北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （相似三角形判定定理的證明）圖形的相似 教學(xué)課件

4.5相似三角形判定定理的證明

學(xué)習(xí)目標(biāo)新課引入新知學(xué)習(xí)課堂小結(jié)12341.會(huì)證明相似三角形判定定理；2.運(yùn)用相似三角形的判定定理解決相關(guān)問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.判定兩個(gè)三角形全等的方法有哪些？2.判定兩個(gè)三角形相似的方法有哪些？新課引入(1)

SSS；(2)

SAS；(3)

AAS；(4)

ASA；(5)

HL(1)

兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；(2)兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；(3)三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.

如何對(duì)三角形相似的三條定理進(jìn)行證明？新知學(xué)習(xí)命題1

兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.命題2

兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.命題3

三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求證：△ABC∽△A′B′C′.命題1

兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.C′ABCA′B′DE證明：在△ABC的邊AB(或它的延長(zhǎng)線(xiàn))上截取AD=A′B′，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線(xiàn)，交AC于點(diǎn)E，則∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

(平行于三角形一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例).過(guò)點(diǎn)D

作AC

的平行線(xiàn)，交BC

于點(diǎn)F，則(平行于三角形一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例).∴.∵DE∥BC，DF∥AC，∴四邊形DFCE是平行四邊形.∴DE=CF.∴.ABCDEC′A′B′F∴.而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′，∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.ABCDEC′A′B′F命題2兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.已知：如圖，在△ABC

和△A′B′C′中，∠A=∠A′，.求證：△ABC∽△A′B′C′.C′ABCA′B′DE證明：在△ABC

的邊AB(或它的延長(zhǎng)線(xiàn))上截取AD=A′B′，過(guò)D

作BC

的平行線(xiàn)，交AC

于點(diǎn)E，則∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC(兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似).∴.∵，AD=A′B′，∴∴∴AE=A′C′.而∠A=∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.C′ABCA′B′DE命題3三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.已知：如圖，在△ABC

和△A′B′C′中，.求證：△ABC∽△A′B′C′.證明：在△ABC

的邊AB，AC

(或它們的延長(zhǎng)線(xiàn))上分別截取AD=A′B′，AE=A′C′，連接DE.∵，AD=A′B′，AE=A′C′，∴C′ABCA′B′DE而∠BAC=∠DAE，∴△ADE∽△ABC(兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似).∴.又，AD=A′B′，∴∴∴DE=B′C′.ABCA′B′DEC′∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.1.判斷題：(1)所有的等邊三角形都相似.()(2)所有的直角三角形都相似.()(3)所有的等腰三角形都相似.()(4)所有的等腰直角三角形都相似.()針對(duì)訓(xùn)練√××√2.如圖，AD⊥BC

于點(diǎn)D，CE⊥AB

于點(diǎn)E

，且交AD

于點(diǎn)F，你能從中找出幾對(duì)相似三角形？BCAEDFBCAEDFBCEDFBAEDFBCAEDFDCFEA3.已知：如圖，在四邊形ABCD

中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD

的長(zhǎng).解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=.∴.

又∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，∴.∴AD=.ABCD課堂小結(jié)相似三角形判定定理的證明定理1：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.定理的運(yùn)用定理證明定理2:兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.定理3：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.實(shí)踐與拓展材料閱讀：如圖，圓O上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，同一條弧所對(duì)的圓周角相等；例如：圓上短弧AD所對(duì)的圓周角∠C=圓周角∠B.解決問(wèn)題：如圖，弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)P.求證：PA·PB=PC·PD.證明：∵∠CAP

與∠CDB

都是所對(duì)的圓周角，∠ACD

與∠ABD

都是所對(duì)的圓周角，∴∠CAP=∠CDB，∠ACD=∠ABD.∴△PAC

∽△PDB.∴.即PA·PB=PC·PD.相似三角形判定定理的證明北師大版九年級(jí)上冊(cè)

AC'B'A/

CB相似三角形的判定定理有哪些？(1)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；(2)兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；(3)三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．課前回顧探究1.兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.ABC求證：△ABC∽△A′B′C′.如圖：在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，你能證明嗎？可要仔細(xì)喲！A'B'C'探究1ABCA'B'C'證明：在△ABC的邊AB(或延長(zhǎng)線(xiàn))上截取AD=A'B',過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線(xiàn)，交AC于點(diǎn)E,則∠ADE=∠B,∠AED=∠C，DE

(平行于三角形一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例).F過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交BC于點(diǎn)F，則(平行于三角形一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例).∴探究1∵DE∥BC，DF∥AC而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,∴△ABC∽△A'B'C'∴△ADE≌△A'B'C'ABCA'B'C'DEF∴四邊形DFCE是平行四邊形?！郉E=CF∵∠A=∠A’,∠ADE=∠B’，AD=A'B',∴△ABC∽△A'B'C'.探究1∴△ABC∽△A′B′C′.ABCA'B'C'DEF推理形式：在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′相似三角形的判定定理1：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.角角AA√總結(jié)ABCED如圖，在△ABC中，

D、E分別是AB、AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且

DE∥BC，試說(shuō)明△ABC與△ADE相似．證明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED＝∠C（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠EAD＝∠CAB.（對(duì)頂角）∴△ADE∽△ABC.（兩組對(duì)應(yīng)角分別相等的兩個(gè)三角形相似.）學(xué)以致用兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等，兩三角形相似.邊角邊SAS√求證：△ABC∽△A'B'C'你能證明嗎？可要仔細(xì)喲！在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，ABCA'B'C'探究2證明:在線(xiàn)段AB(或它的延長(zhǎng)線(xiàn))上截取AD=A'B',過(guò)點(diǎn)D作DE//BC,交AC于點(diǎn)E,∴△ADE∽△ABCABCA'B'C'DE，AD=A'B'而∠A=∠A'∴△ADE≌△A'B'C'∴△ABC∽△A'B'C'∴AE=A'C'探究2相似三角形的判定定理2:兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.在△ABC和△A'B'C'中,∴△ABC∽△A’B’C’∠A=∠A’,推理形式：ABCA'B'C'總結(jié)如圖矩形ABCD是由三個(gè)正方形ABEG,GEFH,HFCD組成的,找出圖中的相似三角形.解:△AEF∽△CEA.ABCDEFGH∵∠AEF=∠CEA=135°.∴△AEF∽△CEA.理由:設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)是1,由勾股定理得學(xué)以致用你能證明嗎？可要仔細(xì)喲！ABCA'B'C'三邊成比例的兩三角形相似.求證：△A′B′C′∽△ABC已知：在△A′B′C′和△ABC中，探究3證明:在線(xiàn)段AB(或它的延長(zhǎng)線(xiàn))上截取AD=A'B',過(guò)點(diǎn)D作DE//BC,交AC于點(diǎn)E,∴△ADE∽△ABC又∴△ADE≌△A'B'C'同理∴△A'B'C'∽△ABCABCA'B'C'DE探究3探究3：三邊成比例的兩三角形相似.符號(hào)語(yǔ)言：∴△A′B′C′∽△ABC∵在△A′B′C′和△ABC中，邊邊邊SSS√ABCA'B'C'總結(jié)如圖,D,E,F分別是△ABC三邊的中點(diǎn),求證:△EFD∽△ABCABCDFE證明:∵D是AB的中點(diǎn),F是AC的中點(diǎn),同理∴△EFD∽△ABC(三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似)學(xué)以致用直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似.已知：如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊上的高.求證：△ABC∽△CBD∽△ACD你能證明嗎？可要仔細(xì)喲！探究4證明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB

∵∠CDA=∠ACB=90°

∵∠A=∠A

∵△ACD∽△ABC

同理△CBD∽△ABC∴△ACD∽△ABC∽△ACD探究4在Rt△ABC中，∵CD⊥AB，∴△ABC∽△CBD∽△ACD．直角三角形相似判斷：直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似.推理形式：總結(jié)下列說(shuō)法中錯(cuò)誤是（）A、三角形的一條中位線(xiàn)截這個(gè)三角形所得的三角形與原三角形相似；B、等腰梯形被一條對(duì)角線(xiàn)分成的兩個(gè)三角形相似；C、直角三角形斜邊上的高把這個(gè)三角形分成的兩個(gè)三角形與原三角形相似；D、等腰直角三角形底邊上的中線(xiàn)把這個(gè)三角形分成的兩個(gè)三角形相似．B學(xué)以致用如圖，在△ABC中，已知∠A=90°，AD⊥BC于D，E為直角邊AC的中點(diǎn)，過(guò)D，E作直線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F．求證：△DBF∽△ADF證明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴△CBA∽△ABD，∴∠C=∠FAD，又∵E為AC的中點(diǎn)，AD⊥BC，∴ED=AC=EC，∴∠C=∠EDC，又∵∠EDC=∠FDB，∴∠FAD=∠FDB，∠F為公共角，∴△DBF∽△ADF，學(xué)以致用1.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．試證明△ABC與△A′B′C′相似．證明：∵

∴

∴△ABC∽△A′B′C′（三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似）．實(shí)例講解“A”型公共角型公共邊角型雙垂直型三垂直型“X”型蝴蝶型相似三角形的基本圖形方法選擇2．已知：如圖，△ABC中，P是AB邊上的一點(diǎn)，連結(jié)CD，(1)∠ACP滿(mǎn)足什么條件時(shí)△ACP∽△ABC

(2)AC∶AP滿(mǎn)足什么條件時(shí)△ACP∽△ABCA

BPC實(shí)例講解分析：這是一道探索性題目(1)要使△ACP∽△ABC的條件已有了∠A＝∠A，找∠ACP滿(mǎn)足的條件，只能根據(jù)判斷定理1，即∠ACP＝∠BA

BPC(2)要使△ACP∽△ABC，已有∠A＝A，找出AC∶AP滿(mǎn)足什么條件，只能根據(jù)判定定理2，即實(shí)例講解解：(1)∵∠A＝∠A

(2)∵∠A＝∠A△ACP∽△ABC（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似）

∴當(dāng)∠ACP＝∠B時(shí)，△ACP∽△ABC∴當(dāng)

時(shí)，A

BPC實(shí)例講解1、如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在矩形ABCD的邊DC，BC上，∠AEF=90°，∠AFB=2∠DAE=72°，則圖中甲、乙、丙三個(gè)三角形中相似的是（）A.只有甲與乙B.只有乙與丙C.只有甲與丙D.甲與乙與丙C達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)解：∵∠AFB=72°，∴∠BAF=18°，∴∠EAF=90°-∠BAF-∠DAE=36°，∴∠DAE=∠EAF=∠CEF，∵∠ADE=∠AEF=∠ECF，∴△DAE∽△EAF∽△CEF，即甲與乙與丙均相似，故選D．達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)2、已知：如圖