線性代數(shù)課后部分習(xí)題答案

習(xí)題1.11.求解方程組：（1）將其代入第一個(gè)方程可得：（2）將其代入第一個(gè)方程可得：（3）故該方程組是矛盾，無解。（4）故該方程組有無窮多組解。2.求解方程組（1）將第一個(gè)方程的倍加到第二、第三個(gè)方程可得：（2）將第三個(gè)方程與第一個(gè)方程交換一下位置，然后把第一個(gè)方程的倍加到第三個(gè)方程，把第一個(gè)方程的倍加到第二個(gè)方程可得：習(xí)題1.21.計(jì)算下列排列的逆序數(shù)：（1）的逆序數(shù)為（2）的逆序數(shù)為（3）的逆序數(shù)為（4）的逆序數(shù)為（5）的逆序數(shù)為（6）的逆序數(shù)為（7）的逆序數(shù)為（8）的逆序數(shù)為2.選擇和使：（1）的逆序數(shù)為偶數(shù)（2）的逆序數(shù)為奇數(shù)解：（1）的逆序數(shù)為偶數(shù)，由題意可知，和應(yīng)在和中選值使得該排列的逆序數(shù)為偶數(shù)。又因?yàn)榈哪嫘驍?shù)為12，故應(yīng)選擇（2）的逆序數(shù)為奇數(shù)，由題意可知，和應(yīng)在和中選值使得該排列的逆序數(shù)為奇數(shù)。又因?yàn)榕帕械哪嫘驍?shù)為故應(yīng)選擇3.寫出把排列變成的所需的最少對換步驟。解：排列的逆序數(shù)為為奇排列，而排列為偶排列，故將排列變成只需奇數(shù)次變換。顯然變換一次是不可能把排列變成。再采用三次變換，即可將排列變成習(xí)題1.31.判讀下列乘積是否是階行列式的項(xiàng)；若是，試確定該項(xiàng)的符號。（1）（2）解：（1）將的按照第一個(gè)指標(biāo)自然排列，然后把第二指標(biāo)取出，可得第二指標(biāo)為：其逆序數(shù)為如果該項(xiàng)要為階行列式的項(xiàng)，則應(yīng)該添加負(fù)號.（2）將的按照第一個(gè)指標(biāo)自然排列，然后把第二指標(biāo)取出，可得第二指標(biāo)為：其逆序數(shù)為則該項(xiàng)可以為階行列式的項(xiàng)，無需添加負(fù)號.2.寫出階行列式中所有滿足條件的項(xiàng)。（1）包含和（2）包含解：（1）（2）為的全排列，為的逆序數(shù)。故階行列式中包含的項(xiàng)共有六項(xiàng)，分別為：3.按定義計(jì)算下列行列式（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）4.化下列行列式為多項(xiàng)式（1）解：（2）解：5.現(xiàn)有行列式：觀察行列式展開式中的系數(shù)，并說明理由。觀察取哪些值時(shí)該行列式為并由此得到該行列式的展開式。解：6.根據(jù)4題特點(diǎn)快速化簡下列行列式解：依次將第一行的負(fù)一倍分別加到第二行，第三行，一直到最后一行可得：7.證明：解：8.計(jì)算下列行列式（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：9.證明：（1）證明：（2）證明：（3）證明：習(xí)題1.41.現(xiàn)有行列式：（1）計(jì)算（2）求解：2.計(jì)算下列行列式：（1）解：按第一行展開可得：對上述兩個(gè)三階行列式分別按第三行展開可得：（2）解：按第一行展開可得：再按第三行展開可得：（3）解：（4）解：（5）解：行列式按第二行元素展開得：3.現(xiàn)有行列式：（1）求（2）求解：4.證明：證明：行列式按照第一行元素展開可得：即：進(jìn)一步變形可得：遞推可得：習(xí)題1.5略。習(xí)題2.11.矩陣是一個(gè)數(shù)表，而行列式是一個(gè)數(shù)值或表達(dá)式。矩陣的行數(shù)和列數(shù)可以不相等，而行列式的行數(shù)和列數(shù)必須相等。2.（1）其中是的任意一全排列，表示行排列逆序數(shù)。（2）（3）（4）3.習(xí)題2.21.計(jì)算下列各題：（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：2.設(shè)求解：3.設(shè)且滿足求解：4.計(jì)算解：5.設(shè)求提示解：6.設(shè)求解：猜想7.已知設(shè)其中為的轉(zhuǎn)置，求解：8.設(shè)矩陣為正整數(shù)，求解：9.設(shè)其中為三階可逆矩陣，求解：又因?yàn)樗杂校嚎傻茫?0.設(shè)其中證明與可交換的矩陣只能是對角矩陣。證明：任何對角矩陣顯然與矩陣可交換，反之，設(shè)與矩陣可交換，則由可得：比較對應(yīng)元素，得由題意可知所以，即矩陣為對角矩陣。11.證明下列等式：（1）(2)證明：（1）(2)12.設(shè)是階反對稱矩陣，是階對稱矩陣，證明：（1）為對稱矩陣，（2）是階反對稱矩陣，（3）是反對稱矩陣的充要條件是證明：（1）所以為對稱矩陣。（2）所以是階反對稱矩陣。（3）設(shè)是反對稱矩陣且是階反對稱矩陣，是階對稱矩陣，則設(shè)且是階反對稱矩陣，是階對稱矩陣，則所以是反對稱矩陣。13.設(shè)為階方陣，且為對稱矩陣，證明：為對稱矩陣。解：又因?yàn)闉殡A方陣，且為對稱矩陣，所以有即：為對稱矩陣。14.已知其中求解：因?yàn)樗钥赡?。又可得又且故?xí)題2.31.已知是階方陣，則下列結(jié)論中正確的是（C）。A.B.C.D.2.設(shè)矩陣滿足求解：又因?yàn)楣仕?.設(shè)是三階方陣，且滿足若求解：又因?yàn)樗运?.設(shè)均為3維列向量，記矩陣假設(shè)求解：5.設(shè)求解：因?yàn)樗?.設(shè)為三階方陣，求解：因?yàn)樗?.設(shè)為3階方陣，為的伴隨矩陣，且，求.解：因?yàn)樗?.設(shè)階方陣滿足關(guān)系式證明可逆，并求其逆。解：因?yàn)楣使士赡?，逆為?.設(shè)階方陣滿足證明可逆，并求其逆。解：因?yàn)殡A方陣滿足故有即故可逆，其逆為：10.設(shè)矩陣求矩陣的逆。解：由題意可知，矩陣所以可得：又因?yàn)?1.設(shè)其中求當(dāng)矩陣為可逆矩陣時(shí)，應(yīng)當(dāng)滿足什么條件。解：因?yàn)楣视忠驗(yàn)榫仃嚍榭赡婢仃?，則有即當(dāng)矩陣為可逆矩陣時(shí)，應(yīng)當(dāng)滿足12.設(shè)矩陣均可逆，證明：也可逆，并求其逆矩陣。解：因?yàn)橛志仃嚲赡妫赡?，即也可逆?3.設(shè)為階可逆矩陣，證明：并求出解：因?yàn)橛智覍⑵浯肷鲜娇傻茫毫?xí)題2.41.解下列矩陣方程（1）解：所以(2)解：所以(3)解：由題意可知，上式兩端左乘可得：即：則(4)解：(5)解：2.已知且其中是三階單位矩陣，求矩陣解：由又因?yàn)橛贸醯茸儞Q求其逆為：所以3.設(shè)均為三階方陣，且滿足其中求矩陣4.設(shè)均為三階方陣，且滿足求（1）證明可逆，（2）若求矩陣解：（1）因?yàn)榭傻盟跃仃嚳赡?。?）由第一問可知，又所以則5.已知矩陣的伴隨矩陣為且滿足求矩陣解：由又因?yàn)榭梢姙榭赡婢仃?，由可?即6.設(shè)矩陣矩陣滿足其中為矩陣的伴隨矩陣，求矩陣解：由即由題意可知可得：所以7.設(shè)矩陣矩陣滿足求矩陣解：因?yàn)樗跃仃嚳赡?，又于是故可將題設(shè)簡化為：在上式左右兩端分別左乘右乘可得：即8.求解矩陣方程其中解：由又所以不可逆，只能用待定系數(shù)法求解，令故可得：所以為任意常數(shù)。9.設(shè)當(dāng)為何值時(shí)，存在矩陣使得并求所有矩陣解：設(shè)又因?yàn)樗钥傻茫杭纯傻梅匠探M：由題意可知存在這樣得矩陣即是上式方程組有解，故對其增廣給矩陣進(jìn)行初等行變換可得：方程組有解，就必須有此時(shí)存在矩陣使得當(dāng)時(shí)，增廣矩陣為：其中為自由未知量?？汕蟮梅匠探M得通解為：其中為任意常數(shù)。故矩陣10.設(shè)可逆，且求（1）證明矩陣可逆，（2）若求矩陣解：（1）因?yàn)樗钥傻盟跃仃嚳赡妫淠鏋椋?）由第一問可知，又因?yàn)樗粤?xí)題2.51.計(jì)算下列各題：（1）解：所以（2）解：又因?yàn)?.求下列矩陣的逆矩陣：（1）解：又因?yàn)樗裕?）解：又所以3.設(shè)求解：所以矩陣不可逆。又4.設(shè)為矩陣，把按列分塊為其中為的第列，求：（1）（2）解：因?yàn)闉榫仃?，則5.設(shè)都可逆，求矩陣的逆矩陣，其中解：6.設(shè)分別為階和階可逆矩陣。求下列分塊矩陣的逆矩陣：（1）(2)(3)(4)解：設(shè)從而可得：所以同理可以求解另外三個(gè)矩陣的逆矩陣。習(xí)題3.11.用初等行變換，將下列矩陣化為行階梯形和行最簡階梯形。（1）解：行階梯形為：行最簡階梯形為：（2）解：行階梯形為：行最簡階梯形為：（3）解：行階梯形為：行最簡階梯形為：（4）解：行階梯形為：行最簡階梯形為：2.把下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。（1）解：（2）解：標(biāo)準(zhǔn)形為：（3）解：（4）解：3.計(jì)算下列矩陣：（1）解：（2）解：（3）解：4.用初等變換法判斷下列矩陣是否可逆，如果可逆，求其逆矩陣。（1）解：由上式可知矩陣可逆，其逆為：（2）解：由上式可知矩陣可逆，其逆為：（3）解：由上式可知矩陣可逆，其逆為：5.利用初等變換求解下列矩陣方程：（1）設(shè)求使得成立。解：由題意可知故可得解為：（2）設(shè)求使得成立。解：由題意可知，又可得解為：（3）設(shè)求解：因?yàn)樗杂?.設(shè)矩陣求矩陣使得成立,其中為三階單位矩陣。解：因?yàn)?，所以有又因?yàn)榫仃囁约?.將可逆矩陣分解為初等矩陣的乘積。解：即故8.求矩陣的逆矩陣。解：9.設(shè)求可逆矩陣使為矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。解：令則習(xí)題3.21.求下列矩陣的秩，并求出一個(gè)最高階非零子式：（1）解：故秩為三。（2）解：故秩為三。（3）解：故秩為二。（4）解：故秩為四。2.已知矩陣的秩為求的值，其中解：又因?yàn)榫仃嚨闹葹樗?.對于的不同取值，討論矩陣的秩，其中（1）解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（3）解：所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（4）解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且時(shí)，4.設(shè)是矩陣，且的秩為而求解：因?yàn)樗怨示仃嚍榭赡婢仃?。又因?yàn)槭蔷仃?，且的秩為為可逆矩陣，所?.設(shè)矩陣是秩為的階方陣，證明：（1）（2）解：略。6.設(shè)矩陣是二階方陣，且矩陣證明：證明：因?yàn)榫仃囀嵌A方陣，且所以又因?yàn)樗匀粲煽傻门c題設(shè)矛盾，故即同理可得7.設(shè)階方陣滿足且可逆，證明：證明：因?yàn)橛忠驗(yàn)榭赡妫杂忠驗(yàn)橛忠驗(yàn)榭赡?，所以所以有?xí)題3.31.用初等變換法求解下列齊次線性方程組：（1）解：則對應(yīng)的同解方程為：通解為：為任意常數(shù)。（2）解：所以對應(yīng)的同解方程的解為：（3）解：則對應(yīng)的同解方程為：通解為：為任意常數(shù)。（4）解：則對應(yīng)的同解方程為：通解為：為任意常數(shù)。2.用初等變換法求解下列非齊次線性方程組：（1）解：所以對應(yīng)的同解方程的解為：（2）解：所以該方程組無解。（3）解：所以對應(yīng)的同解方程的解為：（4）解：所以該方程組無解。3.給定如下線性方程組：當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組無解、有唯一解、有無窮多組解，在有解時(shí)，求出其解。解：當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組有唯一解，其解為：當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組無解。當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組有無窮解。則對應(yīng)的同解方程為：通解為：為任意常數(shù)。4.取何值時(shí)，下列非齊次線性方程組有唯一解、無解、無窮多組解，并在無窮多組解時(shí)，求出其解。（1）（2）解：（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組有無窮解，此時(shí)方程組的解為：為任意常數(shù)。當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組無解，當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組有唯一解。（2）當(dāng)或者時(shí)，此時(shí)方程組無解，當(dāng)時(shí)，則對應(yīng)的同解方程為：通解為：為任意常數(shù)。當(dāng)時(shí)，則對應(yīng)的同解方程為：通解為：為任意常數(shù)。5.設(shè)其中是三階非零矩陣，求的值。解：因?yàn)槠渲惺侨A非零矩陣，所以否則與是三階非零矩陣矛盾。所以習(xí)題4.11.2.3.4.（1）（2）（3）5.習(xí)題4.21.已知向量組將用線性表示。解：得解：故2.設(shè)有向量組若不能由線性表示，求的值。解：因?yàn)椴荒苡删€性表示，可得時(shí)，3.設(shè)有向量組試求：（1）為何值時(shí)，不能由線性表示。（2）為何值時(shí)，能由線性表示且表示唯一。（3）為何值時(shí)，能由線性表示，但表示不唯一。解：（1）時(shí)，不能由線性表示。（2）時(shí)，能由線性表示且表示唯一。（3）時(shí)，能由線性表示，但表示不唯一。4.若能由線性表示且表示唯一，求的值。解：又因?yàn)槟苡删€性表示且表示唯一，所以故且時(shí)，能由線性表示且表示唯一。5.已知兩向量組為求常數(shù)使得向量組可由向量組線性表示，但向量組不能由向量組線性表示。解：由題意可知向量組可由向量組線性表示，但向量組不能由向量組線性表示?？傻们矣之?dāng)時(shí)，由題意可知，向量組可由向量組線性表示，但向量組不能由向量組線性表示。6.當(dāng)為何值時(shí)，下列向量組線性無關(guān)：（1）（2）解：（1）因?yàn)橄蛄拷M線性無關(guān)，故所以不同時(shí)為零。即7.設(shè)是一組維列向量，是階矩陣，如果有證明向量組線性無關(guān)。證明：設(shè)有一組數(shù)使得由題意，可知以左乘可得因?yàn)樗钥傻靡来晤愅?，可得因此向量組線性無關(guān)。8.設(shè)是一組維列向量，是階可逆矩陣，且有證明向量組線性無關(guān)。解：設(shè)有一組數(shù)使得以左乘上式兩端，再由可得又因?yàn)槭请A可逆矩陣，所以所以有因此向量組線性無關(guān)。9.設(shè)為個(gè)線性無關(guān)的維列向量，分別是與均正交的維列向量，證明線性相關(guān)。解：設(shè)則為矩陣，且由已知有即這說明是齊次線性方程組的兩個(gè)解向量，但是可知，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為故線性相關(guān)。10.設(shè)是階矩陣，是階可逆矩陣，若證明的任意個(gè)列向量與中對應(yīng)的個(gè)列向量有相同的線性相關(guān)性。解：將矩陣按列分塊為因?yàn)樗栽诰仃囍腥魏蝹€(gè)向量于是有可簡記為因?yàn)槭请A可逆矩陣，所以又線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)因此，線性無關(guān)的充分必要條件為也即是線性無關(guān)。11.設(shè)向量組線性無關(guān)，且證明向量組線性無關(guān)。解：設(shè)有一組數(shù)使得則由向量組線性無關(guān)，得線性方程組其系數(shù)行列式為：所以齊次線性方程組只有零解，即故向量組線性無關(guān)。習(xí)題4.31.設(shè)是矩陣，是矩陣，則BA．當(dāng)時(shí)，必有；B.當(dāng)時(shí)，必有C．當(dāng)時(shí)，必有；D.當(dāng)時(shí)，必有提示：因是矩陣，當(dāng)時(shí)，2.設(shè)四階矩陣為四維列向量，若，則行列式40提示：3.設(shè)為階方陣，且證明解：設(shè)為階方陣，且所以設(shè)則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系個(gè)數(shù)為即故4.設(shè)為階方陣，且證明解：設(shè)為階方陣，且所以設(shè)則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系個(gè)數(shù)為即故5.求下列向量組的秩，并分別求其一個(gè)極大無關(guān)組：（1）解：所以是它的的一個(gè)極大線性無關(guān)組。（2）解：所以是它的極大線性無關(guān)組。（3）解：所以是它的一個(gè)極大線性無關(guān)組。6.已知向量組和向量組分別為：若它們具有相同的秩，且可由線性表示，求解：已知向量組和向量組具有相同的秩，而故可得從而有又因?yàn)榭捎删€性表示，即所以由可得7.已知向量組和向量組分別為：若它們具有相同的秩，且可由線性表示，求解：已知向量組和向量組具有相同的秩，而故可得從而有又因?yàn)榭捎删€性表示，由可得從而8.設(shè)向量組（1）為何值時(shí)，該向量組線性無關(guān)？（2）為何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？并在此時(shí)求出它的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組。解：（1）向量組的行列式為：要使向量組線性無關(guān)，則系數(shù)行列式不能為零，即時(shí)，向量組線性無關(guān)。（2）當(dāng)時(shí)，故向量組線性相關(guān)，對向量組進(jìn)行初等行變換可得：由上式可知，為一個(gè)極大線性無關(guān)組，其秩為：9.設(shè)向量組求為何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？并在此時(shí)求出它的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示。解：記則當(dāng)或時(shí)，向量組是線性相關(guān)的。當(dāng)時(shí)，為的一個(gè)極大線性無關(guān)組，且有當(dāng)時(shí)，對進(jìn)行初等行變換，有所以為的一個(gè)極大線性無關(guān)組，且有習(xí)題4.4 1.求下列向量間的夾角：（1）解：（2）解：2.試用施密特正交化方法將下列向量組正交化:（1）解：再將其單位化，可得：（2）解：再將其單位化，可得：3.設(shè)求非零向量滿足為正交向量組。解：設(shè)又非零向量滿足為正交向量組。所以有求解線性方程組：4.已知向量與均正交，求向量解：已知向量與均正交，設(shè)求解線性方程組故為任意常數(shù)。5.判斷下列矩陣是否為正交矩陣：（1）解：故不是正交矩陣。（2）解：故不是正交矩陣。6.若常數(shù)使得下列矩陣分別為正交矩陣，則求的值。（1）解：所以滿足下列條件（2）解：因?yàn)樗詿o論取何值都不能使得矩陣為正交矩陣。7.設(shè)為正交矩陣，證明矩陣均為正交矩陣。解：因?yàn)闉檎痪仃?，所以有進(jìn)一步可得：所以可得矩陣均為正交矩陣。8.設(shè)為實(shí)對稱矩陣，且滿足證明：矩陣也為正交矩陣。解：設(shè)為實(shí)對稱矩陣，且滿足所以有又因?yàn)闉閷?shí)對稱矩陣，所以故上式可簡寫為：所以矩陣也為正交矩陣。習(xí)題4.5略。習(xí)題5.11.用克萊姆法則求解下列方程組：（1）解：由克拉默法則可知，其解為：（2）解：由克拉默法則可得其解為：（3）解：略。2.已知齊次線性方程組有非零解，求的值。解：又因?yàn)橛蟹橇憬?，則有所以可得：時(shí)方程組有非零解。3.已知齊次線性方程組有非零解，求的值。解：所以當(dāng)時(shí)，線性方程組有非零解。4.線性方程組有唯一解的條件是什么？并求唯一解。解：又故當(dāng)時(shí)方程組有唯一解。5.已知齊次線性方程組有非零解，其中為常數(shù)，求的值。解：所以或習(xí)題5.21.求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解：（1）解：與原方程組同解的方程組為：故通解為：為任意常數(shù)（2）解：與原方程組同解的方程組為：故通解為：為任意常數(shù)。（4）解：與原方程組同解的方程組為：故通解為：為任意常數(shù)3.設(shè)有齊次線性方程組試求為何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解。解：對方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換，可得當(dāng)時(shí)，故方程組有非零解，其同解方程組為：由此得出其基礎(chǔ)解系為：其通解為：為任意常數(shù)。當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，故方程組也有非零解，其同解方程組為：可得其通解為：為任意常數(shù)。4.設(shè)矩陣(1)求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。(2)求滿足的所有矩陣解：（1）對系數(shù)矩陣實(shí)施初等行變換可得：則方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：（2）對實(shí)施初等行變換可得：記則的通解為：為任意常數(shù)。的通解為：為任意常數(shù)。的通解為：為任意常數(shù)。于是，所求矩陣為：為任意常數(shù)。5.設(shè)矩陣是階，它的個(gè)行向量是某個(gè)元齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系，是一個(gè)階可逆矩陣，證明：的行向量組也構(gòu)成該齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系。解：因?yàn)榫仃囀请A，它的個(gè)行向量是某個(gè)元齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系，所以的行向量組線性無關(guān)，即又設(shè)該線性方程組為則因?yàn)榭赡妫杂值木仃?，所以行向量組線性無關(guān)。設(shè)則即的各行均為的行向量組的線性組合，而的行向量組為線性方程組為的基礎(chǔ)解系，所以的行向量組也滿足前面已經(jīng)證明故構(gòu)成線性方程組的基礎(chǔ)解系。6.設(shè)線性方程組與方程有公共解，求的值以及所有的公共解。解：因?yàn)閮蓚€(gè)方程組有公共解，聯(lián)立兩個(gè)方程組得到新的方程組：對其增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，可得：因?yàn)榉匠探M有解，故系數(shù)矩陣得秩應(yīng)該等于增廣矩陣得秩，所以得：即或者當(dāng)時(shí)，其通解為：為任意常數(shù)。當(dāng)時(shí)，其解為：習(xí)題5.31.求下列非齊次線性方程組的通解：（1）解：與原方程組同解的方程組為：故通解為：為任意常數(shù)。（2）解：原方程組的同解方程組為：故通解為：為任意常數(shù)。（3）解：與原方程組同解的方程組為：故通解為：為任意常數(shù)。（4）解：與原方程組同解的方程組為：故通解為：為任意常數(shù)。2.已知是線性方程組的解，求方程組的通解。解：由系數(shù)矩陣中有一個(gè)二階非零子式，故又是齊次線性方程組的兩個(gè)線性無關(guān)解，而有即從而可得所以方程組的通解為：為任意常數(shù)。3.已知非齊次線性方程組有三個(gè)線性無關(guān)解。（1）證明方程組系數(shù)矩陣的秩等于（2）求的值以及方程組的通解。解：（1）設(shè)是該線性方程組的三個(gè)線性無關(guān)解，則是對應(yīng)的齊次線性方程組的兩個(gè)線性無關(guān)解，因而即又因?yàn)橄禂?shù)矩陣有一個(gè)二階子式于是從而可得（2）因?yàn)楣士傻玫酱藭r(shí)增廣矩陣為：可得方程組的通解為：為任意常數(shù)。4.設(shè)（1）求矩陣的行列式。（2）已知線性方程組有無窮多解，求的值以及的通解。解：（1）（2）已知線性方程組有無窮多解，故可得當(dāng)時(shí)，因?yàn)楣示€性方程組無解，不合題意，舍去。當(dāng)時(shí)，可得方程組的通解為：為任意常數(shù)。5.設(shè)非齊次線性方程組與同解，求的值。解：可求出方程組的一個(gè)特解為：由于兩個(gè)方程組同解，故也滿足第一個(gè)方程組，將其代入第一個(gè)方程組可得：驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)方程組有相同的解，其通解為：為任意常數(shù)。6.已知求（1）取何值時(shí)，不能由線性表示。（2）取何值時(shí)，可由線性表示，并寫出表達(dá)式。解：（1）設(shè)有常數(shù)使得則有方程組對方程組的增廣矩陣實(shí)施初等行變換可得：所以當(dāng)時(shí)，方程組無解，從而不能由線性表示。（2）當(dāng)時(shí)，方程組有解，從而能由線性表示。若時(shí)，原方程組可變?yōu)榭傻梅匠探M的通解為：從而為任意常數(shù)。若若時(shí)，可得方程組的解為：從而7.設(shè)一個(gè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，是的解，且求的通解。解：因?yàn)槭堑慕?，且所以是齊次線性方程組的解。又因?yàn)樗脑驱R次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，故其對應(yīng)的齊次線性方程組的秩也為三，其對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為一個(gè)，所以可得的通解：為任意常數(shù)。8.設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解，是其對應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：（1）向量組線性無關(guān)。（2）向量組線性無關(guān)。解：（1）設(shè)有常數(shù)使得在上式兩端同時(shí)左乘矩陣可得：又由已知條件可知是其對應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，故可得到：再將代入可得：又是其對應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，故是線性無關(guān)，可知從而有向量組線性無關(guān)。（2）設(shè)有常數(shù)使得整理可得：由第一問可得：進(jìn)一步有故向量組線性無關(guān)。習(xí)題6.11.若矩陣滿足求的特征值。解：設(shè)是矩陣的特征值，則是矩陣的特征值，又題意可知，即為零矩陣，其特征在全為零，所以可得：即或者2.已知四階方陣又知不可逆，求的一個(gè)特征值。解：略。3.已知三階矩陣的特征值為求矩陣的特征值，其中為三階單位矩陣。解：因?yàn)槿A矩陣的特征值為所以矩陣的特征值分別為：4.設(shè)為四階矩陣，伴隨矩陣的特征值為求矩陣的特征值。解：因?yàn)樗跃仃嚳赡妗ＴO(shè)是矩陣的特征值，則伴隨矩陣的特征值為于是有所以矩陣的特征值為：5.設(shè)階矩陣的元素全為求矩陣的個(gè)特征值。解：由故矩陣的個(gè)特征值分別為：6.求下列矩陣的特征值和特征向量：（1）（2）（3）解：故特征值為：將代入可得：求解該方程組，可得基礎(chǔ)解系為：所以矩陣的屬于特征值的全部特征向量為為任意常數(shù)。將代入可得：求解該方程組，可得基礎(chǔ)解系為：所以矩陣的屬于特征值的全部特征向量為為任意常數(shù)。將代入可得：求解該方程組，可得基礎(chǔ)解系為：所以矩陣的屬于特征值的全部特征向量為為任意常數(shù)。7.已知三階對稱矩陣的一個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量且矩陣的主對角線上元素全為零，求矩陣解：設(shè)矩陣則由可得：求解上面方程組可得：，進(jìn)一步求解可得：故矩陣8.設(shè)三階矩陣滿足其中列向量求矩陣解：由題意可知三階矩陣滿足可得又所以進(jìn)一步求得9.設(shè)矩陣的特征值求參數(shù)的值。解：因?yàn)榫仃嚨奶卣髦邓月?lián)立求解上面兩個(gè)式子可得：10.設(shè)矩陣其行列式又的伴隨矩陣有一個(gè)特征值屬于的一個(gè)特征向量為求的值。解：因?yàn)榍宜詫⒋?，可得即由此可得：由一、三式可得將代入第一、二個(gè)方程，可得由即所以可求得11.設(shè)矩陣滿足證明矩陣可逆。解：因?yàn)榫仃嚌M足故矩陣矩陣的特征值只能是從而矩陣的特征值只能是或所以可得矩陣可逆。12.已知三階矩陣的特征值為設(shè)矩陣求矩陣行列式以及解：由特征值的性質(zhì)可知矩陣的特征值為：因此矩陣行列式為：由特征值的性質(zhì)可得，的特征值為：所以習(xí)題6.21.若矩陣與相似，求解：利用兩相似矩陣的跡相等和行列式相等，得方程組求解該線性方程組可得其解為：2.已知矩陣與相似，求其中解：由矩陣與相似，則存在可逆矩陣使得故3.若四階矩陣與相似，矩陣的特征值為求行列式解：因?yàn)樗碾A矩陣與相似，所以矩陣與有相同的特征值，即矩陣的特征值為由特征值的性質(zhì)可得的特征值為進(jìn)一步可得的特征值為所以4.判斷下列矩陣是否可對角化：（1）解：可得是的三重特征值。又從而可知對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量只有一個(gè)，所以該矩陣不能對角化。（2）解：其特征值為又從而可知對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量有兩個(gè)，所以該矩陣能對角化。5.設(shè)矩陣若相似，求的值以及求可逆矩陣使得解：略。6.設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根，求的值，并討論矩陣是否可相似對角化。解：矩陣的特征多項(xiàng)式為：若是特征方程的二重根，則由可解得當(dāng)時(shí)，矩陣的特征值為故對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量有兩個(gè)，從而矩陣是可相似對角化。若不是特征方程的二重根，則為完全平方，從而可求得當(dāng)時(shí)，矩陣的特征值為故對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè)，從而矩陣是不可相似對角化。7.設(shè)矩陣已知矩陣與對角矩陣相似，求的值。解：矩陣的特征多項(xiàng)式為：可得特征值為已知矩陣與對角矩陣相似，故對應(yīng)于應(yīng)有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，因此矩陣的秩應(yīng)為從而有解得8.設(shè)矩陣相似，且求的值以及求可逆矩陣使得解：矩陣的特征多項(xiàng)式為：因?yàn)榫仃嚨奶卣髦禐橛志仃囅嗨疲示仃囉邢嗤奶卣髦?，即矩陣的特征值為由于是二重特征根，故是的根。于是可得到因此，可得對于時(shí)，解其基礎(chǔ)解系為對于時(shí)，解其基礎(chǔ)解系為設(shè)則9.設(shè)矩陣當(dāng)為何值時(shí)，存在可逆矩陣使得為對角矩陣？并求出和相應(yīng)的對角矩陣。解：可得特征值為對于時(shí)，有當(dāng)對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量為：對于時(shí)，有當(dāng)對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量為：所以存在可逆矩陣使得10.設(shè)矩陣有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，是的二重特征值，其中求可逆矩陣使得為對角矩陣。解：因?yàn)榫仃囉腥齻€(gè)線性無關(guān)的特征向量，是的二重特征值，所以的屬于的線性無關(guān)的特征向量有兩個(gè)，故經(jīng)過初等行變換所以可得于是矩陣的特征多項(xiàng)式為：解得其特征值為對于時(shí)，解有對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量為：對于時(shí)，解有對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量為：設(shè)則11.設(shè)矩陣求解：先把矩陣相似對角化，由解得其特征值為對于時(shí)，解得其基礎(chǔ)解系為對于時(shí)，解得其基礎(chǔ)解系為設(shè)則于是所以12.設(shè)矩陣求解：又從而所以習(xí)題6.31.求正交陣使為對角矩陣。（1）解：略。（2）解：解得其特征值為對于時(shí)，解得其基礎(chǔ)解系為對于時(shí)，解得其基礎(chǔ)解系為利用施密特正交化方法，把正交化，則再把單位化，可得：則2.設(shè)求可逆矩陣使并計(jì)算行列式解：解得其特征值為對于可得對應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量對于可得對應(yīng)的特征向量令矩陣則3.設(shè)矩陣（1）已知的一個(gè)特征值為求（2）求矩陣使為對角矩陣。解：（1）將代入解得于是有（2）由得又的特征值為對于對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量正交單位化后得對于對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量經(jīng)過單位化后，得則4.設(shè)三階實(shí)對稱矩陣的秩為是的二重特征值。若都是的屬于特征值的特征向量。求的另一特征值和對應(yīng)的特征向量以及矩陣解：三階實(shí)對稱矩陣的秩為是的二重特征值，故屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量有兩個(gè)。由題設(shè)可得的一個(gè)極大無關(guān)組為故是屬于特征值的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量。又因?yàn)槿A實(shí)對稱矩陣的秩為可知其行列式為零，故可得另一特征值為零。設(shè)特征值零對應(yīng)的特征向量為則有從而可得線性方程組：求解可得其基礎(chǔ)解系為因此的屬于特征的特征向量為為任意常數(shù)。令則有5.設(shè)三階實(shí)對稱矩陣的特征值是矩陣的屬于特征值的特征向量分別為求的屬于特征的特征向量以及矩陣解：設(shè)的屬于特征的特征向量為因?yàn)閷?shí)對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量互相正交，所以有從而可得線性方程組：求解可得其基礎(chǔ)解系為因此的屬于特征的特征向量為為任意常數(shù)。令則有6.設(shè)求.解：解得其特征值為對于時(shí)，解得其基礎(chǔ)解系為對于時(shí)，解得其基礎(chǔ)解系為令則有習(xí)題7.11.設(shè)求該二次型的矩陣及其秩。解：由題意可知其二次型的矩陣為將二次型的矩陣進(jìn)行初等行變換化為階