2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專(zhuān)講專(zhuān)練第02講求前n項(xiàng)和含解析

第2講求前項(xiàng)和經(jīng)過(guò)前面的學(xué)習(xí),我們基本上可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式了,接下來(lái)就要講解數(shù)列前項(xiàng)和的求解方法.數(shù)列求和的方法相對(duì)來(lái)說(shuō)比較固定,能夠總結(jié)出題型然后運(yùn)用相應(yīng)的解法即可,重點(diǎn)需要掌握的是錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消和分組求和,大家也一定要注意適用的題型結(jié)構(gòu).錯(cuò)位相減法通項(xiàng)公式特征:數(shù)列通項(xiàng)公式是“”的形式,具備“等差等比”的特點(diǎn),考慮利用錯(cuò)位相減法求出,具體方法步驟如下.【例】已知,求前項(xiàng)和.(1)先將寫(xiě)成前項(xiàng)和的形式:.(2)等式兩邊同時(shí)乘以等比部分的公比,得到一個(gè)新的等式,與原等式上下排列.,乘完公比后,對(duì)比原式項(xiàng)的次數(shù),新等式的每項(xiàng)向后挪了一位.(3)然后兩式相減:,除了首項(xiàng)與末項(xiàng),中間部分呈等比數(shù)列求和特點(diǎn),代人公式求和,再解出即可.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,求.【解析】所以(1)式一(2)式得【例2】已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)當(dāng)時(shí),,解得.當(dāng)時(shí),①,②①式-②式得,解得,易知也符合前式.綜上所述,.(2)依題意得.下面先求數(shù)列的前項(xiàng)和.,(1)式－(2)式得,即,化簡(jiǎn)可得..裂項(xiàng)相消法通項(xiàng)公式特征:的表達(dá)式能夠拆成形如的形式,在求和時(shí)可以進(jìn)行相鄰項(xiàng)(或相隔幾項(xiàng))的相消,從而結(jié)果只存在有限幾項(xiàng),最終達(dá)到求和目的,其中通項(xiàng)公式為分式和根式的情況居多.裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和的常見(jiàn)類(lèi)型:(1)等差型:,其中數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.(2)無(wú)理型:.（3）指數(shù)型:.(4)對(duì)數(shù)型:.如以為例,求前項(xiàng)和.(1)裂項(xiàng):考慮這里.(2)求和:設(shè)的前項(xiàng)和為.,求和的關(guān)鍵在于確定剩下的項(xiàng),通過(guò)觀察可發(fā)現(xiàn)正項(xiàng)中沒(méi)有消去,負(fù)項(xiàng)中沒(méi)有消去..一般來(lái)說(shuō),裂開(kāi)的項(xiàng)中有個(gè)正項(xiàng),個(gè)負(fù)項(xiàng),且由于消項(xiàng)的過(guò)程中是成對(duì)消掉,所以剩余項(xiàng)中正負(fù)的個(gè)數(shù)應(yīng)該相同.設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】 【例2】設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】∴數(shù)列的前項(xiàng)和為【例3】若數(shù)列求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】 【例4】已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】 分組求和法分組求和:如果通項(xiàng)公式是前幾種可求和形式相加或者相減,那么在求和時(shí)可將通項(xiàng)公式的項(xiàng)分成這幾部分分別求和,然后再將結(jié)果相加.令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】【例2】已知:正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)當(dāng)時(shí),,,(1)式加(2)式得,化簡(jiǎn)得,即數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.令,數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列,得,.(2),設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和, 倒序相加法題型結(jié)構(gòu):已知函數(shù),求與函數(shù)相關(guān)的數(shù)列的和,其中.一般解題步驟:第一步:倒序.把的順序倒過(guò)來(lái),即 第二步:找到前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)之和,通常為常數(shù),即.第三步:把上述兩式相加求和,再除以2即可.函數(shù)對(duì)任意的都有,數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】(1)式加(