四川省德陽市高三二診考試數(shù)學（理）試卷

2021年四川省德陽市高考數(shù)學二診試卷（理科）一、選擇題（共12小題）.1．已知全集U＝R，集合，集合B＝{x|x2﹣2x＜0}，則A∩B等于（）A．[1，2） B．（1，2） C．[0，1] D．（0，1]2．設z是復數(shù)，若z（1﹣i）＝|﹣i|（i是虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A．z的虛部為 B．z＝ C．|z|＝1 D．z+＝13．（x﹣）6展開式中的常數(shù)項為（）A．﹣160 B．160 C．﹣80 D．804．如圖是2010﹣2020年這11年我國考研人數(shù)統(tǒng)計圖，則關于這11年考研人數(shù)下列說法錯誤的是（）A．2015年以來我國考研報名人數(shù)逐年增多 B．這11年來考研報名人數(shù)的極差超過160萬人 C．2015年是這11年來報考人數(shù)最少的一年 D．2015年的報錄比最低5．如圖是某著名高校的課程結業(yè)成績“績點”計算框圖，輸入課程結業(yè)考試成績x∈[0，100]，輸出的s就是該門課程成績x對應的“績點”．本學期小王同學一共有三門課程結業(yè)，考試成績分別是60分（1）、80分（2）、100分（2），括號里面的數(shù)字是該門課程對應的學分．已知每學期“平均績點”（簡稱GPA）是該學期各門課程的績點乘以該門課程的學分的和除以總學分，那么小王同學本學期的“GPA”為（）6．某四棱錐的三視圖如圖所示，其側視圖是邊長為2的正方形，正視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，則該四棱錐的體積為（）A． B．8 C． D．47．正項等比數(shù)列{an}中，已知a1011＝3，那么log3a1+log3a2+…+log3a2021＝（）A．4042 B．2021 C．4036 D．20188．圖1是我國古代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制的一幅“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小的正方形拼成一個大的正方形．某同學深受啟發(fā)，設計出一個圖形，它是由三個全等的鈍角三角形和一個小的正三角形拼成一個大的正三角形，如圖2，若AD＝4，BD＝2，那么?＝（）A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣69．已知函數(shù)f（x）＝asinx﹣2cosx，若f（t）＝0，f′（t）＞0，且f（x）在（t，t+φ）上恰有一個最大值點，那么φ的取值范圍是（）A． B． C． D．（0，π]10．對圓x2+y2＝1上任意一點P（x，y），若|3x﹣4y+a|﹣|3x﹣4y﹣9|的值都與x，y無關，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤﹣5 B．﹣5≤a≤5 C．a(chǎn)≤﹣5或a≥5 D．a(chǎn)≥511．已知O為坐標原點，F(xiàn)是雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左焦點，A、B分別為雙曲線的左、右頂點，點P在C上，且PF⊥x軸，過點A的直線與線段PF交于點M，與y軸交于點E，直線BM與y軸交于點N，若|OE|＝λ|ON|，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C． D．12．已知向量＝（，1），＝（1，﹣）函數(shù)f（x）＝?，若關于x的方程f（x）＝k（x+1）只有一個實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0]∪（1，+∞） C．[1，+∞） D．（0，1]二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卡上.13．如圖是一次數(shù)學考試成績的樣本頻率分布直方圖（樣本容量n＝200），若成績在60分到80分之間的學生稱為“臨界生”，那么樣本中“臨界生”人數(shù)約為．14．已知等差數(shù)列{an}中，a10＝30，a20＝50，那么等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝．15．把如圖的平面圖形分別沿AB、BC、AC翻折，已知D1、D2、D3三點始終可以重合于點D得到三棱錐D﹣ABC，那么當該三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為．16．已知點A在拋物線y2＝3x上，過點A作拋物線的切線與x軸交于點B，拋物線的焦點為F，若∠BAF＝30°，則A的坐標為．三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知等腰△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點，且BD＝6．（1）若AD＝3，求△ABC的面積；（2）若BC＝4，求sinC．18．已知在空間幾何體ABCDE中，△ABC、△BCD、△ECD都是邊長為2的正三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD．（1）A、E、B、D四點是否共面？說明理由；（2）求二面角B﹣AE﹣C的平面角的余弦值．19．針對時下的“網(wǎng)絡文學熱”，某班團委對“學生性別是否與喜歡網(wǎng)絡文學有關”作了一次抽樣調(diào)查，在抽取的樣本中，女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡“網(wǎng)絡文學”的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡“網(wǎng)絡文學”的人數(shù)占女生人數(shù)的．設抽取的男生人數(shù)為x（x∈N*）．（1）完成2×2列聯(lián)表，若有95%以上的把握認為喜歡“網(wǎng)絡文學”與性別有關求男生人數(shù)x的最小值；喜歡網(wǎng)絡文學不喜歡網(wǎng)絡文學總計男生x女生總計（2）當x?。?）中的最小值時，從喜歡網(wǎng)絡文學的同學中抽取3名同學進行問卷調(diào)查，記3名同學中女生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）k20．已知直線m與橢圓C：＝1相切于點P（1，），直線n與橢圓C分別交于點A、B（異于點P），與直線m交于點Q，線段AB的中點H在直線y＝﹣x上．（1）求直線m的方程；（2）證明：|AQ|、|PQ|、|BQ|成等比數(shù)列．21．設函數(shù)f（x）＝﹣e2x+（x﹣1）ex（a∈R）．（1）當a＝時，求g（x）＝f′（x）?e1﹣x的單調(diào)區(qū)間（f′（x）是f（x）的導數(shù)）；（2）若f（x）有兩個極值點x1、x2（x1＜x2），且正實數(shù)λ使1+λ＜x1+λx2成立，求正實數(shù)λ的取值范圍．請考生在22、23二題中任選一題作答注意只能做所選定的題目如果多做，則按所做第一個題目計分，作答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.[選修44：坐標系與參數(shù)方程]22．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸建立的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ2sin2θ＝2．（1）求C的直角坐標方程和l的普通方程；（2）若直線l截曲線C所得線段的中點坐標為（1，），求l的斜率．[選修45：不等式選講]23．設函數(shù)f（x）＝|x+1|+|x﹣1|+|x|．（1）解不等式f（x）≥3x；（2）已知f（x）的最小值為m，正實數(shù)a、b滿足a+2b＝m，求的最小值，并指出此時a、b的值．參考答案一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知全集U＝R，集合，集合B＝{x|x2﹣2x＜0}，則A∩B等于（）A．[1，2） B．（1，2） C．[0，1] D．（0，1]解：集合＝{x|1﹣x≥0}＝{x|x≤1}，集合B＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，所以A∩B＝{x|0＜x≤1}＝（0，1]．故選：D．2．設z是復數(shù)，若z（1﹣i）＝|﹣i|（i是虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A．z的虛部為 B．z＝ C．|z|＝1 D．z+＝1解：∵z（1﹣i）＝|﹣i|＝1，∴z＝＝，故B錯誤；z的虛部為，故A錯誤；|z|＝，故C錯誤；，故D正確．故選：D．3．（x﹣）6展開式中的常數(shù)項為（）A．﹣160 B．160 C．﹣80 D．80解：二項式的展開式的通項公式為T＝C，令6﹣2r＝0，解得r＝3，故常數(shù)項為C，故選：A．4．如圖是2010﹣2020年這11年我國考研人數(shù)統(tǒng)計圖，則關于這11年考研人數(shù)下列說法錯誤的是（）A．2015年以來我國考研報名人數(shù)逐年增多 B．這11年來考研報名人數(shù)的極差超過160萬人 C．2015年是這11年來報考人數(shù)最少的一年 D．2015年的報錄比最低解：對于選項A：由條形圖可知，2015年以來我國考研報名人數(shù)逐年增多，所以選項A正確，對于選項B：由條形圖可知，考研人數(shù)最大是330萬左右，最小是145萬左右，極差估計為185萬，所以選項B正確，對于選項C：由條形圖可知，報考人數(shù)最少的一年是2010年，所以選項C錯誤，對于選項D：由折線圖可知，2015年的報錄比最低，所以選項D正確，故選：C．5．如圖是某著名高校的課程結業(yè)成績“績點”計算框圖，輸入課程結業(yè)考試成績x∈[0，100]，輸出的s就是該門課程成績x對應的“績點”．本學期小王同學一共有三門課程結業(yè)，考試成績分別是60分（1）、80分（2）、100分（2），括號里面的數(shù)字是該門課程對應的學分．已知每學期“平均績點”（簡稱GPA）是該學期各門課程的績點乘以該門課程的學分的和除以總學分，那么小王同學本學期的“GPA”為（）解：設三門課程的績點分別為S1，S2，S3，則S1＝4﹣＝3，S2＝4﹣＝3.75，S3＝4﹣＝4，所以GPA＝＝3.7．故選：C．6．某四棱錐的三視圖如圖所示，其側視圖是邊長為2的正方形，正視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，則該四棱錐的體積為（）A． B．8 C． D．4解：由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體是四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為正方形，邊長為2，側棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，則該四棱錐的體積V＝．故選：A．7．正項等比數(shù)列{an}中，已知a1011＝3，那么log3a1+log3a2+…+log3a2021＝（）A．4042 B．2021 C．4036 D．2018解：正項等比數(shù)列{an}中，a1011＝3，a1×a2×…×a2021＝＝32021，∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…+log3a2021＝log3（a1×a2×…×a2021）＝＝＝2021．故選：B．8．圖1是我國古代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制的一幅“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小的正方形拼成一個大的正方形．某同學深受啟發(fā)，設計出一個圖形，它是由三個全等的鈍角三角形和一個小的正三角形拼成一個大的正三角形，如圖2，若AD＝4，BD＝2，那么?＝（）A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6解：由題意可知，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°，∴∠AEC＝∠CFB＝∠BDA＝120°，又∵AD＝4，BD＝2，∴BF＝CE＝AD＝4，BD＝DF＝CF＝EF＝AE＝DE＝2，∴＝＝＝＝2+4+2﹣2＝6．故選：C．9．已知函數(shù)f（x）＝asinx﹣2cosx，若f（t）＝0，f′（t）＞0，且f（x）在（t，t+φ）上恰有一個最大值點，那么φ的取值范圍是（）A． B． C． D．（0，π]解：函數(shù)f（x）＝asinx﹣2cosx＝，其中，則f（x）的最小正周期為2π，又f（t）＝0，f'（t）＞0，且f（x）在（t，t+φ）上恰有一個最大值點，所以，解得φ．故選：A．10．對圓x2+y2＝1上任意一點P（x，y），若|3x﹣4y+a|﹣|3x﹣4y﹣9|的值都與x，y無關，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤﹣5 B．﹣5≤a≤5 C．a(chǎn)≤﹣5或a≥5 D．a(chǎn)≥5解：設直線l1：3x﹣4y+a＝0，l2：3x﹣4y﹣9＝0，則點P到直線l1的距離，點P到l2的距離，因為|3x﹣4y+a|﹣|3x﹣4y﹣9|的值都與x，y無關，所以d1﹣d2為常數(shù)，所以兩條直線在圓的同一側，且與圓不相交，因為直線l2在圓的下方，所以直線l1也在圓的下方，則有圓心（0，0）到直線l1的距離，解得a≥5或a≤﹣5，因為直線l1也在圓的下方，所以a≤﹣5．故選：A．11．已知O為坐標原點，F(xiàn)是雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左焦點，A、B分別為雙曲線的左、右頂點，點P在C上，且PF⊥x軸，過點A的直線與線段PF交于點M，與y軸交于點E，直線BM與y軸交于點N，若|OE|＝λ|ON|，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C． D．解：由題意知，F(xiàn)（﹣c，0），不妨取點P在第二象限，設點M為（﹣c，m），則m＞0，∵A（﹣a，0），B（a，0），∴直線AM的方程為y＝（x+a），直線BM的方程為y＝（x﹣a），∴E（0，），N（0，），∵|OE|＝λ|ON|，∴||＝λ||，即（λ﹣1）c＝（1+λ）a，∴離心率e＝＝．故選：C．12．已知向量＝（，1），＝（1，﹣）函數(shù)f（x）＝?，若關于x的方程f（x）＝k（x+1）只有一個實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0]∪（1，+∞） C．[1，+∞） D．（0，1]解：由題意，f（x）＝?＝﹣＝，f（﹣1）＝＝﹣2≠k（﹣1+1）＝0，f（0）＝0，當x∈[﹣1，1]時，f（x）＝﹣f（﹣x），x＞1時，f（x）＝﹣f（﹣x），可得f（x）在R上為奇函數(shù)，當x＞0時，f′（x）＝，所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，且f（1）＝2，當x→+∞時，f（x）→0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，在（﹣1，0）上單調(diào)遞增，且f（﹣1）＝﹣2，當x→﹣∞時，f（x）→0，作出f（x）的大致圖象，如圖所示：直線y＝k（x+1）恒過定點（﹣1，0），當直線經(jīng)過點（1，2）時，斜率k＝＝1，因為方程f（x）＝k（x+1）只有一個實數(shù)根，所以函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝k（x+1）只有一個交點，結合圖象可知k≤0或k＞1，即實數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，0]∪（1，+∞）．故選：B．二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卡上.13．如圖是一次數(shù)學考試成績的樣本頻率分布直方圖（樣本容量n＝200），若成績在60分到80分之間的學生稱為“臨界生”，那么樣本中“臨界生”人數(shù)約為30．解：由頻率分布直方圖可得，樣本中“臨界生”人數(shù)約為：200×＝2×（6+9）＝2×15＝30（人）．故答案為：30．14．已知等差數(shù)列{an}中，a10＝30，a20＝50，那么等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n+10．解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a10＝30，a20＝50，∴a1+9d＝30，a1+19d＝50，聯(lián)立解得：a1＝12，d＝2，那么等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝12+2（n﹣1）＝2n+10．故答案為：2n+10．15．把如圖的平面圖形分別沿AB、BC、AC翻折，已知D1、D2、D3三點始終可以重合于點D得到三棱錐D﹣ABC，那么當該三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為50π．解：在三棱錐D﹣ABC中，當且僅當DA⊥平面ABC時，三棱錐的體積達到最大，此時，設外接球的半徑為R，球心為O，球心O到平面ABC的投影點為F，則有R2＝OA2＝OF2+AF2，又OF＝＝，AF＝＝，所以R，所以球的表面積為S＝4πR2＝4，故答案為：50π．16．已知點A在拋物線y2＝3x上，過點A作拋物線的切線與x軸交于點B，拋物線的焦點為F，若∠BAF＝30°，則A的坐標為（，）．解：設A（，n），由y2＝3x，兩邊對x求導，可得2yy′＝3，即有y′＝，可得A處的切線的斜率為，拋物線y2＝3x的焦點F（，0），由直線AF的斜率為＝，所以tan30°＝＝，化為＝，解得n＝，＝，可得A（，）．故答案為：A（，）．三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知等腰△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點，且BD＝6．（1）若AD＝3，求△ABC的面積；（2）若BC＝4，求sinC．解：（1）因為AB＝AC，D是AC的中點，且BD＝6，AD＝3，所以在△ABD中，由余弦定理可得cosA＝＝＝，可得sinA＝＝，所以S△ABC＝AB?AC?sinA＝＝．（2）設CD＝x，由題意可得AB＝AC＝2x，在△ABC中，由余弦定理可得：cosC＝＝＝，在△BCD中，由余弦定理可得：cosC＝＝＝，所以＝，解得x＝2，所以cosC＝，可得sinC＝＝．18．已知在空間幾何體ABCDE中，△ABC、△BCD、△ECD都是邊長為2的正三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD．（1）A、E、B、D四點是否共面？說明理由；（2）求二面角B﹣AE﹣C的平面角的余弦值．解：（1）A、E、B、D四點共面，理由如下：取DC中點M，因為△ECD是正三角形，所以EM⊥DC，因為平面CDE⊥平面BCD，平面CDE∩平面BCD＝DC，所以EM⊥平面BCD，取BC中點N，同理AN⊥BC，AN⊥平面BCD，連接MN，所以MN∥BD，又因為△ABC、△BCD、△ECD都是邊長為2的正三角形，所以EM＝AN，EM∥AN，所以四邊形AEMN為平行四邊形，所以AE＝MN，AE∥MN，所以AE∥BD，所以A、E、B、D四點共面．（2）取AE中點P，連接PC，因為CA＝CE，所以PC⊥AE，取BD中點Q，連接PQ，因為四邊形AEDB為等腰梯形，所以PQ⊥AE，所以∠CPQ為二面角B﹣AE﹣C的平面角，連接CQ，交MN于O，連接PO，所以PO∥EM，PO是CQ的垂直平分線，設∠QPO＝θ，則tanθ＝＝，所以cos2θ＝＝，所以二面角B﹣AE﹣C的平面角的余弦值為．19．針對時下的“網(wǎng)絡文學熱”，某班團委對“學生性別是否與喜歡網(wǎng)絡文學有關”作了一次抽樣調(diào)查，在抽取的樣本中，女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡“網(wǎng)絡文學”的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡“網(wǎng)絡文學”的人數(shù)占女生人數(shù)的．設抽取的男生人數(shù)為x（x∈N*）．（1）完成2×2列聯(lián)表，若有95%以上的把握認為喜歡“網(wǎng)絡文學”與性別有關求男生人數(shù)x的最小值；喜歡網(wǎng)絡文學不喜歡網(wǎng)絡文學總計男生x女生總計（2）當x取（1）中的最小值時，從喜歡網(wǎng)絡文學的同學中抽取3名同學進行問卷調(diào)查，記3名同學中女生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）k解：（1）2×2列聯(lián)表為：喜歡網(wǎng)絡文學不喜歡網(wǎng)絡文學總計男生x女生總計x所以，解得，因為為正整數(shù)，所以男生人數(shù)x的最小值為12；（2）當x取最小值12時，由題意可知，喜歡網(wǎng)絡文學的同學中有男生2人，女生4人，故ξ的可能取值為1，2，3，所以P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，所以ξ的分布列為：ξ123P所以ξ的數(shù)學期望為E（ξ）＝1×+2×+3×＝2．20．已知直線m與橢圓C：＝1相切于點P（1，），直線n與橢圓C分別交于點A、B（異于點P），與直線m交于點Q，線段AB的中點H在直線y＝﹣x上．（1）求直線m的方程；（2）證明：|AQ|、|PQ|、|BQ|成等比數(shù)列．解：（1）設切線m的方程為y﹣＝k（x﹣1），聯(lián)立，得（3+4k2）x2+（﹣8k2+12k）x+4k2﹣12k﹣3＝0，所以△＝（﹣8k2+12k）2﹣4（3+4k2）（4k2﹣12k﹣3）＝0，解得k＝﹣，所以直線m的方程為y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣4＝0．（2）設直線n：y＝x+a，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，解得x＝2﹣a，y＝+1，所以Q（2﹣a，+1），聯(lián)立，得x2+x+﹣1＝0，所以△＝﹣×（﹣1）＝＞0，即﹣2＜a＜2，所以|AQ||BQ|＝|2﹣a﹣x1|?|2﹣a﹣x2|，＝|2﹣a﹣x1||2﹣a﹣x2|＝|（2﹣a）2﹣（2﹣a）（x1+x2）+x1x2|＝|（2﹣a）2﹣（2﹣a）（﹣a）+a2﹣3|＝|a2﹣3a+2|＝﹣3a+2，又|PQ|＝（+1﹣）2+（2﹣a﹣1）2＝﹣3a+2，所以|AQ||BQ|＝|PQ|2，所以|AQ|，|PQ|，|BQ|成比數(shù)列．21．設函數(shù)f（x）＝﹣e2x+（x﹣1）ex（a∈R）．（1）當a＝時，求g（x）＝f′（x）?e1﹣x的單調(diào)區(qū)間（f′（x）是f（x）的導數(shù)）；（2）若f（x）有兩個極值點x1、x2（x1＜x2），且正實數(shù)λ使1+λ＜x1+λx2成立，求正實數(shù)λ的取值范圍．解：（1）因為a＝，f（x）＝﹣e2x+（x﹣1）ex，f′（x）＝﹣e2x+xex，g（x）＝f′（x）?e1﹣x＝（﹣e2x+xex）?e1﹣x＝﹣ex+ex，g′（x）＝﹣ex+e，令g′（x）＝0，可得x＝1，當x∈（﹣∞，1）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，當x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．（2）因為f′（x）＝﹣ae2x+xex＝ex（﹣aex+x），令f′（x）＝0，可得a＝，設h（x）＝，y＝a，由題意可知，y＝a與h（x）＝的圖象有兩個交點x1、x2（x1＜x2），因為h′（x）＝，令h′（x）＞0，可得0＜x＜1，令h′（x）＜0，可得x＞1，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以0＜x1＜1＜x2，所以x2﹣1＞﹣（1﹣x1），由1+λ＜x1+λx2得﹣λ（x2﹣1）＜x1﹣1，得λ（x2﹣1）＞﹣（1﹣x1），當x