【數(shù)學課件】導數(shù)的概念及幾何意義 2023-2024學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

導數(shù)的概念及其幾何意義思考？觀察函數(shù)y=f(x)的圖象，平均變化率表示什么？瞬時變化率表示什么？我們容易發(fā)現(xiàn)，平均變化率表示割線P0P的斜率如圖，在曲線y=f(x）任取一點P（x,f(x))，如果當點P（x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點P0(x0,f(x0))時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線P0T稱為曲線y=f(x)在點P0處的切線。拋物線的割線和切線之間的關系類似，我們容易知道，割線P0P的斜率記?x=x-x0.當點P沿著曲線y=f(x)無限趨近于點P0時，即當時，k無限趨近于函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)。因此，函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)f’(x0)就是切線P0T的斜率k0，即這就是導數(shù)的幾何意義。觀察下圖，可以發(fā)現(xiàn)點P0T比任何一條割線更貼近點P0附近的曲線。進一步地，將點P0附近的曲線不斷放大，可以發(fā)現(xiàn)點P0附近的曲線越來越接近于直線。因此，在點P0附近，曲線y=f(x)可以用點P0處的切線P0T近似代替。數(shù)學上常用簡單的對象刻畫復雜的對象。例如，用有理數(shù)3.1416近似代替無理數(shù)π，這里，我們用曲線上某點處的切線近似代替這一點附近的曲線，這是微積分中重要的思想方法——以直代曲。例1.如圖，是高臺跳水運動中運動員的重心相對于水面的高度隨時間變化的函數(shù)h(t)＝一4.9t2十4.8t十11的圖象。根據(jù)圖象，請描述、比較曲線h(t

)在t=t0

,t1,t2，附近的變化情況．解析：我們用曲線h(t)在t=t0,t1,t2處的切線斜率，刻畫曲線h(t)在上述三個小刻附近的變化情況。（1）當t=t0時，曲線h(x)在t=t0處的切線l0平行于t軸，h’(t0)=0.這時，在t=t0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降。（2）當t=t1時，曲線h(x)在t=t1處的切線l0平行于t軸，h’(t0)<0.這時，在t=t1附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t=t1附近單調遞減。（3）當t=t2時，曲線h(x)在t=t2處的切線l0平行于t軸，h’(t0)<0.這時，在t=t2附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t=t2附近單調遞減?？梢钥闯?，直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，這說明曲線h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得緩慢。小試牛刀1．一個物體從10m高處做自由落體運動，ts時該物體距離地面的高度（單位：m）為h(t)=一4.9t2+10。求該物體在t＝1時的瞬時速度，并解釋此時物體的運動狀況.解析：由題意可知物體豎直方向的位移h(t)=一4.9t2+10結合瞬時速度公式v=dh/dt可得v(t)=-9.8t當t=1s時，v=-9.8m/s,所以此時其速度大小為9.8m/s,方向豎直向下此后物體將以該速度做勻加速直線運動至物體到達地面。小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛。與以上事件吻合得最好的圖象是（

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