蒙特卡羅方法生成三維理想氣體麥克斯韋分布

蒙特卡羅方法生成三維理想氣體麥克斯韋分布莫裕宇;李盛至【摘要】蒙特卡羅方法生成二維麥克斯韋分布的程序在一些計算物理教材中已經(jīng)做出.將三維單位球面上均勻分布的隨機向量加入到描述分子碰撞的隨機過程中，用MATLAB生成了三維麥克斯韋分布的程序.并對麥克斯韋分布的數(shù)值結(jié)果與理論預(yù)期進行了對比.對應(yīng)地提出了一種理想氣體碰撞生成麥克斯韋分布的在統(tǒng)計上所可能遵循的散射規(guī)律.【期刊名稱】《大學(xué)物理》【年(卷)，期】2018(037)003【總頁數(shù)】6頁(P63-68)【關(guān)鍵詞】三維麥克斯韋分布數(shù)值模擬;蒙特卡羅方法;理想氣體【作者】莫裕宇;李盛至【作者單位】北京師范大學(xué)物理學(xué)系，北京100875;北京師范大學(xué)物理學(xué)系，北京100875【正文語種】中文【中圖分類】O552.3+1理想氣體的麥克斯韋分布是大量粒子相互作用的結(jié)果，如果能夠把這樣的實際物理過程簡化為簡單的隨機過程，那么當(dāng)需要用到速率分布滿足三維麥克斯韋分布的粒子進行分子模擬時，計算量將會大大簡化.目前蒙特卡羅方法生成麥克斯韋分布已有得的相關(guān)研究為文獻［1,2］.在文獻［1］中分子運動的速率得到了記錄，其隨機過程在于隨機抽取分子進行碰撞，而后的分子碰撞過程中，碰撞前，分子速度方向在二維實驗室空間的指向是各向同性的，碰撞后，各個分子速度方向在質(zhì)心坐標(biāo)系中的指向是隨機的，其速度大小由碰撞后的具體指向決定，最后記錄碰撞后的速率.本文發(fā)展了文獻［1］的方法，認(rèn)為通過記錄分子運動的速度，只需隨機碰撞后各個分子相對質(zhì)心坐標(biāo)系的速度方向，使其在三維空間內(nèi)的指向是各向同性的，即可生成三維麥克斯韋分布.文獻［2］中是用蒙特卡羅方法生成三維麥克斯韋分布，其隨機抽樣的思想同文獻［1］，但碰撞隨機過程不同，即在球坐標(biāo)系內(nèi)隨機碰撞前時兩粒子之間的速度夾角，而后交換連心線方向的速度.由于其在球坐標(biāo)系下的夾角是用均勻分布的隨機數(shù)代替的，如果是這樣，那么碰撞前各個分子的速度方向在實驗室坐標(biāo)系中的空間指向?qū)⒉皇歉飨蛲缘?因此其正確性有待商榷.另外其做出的分布曲線并未與理論曲線進行對比，而本文中會對數(shù)值計算結(jié)果與理論預(yù)期進行詳細的對比.本文僅考慮經(jīng)典條件下的孤立系統(tǒng)的三維麥克斯韋分布，對于相對論情形下的麥克斯韋分布見文獻［3］.另外考慮到理想氣體的定義，文中在描述碰撞時，粒子將被看成是質(zhì)點.用鋼球模型模擬二維氣體的麥克斯韋分布的見文獻［4］.其中，對大量粒子服從的統(tǒng)計規(guī)律性，有詳細闡述.也有對多粒子系統(tǒng)和少粒子系統(tǒng)的粒子速率和能量的分布的模擬和討論，但沒有對模擬算法的詳細說明，本文會有較大篇幅涉及對算法的說明，說明時主要與文獻［1］中的算法做對比，并最終證明本文與文獻［1］算法的等價性.模擬結(jié)果會跟對應(yīng)參數(shù)下的理論曲線進行對比，以說明其正確性（理論曲線非調(diào)參調(diào)出來〃強行擬合成功的”，而是只設(shè)置了分子質(zhì)量和對應(yīng)模擬時初始化的溫度代入密度分布函數(shù)中，作圖后與統(tǒng)計直方圖進行定性擬合）.至于實驗驗證，如果拿文中的用于數(shù)值模擬的模型來做實物實驗可能難以實現(xiàn).因為可能很難在一個箱子中統(tǒng)計兩個相互碰撞的氣體分子相對質(zhì)心散射方向.本文運用隨機模型得到麥克斯韋分布，可以作為大量粒子碰撞形成麥克斯韋分布時所服從的統(tǒng)計規(guī)律的依據(jù)：碰撞后兩理想氣體分子相對質(zhì)心系的速度散射方向的統(tǒng)計分布是各向同性的.1基本原理1.1理想氣體模型根據(jù)熱學(xué)教材中的準(zhǔn)理想氣體的定義可知，對理想氣體分子有：分子近似看成質(zhì)點；氣體分子的大小忽略不計.1.2分子碰撞的隨機過程把所有分子都看成是質(zhì)點后，在碰撞過程中決定他們運動末了狀態(tài)的參量的因素是:兩個粒子的初始速度，另一個是粒子碰撞后相對質(zhì)心系的速度的空間取向.由于不是運用分子動力學(xué)模擬的方法記錄粒子的位置和速度，而是只記錄粒子的速度，因此碰撞前后，兩粒子的連心線取向完全不知情只能假定它們碰后質(zhì)心速度在空間中指向分布各向同性（后文驗證了這個假設(shè)能生成麥克斯韋分布）.物理圖象見圖1和圖2.總結(jié)粒子碰撞模型的出發(fā)點如下.首先碰撞滿足動量能量守恒；其次，碰撞前后粒子相對質(zhì)心系的速率大小不變，但方向改變，其方向的空間指向具有隨機特性，并且其方向的隨機矢量的指向分布在空間中是各向同性的.圖1未記錄粒子位置，碰撞后兩粒子遠離質(zhì)心系原點的方向不確定.隨機從可能的方向中選取一個，且任何方向被選中的概率均等圖2取兩邊各500個分子進行碰撞（質(zhì)心速度為零），碰后分子遠離質(zhì)心速度方向分布為各向同性.2前后速度關(guān)系式的推導(dǎo)以及能量和動量守恒的證明2.1速度關(guān)系式基于這兩個出發(fā)點，這里推導(dǎo)碰撞前后的速度關(guān)系式.設(shè)碰撞前，把兩個粒子分別編號1、2.1和2的速度分別是：和(1)質(zhì)心運動速度是：(2)1和2相對于質(zhì)心的速度是：⑶v2cold=-v1cold⑷現(xiàn)在將這個矢量在質(zhì)心系中的方向進行重新的分配：(程序中可以以原點為中心先生成一個立方體內(nèi)均勻分布的點，而后在把在這個立方體內(nèi)處于其內(nèi)切球內(nèi)的點選取出來，再把這些點作為矢量的失端，最后把這些矢量歸一化)設(shè)這個隨機單位矢量為⑸重新分配后1相對質(zhì)心的速度的表達式：(6)根據(jù)動量守恒2相對質(zhì)心的速度表達式是:v2cnew=-v1cnew⑺最終1和2碰撞后的速度表達式是：=vc+v1cnew(8)=vc+v2cnew⑼2.2能量守恒動量守恒的證明能量守恒的證明聯(lián)立式(1)一式(9)得到1和2速度的分量表達式:(10)(11)(12)(13)所以得證能量守恒.動量守恒的證明(14)Pt=m+m=（15）3對隨機過程的說明首先有必要對數(shù)值模擬過程進行說明.蒙特卡羅方法生成二維麥克斯韋分布的隨機過程如下：［1］1） 首先初始化粒子的速率；2） 碰撞時，隨機選取兩個粒子；3） 隨機選取兩粒子碰撞前的速度方向夾角，計算質(zhì)心速度；4） 隨機選取相對于質(zhì)心系的散射方向，碰撞，計算碰后的速率……最后生成分布.本文的模型與文獻［1，2］-致，都是質(zhì)點模型，所不同的是本文通過記錄粒子碰撞的速度矢量，從而省去文獻［1］中的第3）步.下面給出本文的具體數(shù)值模擬算法.1） 初始化所有粒子速度;生成各向同性隨機分布的空間單位矢量，并排列成矩陣.2） 碰撞時隨機選取兩個粒子；3） 計算兩個粒子的相對質(zhì)心的速度；4） 順序選取其中生成各向同性隨機分布的空間單位矢量，其方向用來初始化選中的兩個粒子相對質(zhì)心的速度方向，而后計算兩個粒子新的相對實驗室坐標(biāo)系的速度;如此迭代下去，達到熱平衡的時候，也就是經(jīng)過足夠多次的蒙特卡羅計算，即可生成三維麥克斯韋分布.下面對文獻［1］和本文方法等價性進行說明.本文的方法經(jīng)過足夠多次的迭代后（達到熱平衡時），粒子的速度矢量的方向在空間的分布是各向同性的，隨機選取兩個粒子i和「在選擇之前，它們的速度矢量的方向完全是隨機的（圖3）.那么從這個意義上說，它們之間的夾角也無從確認(rèn).但是有一點可以確認(rèn)，那就是:取定一個粒子時，它有一個速度方向，再取一個粒子時，后者的速度方向矢量與前者的相對指向完全是隨機的（因為所以粒子的速度矢量是空間中均勻分布的）.這便是文獻［1］的蒙特卡羅方法生成二維麥克斯韋分布編程中步驟3）的思想.故迭代夠多次后，本文模型與文獻［1］中模型等價.且把文獻［1］的模型推廣到了三維.圖3迭代后速度方向單位矢量的分布圖圖4單位球面上均勻分布的單位矢量的分布圖（用于與圖3進行對比）4擬合檢驗4.1擬合原理速度分布和速率分布的密度分布函數(shù)分別是：而正態(tài)分布的密度函數(shù)是所以麥克斯韋分布的各個方向速度分布與M=0的正態(tài)分布有相同的函數(shù)表達式，其中，（16）用normfit對x、y和z軸方向速度的計算機模擬數(shù)據(jù)進行正態(tài)分布N（p,a2）擬合.擬合時理論上口是0,但是由于漲落，口在擬合時會略大于eps（計算時能分辨的最小精度），這不與理論矛盾.把擬合出來的3個方向上的。做平均，得最終的另外，在數(shù)值模擬初始化過程中，對所有粒子有一個統(tǒng)計上的方均速率，這也對應(yīng)這個系統(tǒng)的溫度.由于這是一個孤立系統(tǒng)，且系統(tǒng)能量守恒，方均速率不會變，那么溫度也不會變.把初始溫度，作為理論預(yù)期溫度（理論上，速率和速度概率密度分布函數(shù)中的T）.上述分布函數(shù)中m為0.029kg/N0是空氣平均分子質(zhì)量，kB為玻爾茲曼常量.把參數(shù)和kB代入密度分布函數(shù)，做出擬合曲線，與統(tǒng)計分布做對比，即得擬合結(jié)果4.2擬合結(jié)果圖5三維麥克斯韋分布數(shù)值結(jié)果與同溫度下的理論預(yù)期分布作對比（柱狀圖為數(shù)值結(jié)果，曲線為理論預(yù)期）圖6三維麥克斯韋分布中x方向速度分布的數(shù)值結(jié)果與同溫度下的理論預(yù)期分布作對比（柱狀圖為數(shù)值結(jié)果，曲線為理論預(yù)期）圖7三維麥克斯韋分布中y方向速度分布的數(shù)值結(jié)果與同溫度下的理論預(yù)期分布作對比（柱狀圖為數(shù)值結(jié)果，曲線為理論預(yù)期）圖8三維麥克斯韋分布中z方向速度分布的數(shù)值結(jié)果與同溫度下的理論預(yù)期分布作對比（柱狀圖為數(shù)值結(jié)果，曲線為理論預(yù)期）結(jié)果擬合度較好！這說明數(shù)值模擬結(jié)果從x、y和z方向的速度分布以及最終的三維的速率分布都符合理論預(yù)期.另外，我們還把初始溫度與迭代后的溫度進行了對比：（17）某次初始化時為T〃初溫”=248.2580K（打引號因為此時系統(tǒng)未達熱力學(xué)平衡，溫度直接代表了此孤立系統(tǒng)的溫度）；經(jīng)過模擬以后通過擬合3個方向的平均速度分布得出的T末溫=248.2652K;運行十次程序得到的〃初溫”和末溫的平均相對差距是n=4.2181x10-5.所以，生成的三維麥克斯韋分布的丁是符合能量守恒定律的，這也是微觀上兩體碰撞能量守恒的必要條件.到此，證明了生成的麥克斯韋分布與理論曲線的相似度極高，并再次證明了其迭代過程是符合能量守恒的.5平均速率檢驗麥克斯韋分布達到熱平衡時的平均速率(18)而平均速率在初始化時和足夠迭代次數(shù)以后會有很大的不同，原因是系統(tǒng)尚未達到熱平衡.但驗證平均速率是否隨著迭代次數(shù)改變也是有必要的.驗證：某次運行程序，用初溫計算出的理論模擬后直接對速率平均后得到的某次運行10次程序得到的和相對差值的平均值為q1=9.2412x10-4.且也不隨迭代次數(shù)改變.運行10次程序，得到10個的平均值和最初的相對差值的平均值為r|2=1.2501x10-4.另外0.9212與的比值(反映了平均速率與總能量的關(guān)系)滿足某次運行程序10次過程中，直接平均得到的與用得到的平均比值為0.9212.總之，平均速率與總能量的關(guān)系在達到熱平衡后在誤差允許的范圍內(nèi)符合理論預(yù)期.平均速率在達到熱平衡后其值在誤差允許的范圍內(nèi)保持不變.所以此粒子隨機碰撞模型的數(shù)值模擬結(jié)果與統(tǒng)計理論的預(yù)期符合較好，由此提出本文的結(jié)論:形成麥克斯韋分布的微觀粒子碰撞散射可能遵循的統(tǒng)計規(guī)律：碰撞后兩理想氣體分子相對質(zhì)心系的速度散射方向在空間中的統(tǒng)計分布是各向同性的.6總結(jié)與展望基于基本的理想氣體模型，以及能量動量守恒定律，還有質(zhì)心系質(zhì)點速度散射的空間取向各向同性隨機分布，導(dǎo)出了三維蒙特卡羅方法生成麥克斯韋分布的模型.用MATLAB平臺生成了三維麥克斯韋分布，并進行了擬合檢驗，還把溫度和平均速度這兩個物理量進行了理論預(yù)期檢驗.此模型在檢驗中表現(xiàn)良好.提出了形成麥克斯韋分布的微觀粒子的碰撞散射的可能遵循的統(tǒng)計規(guī)律：碰撞后兩理想氣體分子相對質(zhì)心系的速度散射方向在空間中的統(tǒng)計分布是各向同性的.望對揭示麥克斯韋分布的物理原理有所幫助.致謝：感謝趙虎副教授和彭芳麟教授對本文發(fā)表給予的討論和支持.【相關(guān)文獻】彭芳麟.計算物