多自由度體系近似計(jì)算方法課件

多自由度體系近似計(jì)算方法3-1

鄧柯萊(Dunkerly)法鄧柯萊（Dunkerly法）跡法確定系統(tǒng)基頻的估算公式方法特點(diǎn)：簡(jiǎn)單實(shí)用定義系統(tǒng)的動(dòng)力矩陣為n個(gè)自由度系統(tǒng)的特征值問(wèn)題為標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題多自由度體系近似計(jì)算方法3-1鄧柯萊(Dunkerly)1若將特征值按降序排列系統(tǒng)的基頻為標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題的特征行列式為動(dòng)力矩陣的對(duì)角線元素由代數(shù)方程理論，多項(xiàng)式根與系數(shù)關(guān)系的韋達(dá)定理若將特征值按降序排列系統(tǒng)的基頻為標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題的特征行列式為2動(dòng)力矩陣A的跡若質(zhì)量矩陣M為對(duì)角陣，動(dòng)力矩陣的跡為對(duì)角線元素M對(duì)角線元素1設(shè)彈性系統(tǒng)只保留第i個(gè)質(zhì)量mi

及相應(yīng)的彈簧δii,則系統(tǒng)視為單自由度系統(tǒng)的固有頻率為動(dòng)力矩陣A的跡若質(zhì)量矩陣M為對(duì)角陣，動(dòng)力矩陣的跡為對(duì)角線元素3

鄧柯萊法計(jì)算系統(tǒng)的基頻為精確解的下限

只有當(dāng)時(shí)，跡法可給出比較準(zhǔn)確的基頻估算值

算例表明，梁結(jié)構(gòu)通常具有以上的特點(diǎn)鄧柯萊法計(jì)算系統(tǒng)的基頻為精確解的下限只有當(dāng)時(shí)，跡法可4舉例三自由度梁彎曲的固有頻率與主振型m2mm系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣與柔度矩陣舉例三自由度梁彎曲的固有頻率與主振型m2mm系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣與5舉例均質(zhì)等直梁，試估算梁中央附加集中質(zhì)量M時(shí)的基頻MmEJ均質(zhì)簡(jiǎn)支梁的基頻記簡(jiǎn)支梁的基頻為不計(jì)簡(jiǎn)支梁質(zhì)量時(shí)系統(tǒng)的固有頻率為均質(zhì)梁中央附加集中質(zhì)量M時(shí)的基頻M=mDunkerly法Rayleigh法精確解舉例均質(zhì)等直梁，試估算梁中央附加集中質(zhì)量M時(shí)的基頻MmEJ均63-2

矩陣迭代法工程中的振動(dòng)問(wèn)題的響應(yīng)分析中，系統(tǒng)的低階固有頻率及主振型占有重要地位矩陣迭代法是求解系統(tǒng)低階固有頻率和主振型的一種簡(jiǎn)單實(shí)用的方法

第一階固有頻率及主振型向量向量給定一個(gè)初始迭代向量x1，由展開定理x1

與Φ(1)不正交3-2矩陣迭代法工程中的振動(dòng)問(wèn)題的響應(yīng)分7所占比重增加所占比重減少動(dòng)力矩陣迭代一次后，擴(kuò)大了第一階主振型在迭代向量中的優(yōu)勢(shì)第一階主振型在迭代向量中的優(yōu)勢(shì)繼續(xù)擴(kuò)大所占比重增加所占比重減少動(dòng)力矩陣迭代一次后，擴(kuò)大了第一階主振8隨著迭代次數(shù)的增加，第一階主振型的優(yōu)勢(shì)越來(lái)越大。當(dāng)?shù)螖?shù)充分大時(shí)，可近似地得到迭代后的新向量與原向量個(gè)對(duì)應(yīng)元素間僅相差一常數(shù)倍λ1

迭代過(guò)程中應(yīng)對(duì)迭代向量作歸一化處理

迭代過(guò)程收斂速度取決于比值趨于零的速度

迭代次數(shù)取決于系統(tǒng)本身的物理參數(shù)和試算向量的選取隨著迭代次數(shù)的增加，第一階主振型的優(yōu)勢(shì)越來(lái)越9舉例矩陣迭代法計(jì)算系統(tǒng)的基頻及主振型mm2mkk2kx1x2x3系統(tǒng)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣系統(tǒng)動(dòng)力矩陣選取初始迭代向量舉例矩陣迭代法計(jì)算系統(tǒng)的基頻及主振型mm2mkk2kx1x210rxr12837.2547.18965557.18465267.18424577.184210系統(tǒng)的第一階固有頻率和主振型rxr12837.2547.18965557.184652611rxr12737.22857247.18972357.18471867.18425377.184214系統(tǒng)的第一階固有頻率和主振型試算向量取系統(tǒng)靜載作用時(shí)的靜變形rxr12737.22857247.18972357.18412

較高階固有頻率及主振型采用動(dòng)力矩陣迭代的過(guò)程，總是不斷擴(kuò)大第一階主振型的比重。能否求出第二階以上的系統(tǒng)固有頻率和主振型？對(duì)于試算初始向量左乘動(dòng)力矩陣迭代取不包含有的成分較高階固有頻率及主振型采用動(dòng)力矩陣迭13由于計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差，x2內(nèi)仍有可能存在的殘余成分

b1盡管很小，但若直接用動(dòng)力矩陣A繼續(xù)迭代仍然會(huì)不斷擴(kuò)大的比重。

必須繼續(xù)剔出它！設(shè)由于計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差，x2內(nèi)仍有可能存在的14于是有只要在迭代計(jì)算中用矩陣A1取代A，迭代的結(jié)果會(huì)收斂到和且矩陣A1的特征值為λ2，特征向量為而相應(yīng)于的特征值變?yōu)榱阕C明當(dāng)i=1時(shí)即于是有只要在迭代計(jì)算中用矩陣A1取代A，迭代的結(jié)果會(huì)收斂到15從以上的分析，若已知系統(tǒng)的特征值相應(yīng)的特征向量。欲求出第l+1階特征值和特征向量，可構(gòu)造迭代矩陣第l+1階固有頻率和主振型

由于迭代過(guò)程中的誤差，因此，矩陣迭代法只適宜求解系統(tǒng)的低階

固有頻率和主振型從以上的分析，若已知系統(tǒng)的特征值相應(yīng)的特征向量。欲求出第l16特征值相等的情形設(shè)初始試算向量經(jīng)r次迭代后取線性組合選取不同的初始迭代向量取線性組合將進(jìn)行正交化處理，即可得到重根的主振型特征值相等的情形設(shè)初始試算向量經(jīng)r次迭代后取線性組合選取17半正定系統(tǒng)的情形K-1不存在，動(dòng)力矩陣A不存在取一較小的正數(shù)α“動(dòng)力矩陣”以其為迭代矩陣將得到半正定系統(tǒng)非零特征值所對(duì)應(yīng)的主振型以上過(guò)程稱為帶移頻的矩陣迭代法半正定系統(tǒng)的情形K-1不存在，動(dòng)力矩陣A不存在取一較小的正數(shù)18舉例矩陣迭代法計(jì)算系統(tǒng)的高階固有頻率及主振型mm2mkk2kx1x2x3求系統(tǒng)第二階固有頻率及主振型舉例矩陣迭代法計(jì)算系統(tǒng)的高階固有頻率及主振型mm2mkk2k19設(shè)初始迭代向量rxr12-0.35504630.513506150.572769160.57277017……系統(tǒng)的第二階固有頻率及主振型設(shè)初始迭代向量rxr12-0.35504630.513506203-3

瑞利(Rayleigh)法對(duì)于運(yùn)動(dòng)微分方程系統(tǒng)的主振動(dòng)由機(jī)械能守恒3-3瑞利(Rayleigh)法對(duì)于運(yùn)動(dòng)微分方程系統(tǒng)的主21如果Φ是系統(tǒng)的第j階主振型Φ(j)如果假設(shè)系統(tǒng)的主振動(dòng)為X是系統(tǒng)的假設(shè)振型稱為瑞利商瑞利商的性質(zhì)

若X就是系統(tǒng)的第j階主振型

若X為任意n維向量如果Φ是系統(tǒng)的第j階主振型Φ(j)如果假設(shè)系統(tǒng)的主振動(dòng)22

瑞利商對(duì)振型選擇不敏感假設(shè)振型X比較接近第r階主振型，由展開定理瑞利商對(duì)振型選擇不敏感假設(shè)振型X比較接近第r階23假設(shè)振型X與第r階主振型Ψ(r)相差一階微量瑞利商R(X)與第r階固有頻率的平方相差二階微量瑞利商在系統(tǒng)真實(shí)振型處取駐值（相應(yīng)各階固有頻率的平方）原則上瑞利商可以計(jì)算系統(tǒng)的任意階固有頻率實(shí)際上系統(tǒng)的高階主振型很難做出合理假設(shè)工程中，瑞利法用來(lái)估算系統(tǒng)的基頻，而不宜計(jì)算系統(tǒng)的高階固有頻率；所得結(jié)果為精確解的上限假設(shè)振型X與第r階主振型Ψ(r)相差一階微量瑞利24對(duì)于運(yùn)動(dòng)微分方程系統(tǒng)的主振動(dòng)由機(jī)械能守恒系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的勢(shì)能可表示為外力f所作的功系統(tǒng)作自由振動(dòng)時(shí)，作用于系統(tǒng)的只有慣性力系統(tǒng)位移對(duì)于運(yùn)動(dòng)微分方程系統(tǒng)的主振動(dòng)由機(jī)械能守恒系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的勢(shì)能25瑞利商對(duì)應(yīng)于位移方程系統(tǒng)的第r階固有頻率由展開定理，假設(shè)振型瑞利商對(duì)應(yīng)于位移方程系統(tǒng)的第r階固有頻率由展開定理，假設(shè)26可以證明記動(dòng)力矩陣隱含著一次矩陣迭代可以推論由柯西-許瓦茲不等式可以證明可以證明記動(dòng)力矩陣隱含著一次矩陣迭代可以推論由柯西-許瓦茲不27舉例采用瑞利法計(jì)算系統(tǒng)的基頻mm2mkk2kx1x2x3設(shè)舉例采用瑞利法計(jì)算系統(tǒng)的基頻mm2mkk2kx1x2x3設(shè)28誤差瑞利商設(shè)誤差瑞利商誤差瑞利商設(shè)誤差瑞利商293-4

里茲(Ritz)法對(duì)于復(fù)雜工程問(wèn)題，動(dòng)力分析需要計(jì)算系統(tǒng)的前幾階固有頻率及相應(yīng)的主振型Ritz法對(duì)Rayleigh法進(jìn)行了修正，以實(shí)現(xiàn)計(jì)算低階固有頻率與振型的目的Ritz法是一種減縮系統(tǒng)自由度的近似計(jì)算方法Ritz法對(duì)系統(tǒng)的近似振型X給出更合理的假設(shè)為選取的k個(gè)線性無(wú)關(guān)的假設(shè)振型3-4里茲(Ritz)法對(duì)于復(fù)雜工程問(wèn)題30待定常數(shù)向量代入瑞利商瑞利商成為a的函數(shù)利用瑞利商在真實(shí)主振型處取駐值的性質(zhì)，由極值條件待定常數(shù)向量代入瑞利商瑞利商成為a的函數(shù)利用瑞利商在真實(shí)主振31多自由度體系近似計(jì)算方法課件32特征值問(wèn)題的階數(shù)k<<nRitz法實(shí)際是一種減縮系統(tǒng)自由度數(shù)求解固有振動(dòng)的近似計(jì)算方法Ritz法的基本思想利用k個(gè)線性無(wú)關(guān)的假設(shè)振型為基底在n維振型空間中構(gòu)成一個(gè)k維子空間確定瑞利商在該子空間的k個(gè)極值將所得k個(gè)極值作為原系統(tǒng)前k階固有頻率平方的近似值特征值問(wèn)題的階數(shù)k<<nRitz法實(shí)33n自由度系統(tǒng)的固有頻率系統(tǒng)的前k階主振型證明所得近似主振型關(guān)于M和K具有正交性n自由度系統(tǒng)的固有頻率系統(tǒng)的前k階主振型證明所得近似主振34Ritz法的一些性質(zhì)

若假設(shè)振型恰好是主振型Ritz法求出的就是系統(tǒng)的前k階固有頻率的精確值Ritz法的一些性質(zhì)若假設(shè)振型恰好是主振型35

若假設(shè)振型線性無(wú)關(guān)，且均可表示為系統(tǒng)前k階主振型的線性組合構(gòu)成k維子空間Rk的基底構(gòu)成k維子空間Tk的基底子空間Tk與Rk等同Ritz法仍可求出系統(tǒng)的前k階固有頻率和主振型的精確解若假設(shè)振型線性無(wú)關(guān)，且均可表示為系統(tǒng)前k階主振型的線36Ritz法只要選取的假設(shè)振型能夠使子空間Tk接近于子空間Rk，就能求得系統(tǒng)前k階固有頻率和主振型較好的近似解

Ritz法計(jì)算的固有頻率與精確解有如下關(guān)系Ritz法一般只能用來(lái)估算系統(tǒng)的前幾階固有頻率及主振型難點(diǎn)是k維子空間的任一組基不知道

Ritz法計(jì)算的固有頻率中只有前一半的精度較高。實(shí)際計(jì)算中若要求系統(tǒng)的前k階固有頻率，假設(shè)的振型數(shù)目應(yīng)取為2k計(jì)算精度取決于假設(shè)的近似振型對(duì)真實(shí)振型的逼近程度Ritz法只要選取的假設(shè)振型37舉例采用R