數(shù)學人教A版必修4導學案2.5.1平面幾何中的向量方法

2．5.1平面幾何中的向量方法1．會用向量方法解決平面幾何問題．2．掌握和體會用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”．1．由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及________表示出來，因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問題．2．用向量方法解決平面幾何問題的三步曲：第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用______表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為____問題；第二步，通過______運算，研究幾何元素之間的關系；第三步，把________“翻譯”成幾何關系．平面幾何中的向量方法有：(1)證明線段相等，轉(zhuǎn)化為證明向量的長度相等；求線段的長，轉(zhuǎn)化為求向量的模．(2)證明線段、直線平行，轉(zhuǎn)化為證明向量平行．(3)證明線段、直線垂直，轉(zhuǎn)化為證明向量垂直．(4)幾何中與角相關的問題，轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題．(5)對于有關長方形、正方形、直角三角形等平面幾何問題，通常以相互垂直的兩邊所在直線分別為x軸和y軸建立平面直角坐標系，通過向量的坐標運算解決平面幾何問題．【做一做】在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點．用向量法證明DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.答案：1．數(shù)量積2．向量向量向量運算結果【做一做】證明：如圖所示，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a.又＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則在△ADE中，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b－a)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)).所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.1．用向量處理問題時，選擇平面向量基底的基本原則．剖析：平面內(nèi)任意不共線的兩個向量就可作為一組基底，因此在圖形中選擇不共線的兩個向量即可．但是在具體的解題過程中，通常不會隨便取不共線的兩個向量．選擇適當?shù)幕蛄?，會減少計算量．選擇適當?shù)幕蛄康幕驹瓌t是：(1)不共線；(2)基向量的長度最好是確定的；(3)基向量的夾角最好是明確的(直角最合適)；(4)盡量使基向量和所涉及到的向量共線或構成三角形或構成平行四邊形．2．用向量的坐標處理問題時，建立平面直角坐標系的基本原則．剖析：選擇坐標軸和原點不當會增加解題的運算量，也會帶來不必要的麻煩．需明確平面直角坐標系是如何構成的以及選擇坐標軸的基本原則．具有公共原點的兩條互相垂直的數(shù)軸構成了平面直角坐標系，因此在已知圖形中，只要選擇互相垂直的兩條直線為坐標軸就能建立直角坐標系，但是又不能隨便選擇坐標軸，選擇的基本原則是：(1)盡量用已知圖形中兩互相垂直的向量所在直線為坐標軸；(2)盡量選擇已知圖形中某一特殊點為原點；(3)位于坐標軸上的已知點越多越好．題型一平行問題【例1】如圖，已知AC，BD是梯形ABCD的對角線，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點．求證：EF∥BC.分析：要證明EF∥BC，只要證出eq\o(EF,\s\up6(→))＝meq\o(BC,\s\up6(→))即可．反思：向量法證明平面幾何中AB∥CD的步驟：①選擇一組向量基底；②用基底表示eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))；③確定eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))中的λ值，即有eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))；④歸納總結．題型二垂直問題【例2】△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，用向量方法證明AD⊥BC.分析：轉(zhuǎn)化為證明eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).反思：向量法證明平面幾何中AB⊥CD的步驟：①選擇一組基底；②用基底表示eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))；③計算eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))的值為0；④歸納結論．題型三長度問題【例3】如圖所示，已知ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝eq\f(π,3)，求對角線AC和BD的長．反思：向量法求平面內(nèi)A，B兩點間的距離的步驟：①選取一組基底a，b；②用基底a，b表示eq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＝xa＋yb；③利用|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(|AB|2,\s\up6(→)))＝eq\r((xa＋yb)2)求得|eq\o(AB,\s\up6(→))|；④歸納結論．題型四易錯辨析【例4】已知點A(0,1)，B(1,0)，C(－1,2)，D(2，－1)，問AB與CD平行嗎？錯解：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(3，－3)，又1×(－3)－(－1)×3＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，即AB∥CD.錯因分析：此題混淆了向量的平行與線段(直線)的平行．平行向量是方向相同或相反的向量，所以A，B，C，D四點共線時，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))仍為平行向量，但此時直線AB與CD不平行．反思：當eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))時，直線AB與直線CD可能平行，還可能重合，當且僅當eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，且A，B，C，D中任三點不共線時，直線AB∥直線CD.答案：【例1】證明：設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a.∵eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))＝λb.∵E為BD的中點，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b－a)．∵F是AC的中點，連接BF(如圖)，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(λb－a)．∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(λb－a)－eq\f(1,2)(b－a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ－\f(1,2)))b＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ－\f(1,2)))·\f(1,λ)))eq\o(BC,\s\up6(→)).又E，F(xiàn)，B，C四點不共線，∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，即EF∥BC.【例2】證明：如圖所示，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則|a|＝|b|，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a.∵D是BC的中點，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b)．∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·(b－a)＝eq\f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0.∴eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).∴AD⊥BC.【例3】解：設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，a與b的夾角為θ，則|a|＝3，|b|＝1，θ＝eq\f(π,3).∴a·b＝|a||b|cosθ＝eq\f(3,2).又eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(\o(AC,\s\up6(→))|2,\s\up6()))＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(13)，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(|\o(DB,\s\up6(→))|2,\s\up6()))＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(7).∴AC＝eq\r(13)，DB＝eq\r(7).【例4】正解：證明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(3，－3)，1×(－3)－(－1)×3＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→)).又eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，而－1×(－1)－1×1＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴A，B，C，D四點共線，∴AB與CD不平行．1．△ABC中，＝，且與的夾角為120°，則△ABC是()A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．斜三角形2．在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，則k的值是()A．5 B．－5 C. D．3．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，則△ABC為()A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．形狀無法確定4．點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足·＝·＝·，則點O是△ABC的()A．三個內(nèi)角的角平分線的交點 B．三條邊的垂直平分線的交點C．三條中線的交點 D．三條高線的交點5．△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，＝，且＝，則·為()A．1 B. C．－1 D．答案：1．C2．A由題意，得＝－＝