)與軸不垂直時(shí),四邊形面積的取值范圍為②當(dāng)與軸垂直時(shí),其方程為,,四邊形的面積為12.綜上,四邊形面積的取值范圍為.【例2】已知橢圓0)的焦距為4,左、右焦點(diǎn)分別為,且與拋物線的交點(diǎn)所在的直線經(jīng)過(guò).(1)求粗圓的方程.(2)分別過(guò)作平行直線,若直線與交于兩點(diǎn),與拋物線無(wú)公共點(diǎn),直線與交于兩點(diǎn),其中點(diǎn)在軸上方,求四邊形的面積的取值范圍.【解析】(1)依題意得,則,.橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為.于是,從而.又,解得.橢圓的方程為.(2)依題意,直線的斜率不為0,設(shè)直線,聯(lián)立,消去得,由得.聯(lián)立,消去得則與間的距離(即點(diǎn)到m的距離),由橢圓的對(duì)稱性知,四邊形ABCD為平行四邊形,四邊形的面積的取值范圍為.向量點(diǎn)積的取值范圍【例1】設(shè)直線與橢圓:交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若,求的取值范圍.【解析】設(shè).聯(lián)立得,,即 【例2】直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)若存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求的取值范圍. 【解析】聯(lián)立得.與交于不同的兩點(diǎn),解得.存在點(diǎn),使得四邊形為平行四邊形,設(shè),則參數(shù)的取值范圍【例1】過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)(在之間),且滿足,求的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),即直線,此時(shí),由解得.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線:. 遞增,即,解得.綜上所述,的取值范圍是.【例2】設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn),且點(diǎn)在第一象限,點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn),若直線斜率大于,求直線的斜率的取值范圍.【解析】設(shè)其中,則.由題意得.則直線為:,直線為:.聯(lián)立得,即.【例3】若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓:交于不同的兩點(diǎn),且與圓沒(méi)有公共點(diǎn),設(shè)為橢圓上一點(diǎn),滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】由題意可知直線斜率不為0,設(shè)直線.聯(lián)立得.由得.設(shè),由韋達(dá)定理得...點(diǎn)在橢圓上,,得.①直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn),則,②.