遼寧省大連市北方美術(shù)高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析

遼寧省大連市北方美術(shù)高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知a，b是實數(shù)，則“a＞|b|”是“a2＞b2”的(

) A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：簡易邏輯．分析：先判斷p?q與q?p的真假，再根據(jù)充要條件的定義給出結(jié)論；也可判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系解答： 解：“a＞|b|”能推出“a2＞b2”，但是當a=﹣2，b=1時，由a2＞b2”推不出“a＞|b|”“a＞|b|”是“a2＞b2”的充分不必要條件，故選：B．點評：此題主要考查不等式與不等關(guān)系之間的聯(lián)系，考查充要條件的有關(guān)定義．2.若圖1的框圖所給的程序運行結(jié)果為,那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于的條件是(

)A．？ B．？

C．？

D．？

參考答案：D3.已知向量,,滿足,,.若對每一確定的,的最大值和最小值分別為，則對任意，的最小值是

(

)A.

B．

C． D．

參考答案：B略4.已知函數(shù)f（x）=sin（π﹣2x），g（x）=2cos2x，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)f（x）在區(qū)間[]上為增函數(shù)B.函數(shù)y=f（x）+g（x）的最小正周期為2πC.函數(shù)y=f（x）+g（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱

D.將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象參考答案：C略5.命題“若x2≠4，則x≠2且x≠﹣2”的否命題為（）A．若x2=4，則x≠2且x≠﹣2 B．若x2≠4，則x=2且x=﹣2C．若x2≠4，則x=2或x=﹣2 D．若x2=4，則x=2或x=﹣2參考答案：D【考點】四種命題．【分析】將原命題：“若x2≠4，則x≠2且x≠﹣2”的條件、結(jié)論同時否定，即得到答案．【解答】解：“若x2≠4，則x≠2且x≠﹣2”的否命題是：“若x2=4，則x=2或x=﹣2”，故選：D．6.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，當，則=(

)A.—3

B.—1

C.1

D.3參考答案：A略7.若實數(shù)滿足則的最小值是（

）A．0

B．1

C．

D．9參考答案：【標準答案】:B【試題分析】:解出可行域的頂點，只需求出的最小值?！靖呖伎键c】:線性規(guī)劃【易錯提醒】:頂點解錯【備考提示】:高考基本得分點。8.若函數(shù)的圖象上任意點處切線的傾斜角為，則的最小值是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略9.將9個相同的小球放入3個不同的盒子，要求每個盒子中至少有一個小球，且每個盒子里的小球個數(shù)都不相同，則不同的放法有（

）種A.15 B.18 C.19 D.21參考答案：B略10.（5分）已知sin（+α）=，則cos2α等于（）A．B．﹣C．D．﹣參考答案：D【考點】：二倍角的余弦．【專題】：三角函數(shù)的求值．【分析】：由誘導(dǎo)公式及已知可求cosα，利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可求值．解：∵sin（+α）=cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故選：D．【點評】：本題主要考查了誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義,若實數(shù)滿足,則的最小值為

．參考答案：考點：二元一次不等式組表示的區(qū)域及運用．【易錯點晴】本題設(shè)置了一道定義新概念的信息遷移題.其的目的意在考查在線性約束條件下新定義的函數(shù)的最小值的問題.求解時充分運用題設(shè)條件,先求出和,從二者的取值可以看出時,,此時,此時最小值.12.古代印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在其所著的《莉拉沃蒂》中有如下題目：“今有人拿錢贈人，第一人給3元，第二人給4元，第三人給5元，其余依次遞增，分完后把分掉的錢全部收回，再重新分配，每人恰分得100元，則一共

人．參考答案：195考點：等差數(shù)列的通項公式．專題：應(yīng)用題；方程思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由題意，給每個人的錢數(shù)組成首項為3，公差為1的等差數(shù)列，由此求出等差數(shù)列的前n項和，列出方程求解．解答： 解：設(shè)共有n人，根據(jù)題意得；3n+=100n，解得n=195；∴一共有195人．故答案為：195．點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式與前n項和的應(yīng)用問題，也考查了方程思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．13.設(shè)關(guān)于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P（x0，y0），滿足x0﹣2y0=2，求得m的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣）【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】計算題；作圖題；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由題意作出其平面區(qū)域，則由圖可知，點（﹣m，m）在直線x=2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，從而解得．【解答】解：由題意作出其平面區(qū)域，則由圖可知，點（﹣m，m）在直線x=2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，解得，m＜﹣；故答案為：（﹣∞，﹣）．【點評】本題考查了簡單線性規(guī)劃，作圖要細致認真，屬于中檔題．14.中，角、、所對應(yīng)的邊分別是、、，若，，，則邊__________．參考答案：解：∵，可得，又∵，，∵由余弦定理可得：．15.執(zhí)行右圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為

．參考答案：2316.點在曲線C：上運動，，且t的最大值為b，若，則的最小值為_____.參考答案：1【分析】首先可確定曲線表示圓心為，半徑為的圓；令，則；的最大值為半徑與圓心到點的距離之和，利用兩點間距離公式求得，代入中利用最大值為可求得，將所求的式子變?yōu)?，利用基本不等式求得結(jié)果.【詳解】曲線可整理為：則曲線表示圓心為，半徑為的圓設(shè)，則表示圓上的點到的距離則，整理得：又（當且僅當，即，時取等號），即的最小值為本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查利用基本不等式求解和的最小值的問題，解題關(guān)鍵是掌握圓上的點到定點距離的最值的求解方法，從而可得到之間的關(guān)系，從而配湊出符合基本不等式的形式.17.設(shè)實數(shù)x?y滿足約束條件，則z=2x+3y的最大值為．參考答案：26考點：簡單線性規(guī)劃．

專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域（陰影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直線y=，由圖象可知當直線y=經(jīng)過點A時，直線y=的截距最大，此時z最大．由，解得，即A（4，6）．此時z的最大值為z=2×4+3×6=26，故答案為：26點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）如圖，已知四邊形是正方形，平面，，，,,分別為,,的中點.

（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）在線段上是否存在一點,使平面？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.

參考答案：（Ⅰ）證明：因為,分別為，的中點，所以.又因為平面，平面，所以平面.

……………4分（Ⅱ）因為平面，所以.又因為，，所以平面.由已知,分別為線段,的中點，所以.則平面.而平面，所以平面平面.

…………………9分（Ⅲ）在線段上存在一點，使平面.證明如下：

在直角三角形中，因為,,所以.在直角梯形中，因為，,所以，所以.又因為為的中點，所以.要使平面，只需使.因為平面，所以，又因為，,所以平面，而平面，所以.若，則∽,可得.由已知可求得，，，所以.……14分19.已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x（1）若函數(shù)g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸，求a的值；（2）若a＞0，討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；（3）設(shè)斜率為k的直線與函數(shù)f（x）的圖象交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，求證：．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出；（2）通過求導(dǎo)得到g′（x），通過對a分類討論即可得出其單調(diào)性；（3）利用斜率計算公式，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，及令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，通過求導(dǎo)得到其單調(diào)性即可證明．【解答】解：（1）依題意得g（x）=lnx+ax2﹣3x，則g′（x）=+2ax﹣3，由函數(shù)g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸可得，g′（1）=1+2a﹣3=0，∴a=1；（2）g（x）=lnx+ax2﹣3x，則g′（x）=+2ax﹣3=，設(shè)t（x）=2ax2﹣3x+1，△=9﹣8a，①當0＜a＜時，設(shè)t（x）=0的兩根為x1=，x2=，由g′（x）＞0可得x＞x2，或0＜x＜x1；由g′（x）＜0可得x＞x2，或＜x1＜x＜x2，即g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，），（，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（，）；②當a≥時，2ax2﹣3x+1≥0恒成立，g′（x）≥0恒成立，g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；（3）證明：依題意得k==，＜k＜?＜＜?x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，則h′（x）=1﹣，當x＞x1時，h'（x）＞0，∴函數(shù)h（x）在（x1，+∞）單調(diào)遞增，∴當x2＞x1時，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，則m′（x）=1﹣，當x＜x2時，m'（x）＜0，∴函數(shù)m（x）在（0，x2）單調(diào)遞減，∴當x1＜x2時，m（x1）＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命題得證．【點評】熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、分類討論思想方法、根據(jù)所證明的結(jié)論恰當?shù)臉?gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵．20.已知矩陣，點，點.（Ⅰ）求線段在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的線段的長度；（Ⅱ）求矩陣的特征值與特征向量．

參考答案：

解(1)由，，所以所以

(2)

得矩陣特征值為，

分別將代入方程組可解得矩陣屬于特征值的特征向量為，當屬于特征值的特征向量為．

略21.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量表得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標值分組[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)頻數(shù)62638228（I）在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（II）估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（III）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？參考答案：（1）（2）質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)為質(zhì)量指標值的樣本方差為所以，這種產(chǎn)品質(zhì)量指標的平均數(shù)估計值為100，方差的估計值為104.（3）依題意=