平穩(wěn)序列的偏相關(guān)系數(shù)和Levinson遞推公式

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§2.4平穩(wěn)序列的偏相關(guān)系數(shù)和Levinson遞推公式平穩(wěn)序列的偏相關(guān)系數(shù)和Levinson遞推公式（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）平穩(wěn)序列的階Yule-Walker方程其中稱為的階Y-W系數(shù).當(dāng)正定時(shí),即刻得到.例4.1在均方誤差最小的意義下,用預(yù)測時(shí)預(yù)測的誤差最小.其中,為Y-W系數(shù).證設(shè)任,作預(yù)測,則.其中.若AR(p)序列的自協(xié)方差函數(shù),則由Y-W方程確定的Y-W系數(shù),使當(dāng)時(shí).對一般平穩(wěn)序列,有如下定理.定理4.1若實(shí)列,使得正定,則Y-W系數(shù)滿足最小相位條件:當(dāng)時(shí).(見附A)定理4.2(Levinson遞推公式)若正定,則用定義4.1若正定,稱為或的偏相關(guān)系數(shù).滿足:即滿足:,此時(shí)稱是后截尾的.定理4.3零均值平穩(wěn)序列是AR(p)序列偏相關(guān)系數(shù)在后截尾.(證略)實(shí)用中的步驟:1)獲得;2)計(jì)算;3)利用Levinson的遞推公式求4)若在后表現(xiàn)出截尾性,則作為估計(jì)5)利用Y-W方程求出的估計(jì).若正定,則得到為穩(wěn)定的模型.若取值較小,說明正定性較弱,穩(wěn)定性較差,有接近單位圓的根.§2.5AR(p)序列舉例例5.1對,AR(1)模型有平穩(wěn)解: ;自協(xié)方差函數(shù):;;自相關(guān)系數(shù):;譜密度(): 相應(yīng)的譜密度圖分別如下:例5.2AR(2)模型,.討論:1)的根均在單位圓外(略)2)自相關(guān)系數(shù)滿足(再從Y-W方程)解出.稱為AR(2)的穩(wěn)定域;相應(yīng)地,稱為AR(2)的允許域.3)AR(2)的譜密度.若有接近1的共軛根,則在附近有一個(gè)峰值,有一個(gè)周期為特征.實(shí)例 ~標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲;特征函數(shù):;特征根:;自相關(guān)系數(shù):(逐個(gè)推算出)Y-W系數(shù)是截尾譜密度()譜密度曲線在處達(dá)到峰值,故有相應(yīng)的周期.圖形有此特征.一類由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式問題的求解的修正凌紅（浙江省湖州中學(xué)313000）文[1]有如下結(jié)論：若有遞推關(guān)系式，說明為等差數(shù)列.其中是的特征方程的特征根，即.反例已知，若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.分析此題條件滿足上述結(jié)論，即.解因?yàn)榈奶卣鞣匠虨?，所?根據(jù)上述結(jié)論，知是等差數(shù)列，故設(shè)公差為，則，可以將它變形為，所以，無解.是什么造成了這樣尷尬的場面呢？讓我們來重新考慮下這個(gè)問題.若已知（且），則可變形為上式可推廣為.因?yàn)榍?，所以，，并且由?而，是否就因?yàn)樯倭诉@個(gè)限制條件呢？回答是肯定的.定理已知（），滿足，，并且，則為以為公差的等差數(shù)列，其中.證明令，則，設(shè)①由可知，方程組①等價(jià)于三元方程組②解得又因?yàn)?，所以，此時(shí)，原式可化為.其中，.所以是以為公差的等差數(shù)列.說明：①若，則（常數(shù)列）；②是（）的特征方程的特征根，是將等式兩邊同除以某一個(gè)數(shù)使得和的系數(shù)差為2時(shí)的的系數(shù)；③從上述討論可以看到“，，”是成等差數(shù)列的充要條件（其中）.例1已知，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解考慮特征方程，得.將兩邊同除以，得，得.又因?yàn)?，所以是為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列.因此，得.例2已知，若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.分析由于題設(shè)不滿足這個(gè)條件，所以不能用上述定理解題.解因式分解可得，知數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)中必至少有一項(xiàng)為，這個(gè)數(shù)列不確定.參考文獻(xiàn)1杜先序朱維宗.類比思維的一種應(yīng)用.數(shù)學(xué)通報(bào)，2007，10.課題：一類遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法探究————形如一、教學(xué)目標(biāo)：1、進(jìn)一步理解遞推公式是定義數(shù)列的一種方法；2、加深理解等差、等比數(shù)列的定義；3、掌握形如數(shù)列遞推公式的通項(xiàng)公式的求法；4、經(jīng)歷構(gòu)造等差、等比數(shù)列的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。二、教學(xué)重點(diǎn)：一類遞推公式的通項(xiàng)公式的求法探討三、教學(xué)難點(diǎn)：等差、等比數(shù)列的構(gòu)造方法四、教學(xué)過程：（一）復(fù)習(xí)引入1、2021年上海高考第20題(本題滿分13分)本題共有2個(gè)小題，第一個(gè)小題滿分5分，第2個(gè)小題滿分8分。已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出n為何值時(shí)，取得最小值，并說明理由。2、若數(shù)列滿足：，求，利用了什么方法？3、在數(shù)列中，，且，求，利用了什么方法？（二）求法探究1、已知數(shù)列滿足：，且，求總結(jié)探究方法：2.變式探究①、在數(shù)列中，，且滿足，求②、在數(shù)列中，，且滿足，求（三）課堂小結(jié)1、體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想有：類比、構(gòu)造，2、用到的