七年級數(shù)學(xué)上冊專題3.1 一元一次方程中的綜合（壓軸題專項講練）（人教版）（解析版）

/專題3.1一元一次方程中的綜合【典例1】定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個方程為“美好方程”．例如：方程2x?1=3和x+1=0為“美好方程”．（1）請判斷方程4x?(x+5)=1與方程?2y?y=3是否互為“美好方程”；（2）若關(guān)于x的方程x2+m=0與方程3x?2=x+4是“美好方程”，求（3）若關(guān)于x方程12022x?1=0與12022x+1=3x+k是“美好方程”，求關(guān)于【思路點撥】（1）分別解出兩個方程，再根據(jù)“美好方程”的定義，即可求解；（2）分別解出兩個方程，再根據(jù)“美好方程”的定義，即可求解；（3）先求出12022x?1=0的解為x=2022，根據(jù)“美好方程”的定義，可得方程12022x+1=3x+k的解為：x=?2021，然后把12022【解題過程】解：（1）是，理由如下：由4x?(x+5)=1解得x=2；由?2y?y=3解得：y=?1．∵?1+2=1∴方程4x?(x+5)=1與方程?2y?y=3是“美好方程”．（2）解：由3x?2=x+4解得x=3；由x2+m=0解得∵方程3x?2=x+4與方程x2∴?2m+3=1，解得m=1．（3）解：由12022x?1=0解得∵方程12022x?1=0與方程∴方程12022x+1=3x+k的解為：又12022(y+2)+1=3y+k+6∴y+2=?2021，解得：y=?2023．1．（2022·浙江·七年級單元測試）滿足方程x+23+x?4A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【思路點撥】分類討論：x≥43，x≤?2【解題過程】當(dāng)x≥43時，原方程為：x+2當(dāng)x≤?23時，原方程為：?x?2當(dāng)?23<x<43時，原方程為：x+故選：C.2．（2022·河北·邢臺市開元中學(xué)七年級階段練習(xí)）方程x3+x15+A．20212023 B．20232021 C．20231011【思路點撥】由13=121?13【解題過程】解：∵13=121?∴12n?1方程變形得：1即12去分母得：20222023解得：x=故選C．3．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）若關(guān)于x的一元一次方程3x?5m2?x?m3=19的解，比關(guān)于x的一元一次方程﹣2（3x﹣4m）＝1﹣5（xA．2 B．1 C．0 D．﹣1【思路點撥】分別求出方程3x?5m2?x?m3=19的解為x=114+13m7【解題過程】解：3x?5m去分母得：33x?5m去括號得：9x?15m?2x+2m=114，移項得：9x?2x=114+15m?2m，合并得：7x=114+13m，系數(shù)化為1得：x=114+13m?2去括號得：?6x+8m=1?5x+5m，移項得：?6x+5x=1+5m?8m，合并得：?x=1?3m，系數(shù)化為1得：x=3m?1；∵關(guān)于x的一元一次方程3x?5m2?x?m3=19∴114+13m7∴114+13m=21m+98，解得m=2，故選A．4．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的方程x?38?ax3=x2A．?11 B．?26 C．?28 D．?30【思路點撥】先解方程可得x=703+2a（a≠?32），根據(jù)方程的解是負(fù)整數(shù)可得【解題過程】解：解關(guān)于x的方程x?得x=703+2a（a∵關(guān)于x的方程x?38?ax∴703+2a∴2a+3=?1或2a+3=?5或2a+3=?7或2a+3=?35即滿足條件的所有整數(shù)a為-2、-4、-5、-19，∴滿足條件的所有整數(shù)a的值的和為-2+（-4）+（-5）+（-19）＝-30，故答案為：D．5．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）若關(guān)于x的方程2kx+m3=x?nk6+2【思路點撥】先將x=1代入原方程得，根據(jù)無論k為任何數(shù)時(4+n)k=13?2m恒成立，可得k的系數(shù)為0，由此即可求出答案．【解題過程】解：將x=1代入2kx+m3∴2k+m3∴(4+n)k=13?2m，由題意可知：無論k為任何數(shù)時(4+n)k=13?2m恒成立，∴n+4=0，∴n=?4，m=13∴m+n=5故答案為：56．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）對于三個互不相等的有理數(shù)a，b，c，我們規(guī)定符號max{a,b,c}表示a，b，c三個數(shù)中較大的數(shù)，例如max{2,3,4}=4.按照這個規(guī)定則方程【思路點撥】分x<0時，x>0時和x=0時三種情況討論，列出方程求解即可．【解題過程】解：當(dāng)x<0時，max{x,?x,0}=?x即3x?2=?x，解得x=1當(dāng)x>0時，max{x,?x,0}=x即3x?2=x，解得x=1，當(dāng)x=0時，max{x,?x,0}=0即3x?2=0，解得x=2綜上所述，x=1，故答案為：x=1．7．（2022·河北保定·七年級期末）已知關(guān)于x的一元一次方程x2020+a=2020x的解為x=2020，那么關(guān)于y的一元一次方程【思路點撥】方程x2020+a=2020x整理得：x2020方程1?y2020=2020(1?y)+a整理得：1?y2020?2020(1?y)=a，令得到關(guān)于y的一元一次方程可解得答案.【解題過程】根據(jù)題意得：方程x2020+a=2020x該方程的解是：x=2020方程1?y2020=2020(1?y)+a令1?y=n則原方程可以整理得：n則n=?2020，即1?y=?2020解得：y=2021故答案是：20218．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）解關(guān)于x的一元一次方程x1×3【思路點撥】先裂項相消，再根據(jù)一元一次方程的解法求解．【解題過程】解：x1x1x110102021x=4042．9．（2022·上海·七年級專題練習(xí)）解關(guān)于x的方程：（k+1）（k﹣1）x﹣2（k+1）（k+2）＝0．【思路點撥】將k看作已知數(shù)，按一元一次方程的解法步驟求解即可．【解題過程】解：移項，（k+1）（k﹣1）x＝2（k+1）（k+2），當(dāng)k+1≠0，且k﹣1≠0，即當(dāng)k≠±1時，系數(shù)化為1，得x＝2k+1化簡，得x＝2k+4k?1當(dāng)k=1時，方程無解．當(dāng)k=-1時，方程有無數(shù)解．10．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）解方程：|x-【思路點撥】利用絕對值的性質(zhì)，將方程轉(zhuǎn)化為x﹣3x+1＝4或x﹣3x+1＝﹣4，再分情況討論：當(dāng)3x+1＞0時可得到|3x+1|=3【解題過程】解：原方程式化為x-3x+1＝當(dāng)3x+1＞0時，即x＞﹣13由x-x-∴x＝﹣52與x＞﹣1由x-x﹣∴x＝32當(dāng)3x+1＜0時，即x＜﹣13由x-x+3x+1＝∴x＝34與x＜﹣1由x-x+3x+1＝﹣∴x＝﹣54故原方程的解是x＝32或x＝﹣511．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）如果方程3x?42?7=2x+13?1【思路點撥】先解關(guān)于x的方程得出x=10，將其代入方程4x-（3a+1）=6x+2a-1求得a的值，繼而代入計算可得．【解題過程】3x?439x?12?42=4x+2?65x=?4+12+42x=10將x=10代入方程4x?(3a+1)=6x+2a?140-（3a+1）=60+2a-1，解得a=-4．即a2-a+1=（-4）2-（-4）+1=21．12．（2022·江蘇·七年級單元測試）嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程3x?12+＝3時，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)(1)嘉淇猜是2，請解一元一次方程3x?12(2)若老師告訴嘉淇這個方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)是多少？【思路點撥】（1）由題意得方程3x?12（2）設(shè)被污染的正整數(shù)為m，得方程3x?12+m=3，求解得【解題過程】（1）解：3x?12去分母，得3x?1+4=6；移項，合并同類項，得3x=3；系數(shù)化為1，得x=1．（2）解：設(shè)被污染的正整數(shù)為m，則有3x?12解之得，x=7?2m∵7?2m3是正整數(shù)，且m∴m=2．13．（2021·吉林松原·七年級期末）某同學(xué)在解關(guān)于y的方程3y?a4的1乘以12，從而求得方程的解為y＝10．（1）求a的值；（2）求方程正確的解．【思路點撥】（1）按照該同學(xué)去分母的方法得到3(3y?a)?2(5y?7a)=1，把y=10代入方程，再去括號，移項，合并同類項，把系數(shù)化“1”，即可得到答案；（2）把a(bǔ)=1代入原方程，再按照解一元一次方程的步驟解方程即可.【解題過程】解：（1）該同學(xué)去分母時方程右邊的1忘記乘12，則原方程變?yōu)?(3y?a)?2(5y?7a)=1，此時方程的解為y=10，代入得3(30?a)?2(50?7a)=1

整理得：11a=11,解得a=1（2）將a=1代入方程3y?a4得3y?1去分母：3(3y?1)?2(5y?7)=12去括號：9y?3?10y+14=12整理得：?y=1解得y=?1即原方程的解為y=?114．（2022·湖北省直轄縣級單位·七年級期末）一題多解是培養(yǎng)發(fā)散思維的重要方法，方程“6(4x?3)+2(3?4x)=3(4x?3)+5”可以有多種不同的解法．(1)觀察上述方程，假設(shè)y=4x?3，則原方程可變形為關(guān)于y的方程：_________，通過先求y的值，從而可得x=_____；(2)利用上述方法解方程：3(x?1)?1【思路點撥】（1）把原方程化為6(4x?3)?2(4x?3)=3(4x?3)+5，再把y=4x?3整體代入求解y，再求解x即可；（2）把原方程整理為：3(x?1)?13(x?1)=2(x?1)?12(x?1+2)，設(shè)x?1=y,則原方程化為：【解題過程】(1)解：設(shè)y=4x?3，則原方程可變形為6y?2y=3y+5,解得：y=5,∴4x?3=5,解得：x=2.故答案為：6y?2y=3y+5,2(2)解：3(x?1)?設(shè)x?1=y,則原方程化為：3y?1去分母得：18y?2y=12y?3(y+2),整理得：y=?6∴x?1=?6解得：x=15．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）解關(guān)于x的方程x3（13+1因為13所以方程的解：x＝0．請按這種方法解下列方程：(1)x?13(2)x?232【思路點撥】（1）利用乘法的分配律得到（x﹣1）(1（2）先變形為x?272【解題過程】（1）解：∵（x﹣1）(1∴x﹣1＝0，∴x＝1；（2）解：∵x?232∴x?232∴x?232即x?272∴（x﹣27）(1∴x﹣27＝0，∴x＝27．16．（2022·河南·南陽市第九中學(xué)校七年級階段練習(xí)）仔細(xì)觀察下面的解法，請回答為問題．解方程：3x?12解：15x﹣5＝8x+4﹣1，15x﹣8x＝4﹣1+5，7x＝8，x=7(1)上面的解法錯誤有處．(2)若關(guān)于x的方程3x?12=4x+25＋a，按上面的解法和正確的解法得到的解分別為x1，x【思路點撥】（1）找出解方程中錯誤的地方即可；（2）利用錯誤的解法與正確的解法求出x1，x2，根據(jù)題意確定出【解題過程】（1）解：正確解法為：3x?12去分母得，15x﹣5＝8x+4﹣10，移項得，15x﹣8x＝4﹣10+5，合并同類項得，7x＝﹣1，系數(shù)化為1得，x=?1可知上面的解法錯誤有2處；故答案為：2；（2）3x?12=錯誤解法為：15x﹣5＝8x+4+a，移項得：15x﹣8x＝4＋a+5，合并同類項得：7x＝9+a，解得：x=79+a，即x1正確解法為：去分母得：15x﹣5＝8x+4+10a，移項合并得：7x＝9+10a，解得：x=9+10a7，即x2根據(jù)題意得：x2?由9a7為非零整數(shù)，得到|a|最小值為717．（2021·江蘇·蘇州市相城區(qū)陽澄湖中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知，對于任意的有理數(shù)a、b、c、d，我們規(guī)定了一種運算：|a?bc?d|＝ad﹣bc【思路點撥】由新定義得3（2x+1）﹣（﹣4）（x﹣1）＝19，解一元一次方程即可．【解題過程】解：∵|abcd|＝ad﹣bc∴3（2x+1）﹣（﹣4）（x﹣1）＝19，∴6x+3+4x﹣4＝19，∴10x＝20，∴x＝2．18．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）航天創(chuàng)造美好生活，每年4月24日為中國航天日．學(xué)習(xí)了一元一次方程以后，小悅結(jié)合中國航天日給出一個新定義：若x0是關(guān)于x的一元一次方程的解，y0是關(guān)于y的方程的一個解，且x0，y0滿足x0+y0=424，則關(guān)于y的方程是關(guān)于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程4x=5x?400的解是x=400，方程y=24的解是y=24或y=?24，當(dāng)y=24時，滿足(1)試判斷關(guān)于y的方程y?1=20是否是關(guān)于x的一元一次方程x+403=2x(2)若關(guān)于y的方程y?1?3=13是關(guān)于x的一元一次方程x?2x?2a3【思路點撥】（1）根據(jù)新定義的概念進(jìn)行分析計算；（2）分別求得兩個方程的解，然后根據(jù)新定義概念分情況討論求解．【解題過程】解：（1）是，理由如下：x+403=2x，解得：x=403，y?1=20，解得：y=21或y=?19∵403+21=424，∴關(guān)于y的方程y?1=20是關(guān)于x的一元一次方程x+403=2x（2）x?2x?2a解得：x=4a+3，y?1?3=13解得：y=17或y=?15，∵關(guān)于y的方程y?1?3=13是關(guān)于x的一元一次方程x?①當(dāng)4a+3+17=424時，解得：a=101；②當(dāng)4a+3?15=424時，解得：a=109，綜上，a的值為101或109．19．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b為常數(shù)），若這個方程的解恰好為x＝a﹣b，則稱這個方程為“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解為x＝﹣2，恰好為x＝2﹣4，則方程2x+4＝0為“恰解方程”．(1)已知關(guān)于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，則k的值為；(2)已知關(guān)于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解為x＝n（n≠0）．求m，n的值；(3)已知關(guān)于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代數(shù)式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．【思路點撥】（1）利用“恰解方程”的定義，得出關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；（2）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣12（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再結(jié)合x＝n，即可求出m，n（3）根據(jù)“恰解方程”的定義得出mn+n＝?92，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5【解題過程】（1）解：（1）解方程3x+k＝0得：x＝﹣k3∵3x+k＝0是“恰解方程”，∴x＝3﹣k，∴﹣k3＝3﹣k解得：k＝92（2）解：解方程﹣2x＝mn+n得：x＝﹣12（mn+n∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，∴x＝﹣2+mn+n，∴﹣12（mn+n）＝﹣2+mn+n∴3mn+3n＝4，∵x＝n，∴﹣2+mn+n＝n，∴mn＝2，∴3×2+3n＝4，解得：n＝﹣23把n＝﹣23代入mn＝2得：m×（﹣2解得：m＝﹣3；（3）解：解方程3x＝mn+n得：x＝mn+n3∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，∴x＝3+mn+n，∴mn+n3＝3+mn+n∴mn+n＝?9∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n＝2mn+2n＝2（mn+n）＝2×（?9＝﹣9．20．（2022·福建福州·七年級期末）定義：若關(guān)于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解與關(guān)于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解滿足|x﹣y|＝m（m為正數(shù)），則稱方程ax+b＝0（a≠0）與方程cy+d＝