北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)期末綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)（含解析）

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一、選擇題(每題3分，共30分)

1．如圖，從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是()

A．∠BADB．∠ACBC．∠BACD．∠DAC

2．拋物線y＝2(x－3)2＋4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A．(3，4)B．(－3，4)C．(3，－4)D．(－3，－4)

3．把拋物線y＝2x2先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為()

A．y＝2(x＋3)2＋4B．y＝2(x＋3)2－4

C．y＝2(x－3)2－4D．y＝2(x－3)2＋4

4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，連接BD，∠DCA＝41°，則∠ABC的度數(shù)是()

A．41°B．45°C．49°D．59°

5．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，如果AB＝20，CD＝16，那么線段OE的長(zhǎng)為()

A．4B．6C．8D．9

6．如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cosA的值為()

A．B．C．D．

7．如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA，PB分別和⊙O切于A，B.C是弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線分別交PA，PB于D，E.若△PDE的周長(zhǎng)為12，則PA的長(zhǎng)等于()

A．12

B．6

C．8

D．10

8．已知點(diǎn)A(m，y1)，B(m＋2，y2)，C(x0，y0)在二次函數(shù)y＝ax2＋4ax＋c(a≠0)的圖象上，且點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)．若y0≥y2>y1，則m的取值范圍是()

A．m－3C．m－2

9．“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，則該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)等于()

A．πB．3πC．2πD．2π－

10．如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，0)，B(m，0)，且1＜m＜2，有下列結(jié)論：

①b＜0；②a＋b＞0；③0＜a＜－c；④若點(diǎn)C，D在拋物線上，則y1＞y2.

其中，正確的結(jié)論有()

A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)

二、填空題(每題3分，共24分)

11．如圖，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，若∠ABC＝110°，則∠ADC＝________．

12．計(jì)算：＋cos60°－(－2024)0＝________．

13．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，則AB＝________.

14．二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的部分圖象如圖所示，若y＞0，則x的取值范圍是______________．

15．[2023·煙臺(tái)]如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A與x軸相切于點(diǎn)B，CB為⊙A的直徑，點(diǎn)C在函數(shù)y＝(k＞0，x＞0)的圖象上，D為y軸上一點(diǎn)，△ACD的面積為6，則k的值為_(kāi)_______．

16．如圖，某活動(dòng)小組利用無(wú)人機(jī)航拍校園，已知無(wú)人機(jī)的飛行速度為3m/s，從A處沿水平方向飛行至B處需10s．同時(shí)在地面C處分別測(cè)得A處的仰角為75°，B處的仰角為30°，則這架無(wú)人機(jī)的飛行高度大約是________m(≈1.732，結(jié)果保留整數(shù))．

17．編程興趣小組為半徑為0.2m的圓形掃地機(jī)器人編制了如圖所示的程序，若掃地機(jī)器人在無(wú)障礙的實(shí)驗(yàn)室平地上按照編制的程序掃地，則這個(gè)掃地機(jī)器人掃過(guò)的實(shí)驗(yàn)室平地的面積是________m2.

18．如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，7)，與y軸交于點(diǎn)(0，6)，在y軸左側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，若tanα＝3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____________________．

三、解答題(19～22題每題10分，其余每題13分，共66分)

19．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，0)，點(diǎn)A在第一象限，且OA＝OB，sin∠AOB＝.

(1)求經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)(1)中的拋物線的頂點(diǎn)，求k的值．

20．[2023·北京]如圖，在ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF.

(1)求證：四邊形AECF是矩形；

(2)若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝，求BC的長(zhǎng)．

21．[2023·重慶]為了滿足市民的需求，我市在一條小河AB兩側(cè)開(kāi)辟了兩條長(zhǎng)跑鍛煉線路，如圖：①A－D－C－B；②A－E－B.經(jīng)勘測(cè)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正北方10千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正西方14千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)A的北偏東45°方向，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正南方，點(diǎn)E在點(diǎn)B的南偏西60°方向．(參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)

(1)求AD的長(zhǎng)度．(結(jié)果精確到1千米)

(2)由于時(shí)間原因，小明決定選擇一條較短線路進(jìn)行鍛煉，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明他應(yīng)該選擇線路①還是線路②？

22．[2022·本溪]如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，過(guò)OA上的點(diǎn)P作PD⊥AC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接BF.

(1)求證：BF與⊙O相切；

(2)若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的長(zhǎng)．

23．2023年是中國(guó)農(nóng)歷癸卯兔年．春節(jié)前，某商場(chǎng)進(jìn)貨員打算購(gòu)進(jìn)“吉祥兔”和“如意兔”兩種布偶，發(fā)現(xiàn)用8800元購(gòu)進(jìn)的“吉祥兔”的數(shù)量是用4000元購(gòu)進(jìn)的“如意兔”的2倍，且每件“吉祥兔”的進(jìn)價(jià)比“如意兔”貴了4元．

(1)“吉祥兔”“如意兔”每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

(2)該商場(chǎng)把“如意兔”的銷售價(jià)定為60元，每天可賣80件．調(diào)研發(fā)現(xiàn)，如果調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元，每天可多賣10件．如何定價(jià)才能使“如意兔”的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

24．[2023·北京四中期中]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2＋(2k－1)x＋k＋1的圖象與x軸相交于O，A兩點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．

(2)在這條拋物線的對(duì)稱軸右邊的圖象上有一點(diǎn)B，使△AOB的面積等于6，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

(3)對(duì)于(2)中的點(diǎn)B，在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠POB＝90°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△POB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案

一、1．D2．A3．A

4．C點(diǎn)撥：由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠DBC＝90°，由同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠DBA＝∠DCA＝41°，進(jìn)而可計(jì)算出∠ABC的度數(shù)．

5．B點(diǎn)撥：∵AB＝20，∴OD＝10.∵CD⊥AB，∴DE＝CD＝×16＝8.在Rt△DOE中，OE＝＝＝6.

6．D7．B

8．A點(diǎn)撥：∵點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，y0≥y2＞y1，

∴拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)為最高點(diǎn)．

∵y＝ax2＋4ax＋c(a≠0)，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－＝－2.

當(dāng)點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，＝－2，

解得m＝－3.

∵y1<y2，∴m<－3.

故選A.

9．B點(diǎn)撥：由題易得＝＝，由弧長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)為π，即可求出“萊洛三角形”的周長(zhǎng)．

10．B點(diǎn)撥：∵拋物線開(kāi)口向上，∴a＞0，

∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，

∴－＞0，∴b＜0，故①正確；

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，0)，

∴a－b＋c＝0，∴c＝b－a，

∵當(dāng)x＝2時(shí)，y＞0，

∴4a＋2b＋c＞0，∴4a＋2b＋b－a＞0，

∴3a＋3b＞0，∴a＋b＞0，故②正確；

∵a－b＋c＝0，∴a＋c＝b，

∵b＜0，∴a＋c＜0，∴0＜a＜－c，故③正確；

∵點(diǎn)C到對(duì)稱軸的距離比點(diǎn)D到對(duì)稱軸的距離近，∴y1＜y2，故④錯(cuò)誤．故選B.

二、11．70°12．－113．1714．－3<x<1

15．24點(diǎn)撥：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E.

設(shè)⊙A的半徑為r.

則AC＝AB＝r，BC＝2r.

設(shè)AE＝a，

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a，2r)，

∴k＝2ar.

易知S△ACD＝AC·AE，

∴·r·a＝6，

即ar＝12.

∴k＝2ar＝24.

16．20點(diǎn)撥：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于過(guò)點(diǎn)C的水平線，垂足為點(diǎn)D，如圖所示．

根據(jù)題意，得∠ACD＝75°，∠BCD＝30°，

AB＝3×10＝30(m)．

∵AB∥CD，

∴∠ABH＝∠BCD＝30°.

在Rt△ABH中，AH＝AB＝15m，

∵tan∠ABH＝，

∴BH＝＝＝15(m)．

∵∠ACH＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，

∴CH＝AH＝15m.

∴BC＝BH＋CH＝(15＋15)m.

在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，

∴BD＝BC＝≈20(m)．

17．點(diǎn)撥：如圖所示，圍成圖形的每個(gè)外角都是60°，

∴掃過(guò)的面積是6個(gè)長(zhǎng)方形面積＋6個(gè)圓心角為60°的扇形面積＋6個(gè)底角為60°的等腰梯形面積．

∴掃過(guò)的面積＝π×0.22＋0.2×(2＋1＋2＋1＋2＋1)＋3×(1＋1－0.1×2)×0.1×＋3×(2＋2－0.1×2)×0.1×＝(m2)．

18．(－2，6)或(－6，－18)點(diǎn)撥：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，7)，

∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a(x＋1)2＋7.

把(0，6)的坐標(biāo)代入，得6＝a(0＋1)2＋7，解得a＝－1，

∴拋物線的表達(dá)式為y＝－(x＋1)2＋7＝－x2－2x＋6.

當(dāng)tanα＝3時(shí)，易知|yP|＝－3xP.

設(shè)P(m，－m2－2m＋6)(m<0)，則－m2－2m＋6＝－3m或－m2－2m＋6＝3m.

當(dāng)－m2－2m＋6＝－3m時(shí)，

解得m＝3(舍去)或m＝－2；

當(dāng)－m2－2m＋6＝3m時(shí)，解得m＝1(舍去)或m＝－6.

綜上，m＝－2或m＝－6.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，6)或(－6，－18)．

三、19．解：(1)由題意得OA＝OB＝5.

如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H.

∴AH＝OA·sin∠AOB＝3.

∴OH＝4.

∴A(4，3)．

設(shè)經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax(x－5)．

把點(diǎn)A(4，3)的坐標(biāo)代入y＝ax(x－5)，得3＝4a(4－5)，解得a＝－.

∴經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x(x－5)，

即y＝－x2＋x.

(2)∵y＝－x2＋x＝－×＋，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)該拋物線的頂點(diǎn)，

∴k＝×＝.

20．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC，AD∥BC.

∵BE＝DF，∴AF＝EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

又∵AC＝EF，

∴平行四邊形AECF是矩形．

(2)解：由(1)知四邊形AECF是矩形，

∴∠AEC＝90°，∴∠AEB＝90°.

又∵AE＝BE，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE＝BE＝AB＝×2＝.

∵tan∠ACB＝＝，

∴＝，∴EC＝2，

∴BC＝BE＋EC＝＋2＝3.

21．解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE，垂足為F，

由題意得四邊形ABCF是矩形，

∴AF＝BC＝10千米，

在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，

∴AD＝＝＝10≈10×1.41≈14(千米)．

∴AD的長(zhǎng)度約為14千米；

(2)小明應(yīng)該選擇線路①，

理由：在Rt△ADF中，

∠DAF＝45°，AF＝10千米，

∴∠ADF＝45°＝∠DAF，

∴DF＝AF＝10千米．

在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°，

AB＝CF＝DF＋CD＝24千米，

∴AE＝AB·tan30°＝24×＝8(千米)，

∴EB＝2AE＝16千米．

按線路①A－D－C－B走的路程為AD＋DC＋CB≈14＋14＋10＝38(千米)；

按線路②A－E－B走的路程為AE＋EB＝8＋16≈24×1.73＝41.52(千米)．

∵38千米<41.52千米，

∴小明應(yīng)該選擇線路①.

22．(1)證明：如圖，連接OB.

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC＝90°.

∴∠ABD＝180°－∠ABC＝90°.

∵點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，

∴BF＝EF＝DE.

∴∠FEB＝∠FBE.

∵∠AEP＝∠FEB，∴∠FBE＝∠AEP.

∵PD⊥AC，

∴∠EPA＝90°.

∴∠A＋∠AEP＝90°.

∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA.

∴∠OBA＋∠FBE＝90°.

∴∠OBF＝90°.

∵OB是⊙O的半徑，∴BF與⊙O相切．

(2)解：在Rt△AEP中，cosA＝，AP＝4，

∴AE＝＝＝5.

∴PE＝＝＝3.

∵AP＝OP＝4，∴OA＝OC＝2AP＝8.

∴PC＝OP＋OC＝12.

∵∠A＋∠AEP＝90°，∠A＋∠C＝90°，

∴∠AEP＝∠C.

∵∠APE＝∠DPC＝90°，∴△APE∽△DPC.

∴＝.

∴＝，解得DP＝16.

∴DE＝DP－PE＝16－3＝13.

∴BF＝DE＝.

23．解：(1)設(shè)“如意兔”每件的進(jìn)價(jià)為x元，則“吉祥兔”每件的進(jìn)價(jià)為(x＋4)元，由題意，得＝2×，

解得x＝40，

經(jīng)檢驗(yàn)x＝40是原方程的解，

∴x＋4＝44.

答：“吉祥兔”“如意兔”每件的進(jìn)價(jià)分別是44元和40