復(fù)變函數(shù)論第三版第四章

復(fù)變函數(shù)論第三版第四章第一頁，共36頁。1.復(fù)數(shù)列的極限定義記作復(fù)數(shù)列收斂的條件第一頁2第二頁，共36頁。那末對于任意給定的就能找到一個正數(shù)N,證從而有所以同理反之,如果從而第二頁3第三頁，共36頁。下列數(shù)列是否收斂,如果收斂,求出其極限.例1解定理：復(fù)數(shù)列收斂的Cauchy準(zhǔn)則第三頁4第四頁，共36頁。2.復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散定義表達式稱為復(fù)數(shù)項級數(shù).稱為級數(shù)的部分和.若部分和數(shù)列{sn}(n=1,2,…,)以有限復(fù)數(shù)s為極限,即則稱復(fù)數(shù)項無窮級數(shù)(4.1)收斂于s,且稱s為(4.1)的和,寫成否則若復(fù)數(shù)列sn(n=1,2,…,)無有限極限,則稱級數(shù)(4.1)為發(fā)散.第四頁5第五頁，共36頁。定理4.1設(shè)

n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn為實數(shù),則復(fù)級數(shù)(4.1)收斂于s=a+ib(a,b為實數(shù))的充要條件為:分別收斂于a及b.復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的條件實數(shù)項級數(shù)注：復(fù)數(shù)項級數(shù)的審斂問題可轉(zhuǎn)化為實數(shù)項級數(shù)的審斂問題分別收斂于a及b

例1級數(shù)是否收斂？例2級數(shù)是否收斂？第五頁6第六頁，共36頁。推論2收斂級數(shù)的各項必是有界的.推論1收斂級數(shù)的通項必趨于零:(事實上，取p=1,則必有|an+1|<ε)．推論3若級數(shù)(4.1)中略去有限個項,則所得級數(shù)與原級數(shù)同為收斂或同為發(fā)散.

定理4.2(Cauchy準(zhǔn)則)復(fù)級數(shù)(4.1)收斂的充要條件為:對任給ε>0,存在正整數(shù)N(ε),當(dāng)n>N且p為任何正整數(shù)時|

n+1+

n+2+…+

n+p|<ε第六頁7第七頁，共36頁。定理4.3復(fù)級數(shù)(4.1)收斂的一個充分條件為級數(shù)收斂.定義4.2若級數(shù)收斂,則原級數(shù)稱為絕對收斂;若級數(shù)發(fā)散，而級數(shù)收斂,原級數(shù)稱為條件收斂.3.絕對收斂與條件收斂事實上，第七頁8第八頁，共36頁。定理4.4(1)一個絕對收斂的復(fù)級數(shù)的各項可以任意重排次序,而不改變其絕對收斂性,亦不改變其和.它收斂于.(2)兩個絕對收斂的復(fù)級數(shù)可按對角線法得到乘積級數(shù)例2級數(shù)是否絕對收斂？例1級數(shù)絕對收斂,且有解因為第八頁9第九頁，共36頁。定義1設(shè)復(fù)變函數(shù)項序列

f1(z)，f2(z)，f3(z)，…，fn(z)，…(*)的各項均在點集E上有定義,且在E上存在一個函數(shù)f(z),對于E上的每一點z,序列(*)均收斂于f(z),則稱f(z)為序列(*)的極限函數(shù),記為:4.一致收斂的復(fù)函數(shù)項序列定義2對于序列(*),如果在點集E上有一個函數(shù)f(z),使對任給的ε>0,存在正整數(shù)N=N(ε),當(dāng)n>N時,對一切的z∈E均有|f(z)-fn(z)|<ε,則稱序列(*)在E上一致收斂于f(z)，記作:.第九頁10第十頁，共36頁。定義4.3設(shè)復(fù)變函數(shù)項級數(shù)

f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+…(4.2)的各項均在點集E上有定義,且在E上存在一個函數(shù)f(z),對于E上的每一點z,級數(shù)(4.2)均收斂于f(z),則稱f(z)為級數(shù)(4.2)的和函數(shù),記為:5.一致收斂的復(fù)函數(shù)項級數(shù)定義4.4對于級數(shù)(4.2),如果在點集E上有一個函數(shù)f(z),使對任給的ε>0,存在正整數(shù)N=N(ε),當(dāng)n>N時,對一切的z∈E均有|f(z)-sn(z)|<ε,則稱級數(shù)(4.2)在E上一致收斂于f(z)，記作:，其中第十頁11第十一頁，共36頁。定理4.5(柯西一致收斂準(zhǔn)則)級數(shù)(4.2)在點集E上一致收斂于某函數(shù)的充要條件是:任給的ε>0,存在正整數(shù)N=N(ε),使當(dāng)n>N時,對于一切z∈E,均有|fn+1(z)+…+fn+p(z)|<ε(p=1,2,…).Weierstrass優(yōu)級數(shù)準(zhǔn)則:如果整數(shù)列Mn(n=1,2,…),使對一切z∈E,有|fn(z)|≤Mn(n=1,2,…),而且正項級數(shù)收斂,則復(fù)函數(shù)項級數(shù)在點集E上絕對收斂且一致收斂:這樣的正項級數(shù)稱為函數(shù)項級數(shù)的優(yōu)級數(shù).第十一頁12第十二頁，共36頁。定理4.6設(shè)級數(shù)的各項在點集E上連續(xù),并且一致收斂于f(z),則和函數(shù)也在E上連續(xù).定理4.7設(shè)級數(shù)的各項在曲線C上連續(xù),并且在C上一致收斂于f(z),則沿C可以逐項積分:第十二頁13第十三頁，共36頁。定義4.5設(shè)函數(shù)fn(z)(n=1,2,…)定義于區(qū)域D內(nèi),若級數(shù)(4.2)在D內(nèi)任一有界閉集上一致收斂,則稱此級數(shù)在D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂.定理4.8設(shè)級數(shù)(4.2)在圓K:|z-a|<R內(nèi)閉一致收斂的充要條件為:對于任意正數(shù)ρ,只要ρ<R,級數(shù)(4.2)在閉圓K:|z-a|≤ρ上一致收斂.第十三頁14第十四頁，共36頁。定理4.9設(shè)(1)fn(z)(n=1,2,…)在區(qū)域D內(nèi)解析,級數(shù)則(1)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析6.解析函數(shù)項級數(shù)或序列在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)f(z),證（1）設(shè)，若為Ｄ內(nèi)任一圍線，則由柯西積分定理得由定理4.7得于是，由摩勒拉定理知，f(z)在內(nèi)解析，即在解析。由于的任意性，故f(z)在區(qū)域內(nèi)解析。第十四頁15第十五頁，共36頁。第十五頁16第十六頁，共36頁。第二節(jié)冪級數(shù)1、冪級數(shù)的斂散性2、冪級數(shù)的收斂半徑的求法3、冪級數(shù)的和函數(shù)的解析性4、例題5、小結(jié)第十六頁17第十七頁，共36頁。1.冪級數(shù)的定義：形式的復(fù)函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中c0,c1,c2,…,a都是復(fù)常數(shù).冪級數(shù)是最簡單的解析函數(shù)項級數(shù),為了搞清楚它的斂散性,先建立以下的阿貝爾(Abel)定理.一、冪級數(shù)的斂散性具有當(dāng)a=0,則以上冪級數(shù)可以寫成如下形式注1一般冪級數(shù)在一定的區(qū)域內(nèi)收斂于一個解析函數(shù)。注2在一點解析的函數(shù)在此點的一個鄰域內(nèi)可以用冪級數(shù)表示出來，因此一個函數(shù)在某點解析的充要條件是它在這點的某個鄰域內(nèi)可以展開成一個冪級數(shù)。第十七頁18第十八頁，共36頁。定理4.10：如果冪級數(shù)(4.3)在某點z1(≠a)收斂,則它必在圓K:|z-a|<|z1-a|(即以a為圓心圓周通過z1的圓)內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂.推論4.11若冪級數(shù)(4.3)在某點z2(≠a)發(fā)散,則它在以a為圓心并且通過點z2的圓周外部發(fā)散.2.冪級數(shù)的斂散性討論命題：對于冪級數(shù),若實系數(shù)實冪級數(shù)的收斂半徑為R,則有第十八頁19第十九頁，共36頁。第十九頁20第二十頁，共36頁。定理4.12如果冪級數(shù)(4.3)的系數(shù)cn合于或或3.冪級數(shù)收斂半徑的求法則冪級數(shù)的收斂半徑為:R=1/l(l≠0,l≠+∞)0(l=+∞);+∞(l=0).(4.4)第二十頁21第二十一頁，共36頁。定理4.13(1)冪級數(shù)(4.5)的和函數(shù)f(z)在其收斂圓K:|z-a|<R(0<R≤+∞)內(nèi)解析.4.冪級數(shù)的和函數(shù)的解析性(2)在K內(nèi),冪級數(shù)(4.5)可以逐項求導(dǎo)至任意階,即：(p=1,2,…)(4.6)(3)(p=0,1,2,…).(4.7)(4)級數(shù)（4.5）可沿K內(nèi)曲線C逐項積分，且其收斂半徑與原級數(shù)相同。第二十一頁22第二十二頁，共36頁。例1求下列冪級數(shù)的收斂半徑R:例2

求下列冪級數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)：例3求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).例4計算5.典型例題第二十二頁23第二十三頁，共36頁。第三節(jié)解析函數(shù)的泰勒展式1、泰勒(Taylor)定理2、冪級數(shù)和函數(shù)在收斂圓周上的狀況3、一些初等函數(shù)的泰勒展式第二十三頁24第二十四頁，共36頁。(4.9)定理4.14(泰勒定理)設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,a∈D,只要K:|z-a|<R含于D,則f(z)在K內(nèi)能展成如下冪級數(shù)(4.8)其中系數(shù)且展式是唯一的.1.泰勒(Taylor)定理（4.8）稱為f(z)在點a的泰勒展式，（4.9）稱為其泰勒系數(shù)，（4.8）中的級數(shù)稱為泰勒級數(shù)。第二十四頁25第二十五頁，共36頁。

定理4.15

f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件為:f(z)在D內(nèi)任一點a的鄰域內(nèi)可展成z-a的冪級數(shù),即泰勒級數(shù).由柯西不等式知若f(z)在|z-a|<R內(nèi)解析,則其泰勒系數(shù)cn滿足柯西不等式第二十五頁26第二十六頁，共36頁。定理4.16如果冪級數(shù)的收斂半徑R>0,且則f(z)在收斂圓周C：|z-a|=R上至少有一奇點，即不可能有這樣的函數(shù)F(z)存在，它在|z-a|<R內(nèi)與f(z)恒等，而在C上處處解析.2.冪級數(shù)和函數(shù)在收斂圓周上的狀況第二十六頁27第二十七頁，共36頁。3.一些初等函數(shù)的泰勒展式第二十七頁28第二十八頁，共36頁。1、解析函數(shù)零點的孤立性2、唯一性定理3、最大與最小模原理第四節(jié)解析函數(shù)零點的孤立性與唯一性定理第二十八頁29第二十九頁，共36頁。

定義4.7設(shè)f(z)在解析區(qū)域D內(nèi)一點a的值為零，即：f(a)=0，則稱a為解析函數(shù)f(z)的一個零點.如果在|z-a|<R內(nèi)，解析函數(shù)f(z)不恒為零，我們將它在點a展成冪級數(shù)，此時，冪級數(shù)的系數(shù)不必全為零，故必有一正數(shù)m(m≥1)，使得合乎上述條件的m稱為零點a的階(級)，a稱為f(z)的m階(級)零點。特別是當(dāng)m=1時，a也稱為f(z)的簡單零點.1.解析函數(shù)的零點及其孤立性第二十九頁30第三十頁，共36頁。定理4.17不恒為零的解析函數(shù)f(z)以a為m級零點的充要條件為:其中(4.14)在點a的鄰域|z-a|<R內(nèi)解析,且證必要性由假設(shè)，只要令即可。充分性是明顯的。第三十頁31第三十一頁，共36頁。定理4.18如在|z-a|<R內(nèi)解析的函數(shù)f(z)不恒為零，a為其零點，則必有a的一個鄰域，使得f(z)在其中無異于a的零點(簡單來說就是，不恒為零的解析函數(shù)的零點必是孤立的)。零點的孤立性(2)在K內(nèi)有f(z)的一列零點{zn}(zn≠0)收斂于a,推論4.19設(shè)(1)f(z)在鄰域K:|z-a|<R內(nèi)解析;即存在{zn}

K,(zn≠0)

f(zn)=0,zn→a

第三十一頁32第三十二頁，共36頁。(1)函數(shù)f1(z)，f2(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，(2)D內(nèi)有一個收斂于a∈D的點列{zn}(zn≠a)，滿足,則在D內(nèi)有f1(z)

f2(z).

定理4.20