數(shù)學(xué)大觀 教學(xué)大綱

《數(shù)學(xué)大觀》教學(xué)大綱第一章數(shù)學(xué)愛我們簡介課程指導(dǎo)思想：展示數(shù)學(xué)的魅力與威力.能力點:通過有招(講故事)學(xué)無招(思想),無招(思想)指揮有招(算法).課程目的簡介本課程的學(xué)習(xí)目引起對數(shù)學(xué)的愛好,減少對數(shù)學(xué)的仇恨,對數(shù)學(xué)思想有所理解.強調(diào)idea(思想),不追求technique(算法細(xì)節(jié)).標(biāo)和指導(dǎo)思想數(shù)學(xué)愛我們無招(idea)勝有招(technique),通過有招(講故事)學(xué)無招(思想措施).故事:

設(shè)計幻方.

從文字幻方開始:

5行5列方格表中第一行填“我,們,愛,數(shù),學(xué)”,后來每行仍是這5個字的排列,每列、每條對角線也是.將5個字換成0,1,2,3,4這5個不一樣數(shù)字,則每行每列每條對角線各數(shù)和相等。兩張滿足同樣規(guī)定的不一樣的表,第一張乘5加第二張表,再同加1就得到5階幻方.

類似可得3階幻方.運算律巧算24用5,5,5,1通過加減乘除算24.

死湊難奏效,由5x5-1=24左邊恒等變形得到對的等式

5x(5-1/5)=24.

能力點:運算律的應(yīng)用.

歐幾里得由少數(shù)簡樸公理推出復(fù)雜豐富的幾何學(xué).

代數(shù)學(xué)由更少數(shù)簡樸公理推出,運算律就是代數(shù)公理。未知算已知算術(shù)應(yīng)用題:

大人小孩共100人吃100個饅頭,大人每人吃3個,小孩每3人吃1個,大人小孩各多少?

小學(xué)算術(shù)只能由已知算未知，因此很困難.

初中可以不需要懂得大人小孩人數(shù),只要各設(shè)為x,y,就可由x,y算出總?cè)藬?shù)x+y=100和饅頭數(shù)3x+y/3=100.為何可以將已知未知混為一談?

由于它們的算法相似.

并且運算律相似，因此可以對方程同解變形求出解來.

天上掉下余弦定理為何不一樣數(shù)值a,b滿足同一種平方公式(a-b)^2=a^2+b^2-2ab?由于它們滿足同樣的運算律.

a,b換成向量仍然滿足同樣的運算律,平方公式仍然成立，這就是余弦定理,當(dāng)a,b垂直時ab=0,就是勾股定理.

還可以將a,b再換成n數(shù)組向量,也滿足同樣的運算律，因此勾股定理可以推廣到n數(shù)組向量.余弦不小于1也可以推廣，就是柯西不等式.橢圓面積也簡樸計算橢圓面積需要用到積分,還要進(jìn)行變量替代.

不過,只要將橢圓的半短軸b拉長到與半長軸a相等,將橢圓拉成圓,就能由圓面積公式算出橢圓面積了.

怎樣拉長?

將每個點(x,y)的橫坐標(biāo)x不變,縱坐標(biāo)y乘a/b,橢圓就拉成半徑為

a的圓,面積變成pa^2.

拉長過程中面積擴(kuò)大倍數(shù)為a/b,再乘b/a壓縮回去就得到橢圓面積pab.

還可由圓內(nèi)接n邊形最大面積得到橢圓內(nèi)接n邊形最大面積。第二章七十二行任縱橫-數(shù)學(xué)聊齋數(shù)學(xué)聊齋通過生活中的故事闡明其中的數(shù)學(xué)原理、思想和措施.音樂美術(shù)體育旅游餐飲，生活的方方面面均有數(shù)學(xué)，培養(yǎng)透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力,理論聯(lián)絡(luò)實際的能力.音調(diào)中的等比數(shù)列音階1,2,...,7,i中各音的頻率怎么算?

從1到高八度的i,頻率f升高1倍到2f.

通過12個“臺階”(包括白鍵黑鍵),共升高12個半音,

頻率構(gòu)成等比數(shù)列,

公比q等于2的12次方根.由等比數(shù)列通項公式可以算出各音的頻率。這叫做十二平均律.還可運用計算機軟件按照算出的頻率將各個音播放出來，甚至可以構(gòu)成樂曲,讓你聽聽數(shù)學(xué)的美妙聲音.怎樣模擬不一樣樂器的聲音不一樣樂器發(fā)出的聲音的不一樣音色由不一樣波形決定,由不一樣頻率f,2f,3f,...的正弦波(Ak)sin(kf+tk)按不一樣強弱(由振幅Ak決定)合成.變化各頻率正弦波的強弱比例

(A1,A2,...,Ak,...),就變化了波形從而變化了音色.

將周期函數(shù)(波)分解為不一樣強弱比例的正弦波的合成,數(shù)學(xué)上稱為傅里葉級數(shù).美術(shù)中的數(shù)學(xué)課堂展示兩張照片,一張是地面的平行隊列在照片上相交,另一張是臺燈在墻上的光影邊緣曲線.

為何地面上的平行線在照片上相交?

地面的圖形到照片上圖形的映射是以鏡頭為中心的中心投影.

研究中心投影的幾何稱為射影幾何.

由于地面與照片不平行,平行線變成相交.

臺燈由燈罩內(nèi)發(fā)出的光束是圓錐，墻是平面，光影邊緣就是平面截圓錐得到的雙曲線，也是燈罩下沿的圓在燈光下的中心投影.佛光中的多媒體教學(xué)峨眉山最精彩也最難看到的景色是佛光。站在舍身崖懸崖往下看,假如天上有太陽,崖下有云,云的高度合適，出現(xiàn)彩色光環(huán),就是佛光.

假如云層太高或太矮,都看不見佛光.不過，假如云從太矮持續(xù)上升到太高,途中就有一點恰到好處.

這就是數(shù)學(xué)上的持續(xù)函數(shù)介值定理.

一朵朵云持續(xù)往上升,佛光一次次地出現(xiàn)，象是普賢菩薩在進(jìn)行多媒體教學(xué),教學(xué)內(nèi)容就是持續(xù)函數(shù)定理.足球的圓與方足球的勝敗有偶爾性，弱隊可以戰(zhàn)勝強隊,因此“足球是圓的”.

然而，偶爾性不是沒有規(guī)律,沒有強弱.

弱隊?wèi)?zhàn)勝強隊只是少數(shù)情形,多數(shù)情形還是強隊勝弱隊,可見“足球也是方的”.我國的嫦娥號飛船登月,專家在每一階段都預(yù)見了出現(xiàn)事故的概率,采用措施努力防止事故，最終成果是百分之百成功.假如一開始就認(rèn)定百分之百沒有問題,就增大了出事故的概率.邯鄲農(nóng)行案邯鄲農(nóng)業(yè)銀行兩個工作人員挪用國家資金買體育彩票,血本無歸逃跑，被抓回來判了死刑.

臨死之前還覺得買了諸多張彩票持續(xù)不中獎“太令人意外”.我由此想到如下數(shù)學(xué)題：假如中獎率10%,如下哪件事概率大：(1)

買一張就中獎.

(2)

持續(xù)買20張全不中.

計算措施很簡樸,成果也會“太令人意外”.

深入計算:中獎率千分之一，連買張不中獎,

算出概率成果與e=2.71828...有關(guān),也令人意外.行李箱密碼失而復(fù)得一位同事無意中把行李箱密碼搞亂了,問需要試多少次才能重新找回密碼.

我說,你只是不小心搞亂，一定改得不多,

很也許只改一位,只要試30次.

她試了10次就找回了,說本來密碼是000，改成900了.我說:看來不僅只改一位,很也許只改一格（加1或減1)，只要試6次就行了.總之，離本來密碼越近的概率越大,按照概率從大到小的次序試驗,反正不需要試1000次.千手觀音幾只手重慶大足石刻千手觀音真有近千只手,姿態(tài)方向各異,難以排序數(shù)清.

古代一位工匠想了一種絕妙措施：每只手貼一張金箔紙,同步在竹簽桶里放一支竹簽.所有的手都貼上金箔紙了,再數(shù)竹簽有1007支,因此手有1007只.

工匠的措施就是建立一一對應(yīng)：手與金箔一一對應(yīng)，金箔與竹簽一一對應(yīng)，一一對應(yīng)的集合元素同樣多.由此可以講整數(shù)集合與偶數(shù)集合及有理數(shù)集合一一對應(yīng)，與實數(shù)集合不也許對應(yīng).人擠成照片之維數(shù)變化與俄羅斯代數(shù)學(xué)家共進(jìn)晚餐,問他吃什么主食,rice

or

noodle.

他聽不懂noodle,我解釋:

noodle

is

1-dimensional.立即就懂了.重慶人描述公共汽車擁擠：把人都擠成照片了.

三維擠成二維，體積擠成0.代數(shù)課舉這兩個例子講維數(shù).還用來講行列式：三階行列式是平行六面體體積.

假如兩列相等，兩條棱重疊,也擠成照片，行列式當(dāng)然為0.幾把尺子量乾坤平面向量雖然無窮多,

但可以寫成兩把尺子e1(往東一米)和e2(往北一米)常數(shù)倍之和a=xe1+ye2,量出兩個數(shù)構(gòu)成坐標(biāo)(x,y)代表a.

因此是“兩把尺子量天下”.空間向量增長一把尺子e3(往上1米),三把尺子量乾坤.

兩把尺子量出2維空間,三把尺子量出三維空間.

兔子數(shù)列(斐波那契數(shù)列)可以分解為兩個等比數(shù)列之和來求通項公式，兩個等比數(shù)列作為兩把尺子量兔子數(shù)列.明星做廣告與非歐幾何明星做廣告的產(chǎn)品有時候會被揭發(fā)為假冒偽劣.

明星或他們的代言人就會辯解.

`“明星不是萬能的,不也許鑒別這些產(chǎn)品，不應(yīng)當(dāng)承擔(dān)責(zé)任?！辈贿^,當(dāng)明星做廣告的時候,為何不說自己不是萬能，反而努力讓人相信自己萬能，并且因“萬能”而獲得了巨額酬金，同理可證他們應(yīng)當(dāng)因“萬能”而承擔(dān)責(zé)任賠償損失。這是最基本的邏輯。按照同樣的邏輯，可以讓你對深奧難懂的非歐幾何有所理解。非歐幾何有矛盾嗎歐幾里得將復(fù)雜的幾何歸結(jié)為少數(shù)顯然的公理。其中一條公理（平行公理）不夠顯然：平面上過已知直線a外一點P只能作一條直線b與a不相交。有人企圖用反證法證明這個結(jié)論，假定過P有兩條直線與a不相交，推出了諸多看似荒唐但并不矛盾的結(jié)論。沒推出矛盾，不等于沒有矛盾。

終于證明了：只要歐氏幾何無矛盾，非歐幾何也無矛盾，兩者同生同死。我們還用一首詩簡介了另一種非歐幾何--球面幾何。第三章凌波微步微積分加減乘除算正弦兩首詩講微分學(xué).

一首詩《微分》說：“函數(shù)千千萬萬，一次最簡樸”.

舉的例子是用一次函數(shù)x近似替代sinx,一次項x就是微分,一次項系數(shù)1就是導(dǎo)數(shù).其實就是用弦長2sinx近似替代弧長2x,劉徽割圓早就做過的.

假如x比較大,就用更高次的多項式x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-...替代sinx,靠升高次數(shù)減少誤差，這就是《泰勒展開》詩所說：“我有乘除加減,翱翔天地間”，多項式只算加減乘除。圓周率引出的積分學(xué)在區(qū)間[0,1]上計算曲線y=(1-x^2)^{1/2}與x軸之間的面積,就是圓周率的1/4.將區(qū)間[0,1]提成諸多小段,每小段上函數(shù)值近似當(dāng)作不變,這就是《定積分》詩說的“平平淡淡分秒”，加起來就得到高下不平的圓弧下方的面積，就是詩中所說“編制百味人生”.將函數(shù)當(dāng)作速度，積分就是旅程.另一首詩“量天何須苦登高”說不必苦苦編制旅程，而是找一種函數(shù)求導(dǎo)等于速度，就是原函數(shù).三次方程變一次把解三次方程x^3+x-3=0作為微積分的導(dǎo)航.

能否將三次項x^3直接砍掉,變成一次方程x-3=0來求解?

想法近乎瘋狂，卻有合理的成分：假如|x|<1，|x^3|比|x|小得多,就可以砍掉.發(fā)現(xiàn)

1<X<U<p>多項式迫近函數(shù)第3.1節(jié)已經(jīng)給出了多項式T(x)迫近sinx,但沒有講T(x)怎樣算出來.為了估計用x近似替代sinx的誤差e(x)=x-sinx,求導(dǎo)數(shù)e(x)’=1-cosx=2[sin(x/2)]^2<

(x^2)/2,不等式兩邊求原函數(shù)得x-sinx=e(x)sinx>x-x^3/6.

由sin(x/2)約等于x/2還可得sinx約等于x-x^3/6.

對x-sinx多次求導(dǎo)可得到更高次數(shù)的T(x).舍近求遠(yuǎn)大智慧光的直線傳播和反射定律都是走的旅程最短的路線，折射卻舍近求遠(yuǎn)，不走直線走折線.

是不是光聰穎一時糊涂一時,碰到水就腦袋進(jìn)水變傻了?

否則,光在空氣中速度高,水中速度低,在速度高的空氣中多走一段，速度低的水中少走一段,多走了旅程卻節(jié)省了時間.

怎樣的路線最省時間?

列出算式求導(dǎo).這是運用導(dǎo)數(shù)求最小值的經(jīng)典例子.蜜蜂勝過數(shù)學(xué)家大自然萬物爭優(yōu)各顯神通.光線選擇最省時間的路線，露珠形成表面積最小的球形，蜜蜂建造蜂房選擇最省建筑材料的形狀和角度.

列出函數(shù)式可以在容積不變的前提下求出表面積最小的角度，既可以用微分學(xué)求導(dǎo),也可以用中學(xué)知識通過一元二次方程有實根的鑒別式來求最小值.歷史上數(shù)學(xué)家第一次算出來的答案與蜜蜂只差2’,后來發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)用表不夠精確差了2‘，蜜蜂完全對的.

第四章代數(shù)與信息安全小學(xué)算術(shù)中的費馬定理1/7化成無限循環(huán)小數(shù)a=0.142857...的循環(huán)節(jié)D=142857有奇妙的性質(zhì)。分?jǐn)?shù)1/p化成的小數(shù)“a是循環(huán)小數(shù)”描述為：小數(shù)點右移d位得到的新的小數(shù)部分與移動之前相似，翻譯為代數(shù)運算：10^da-a=(10^d-1)/p=D是整數(shù)，也就是循環(huán)節(jié)。循環(huán)節(jié)長度d就是使10^d被p除余1的最小正整數(shù)。按照費馬小定理，當(dāng)素數(shù)p不整除10時，10^{p-1}被p除余1，循環(huán)節(jié)長度d是p-1的因子。循環(huán)節(jié)中的群論在整數(shù)除以n的n個余數(shù){0,1,2,...,n-1}構(gòu)成的集合Z_n中定義加減乘法：按一般整數(shù)計算和差積之后再除以n求余數(shù)。1/n循環(huán)節(jié)長度d

就是使10^d的余數(shù)等于1的最小正整數(shù)。1/7的循環(huán)節(jié)D=142857尚有許多別的奇妙性質(zhì)：D的2,3,4,5,6倍都可以由D輪換出來，平均提成兩段之和142+857=999和三段之和14+28+57=99都由9構(gòu)成。這些性質(zhì)都可以通過Z_n中的乘法性質(zhì)得到解釋。密碼大戰(zhàn)凱撒登場公元前古羅馬將軍凱撒發(fā)明過一種密碼.

假如將字母表中26個字母a,b,c,...,z用前26個非負(fù)整數(shù)表達(dá),他的加密措施是將每個整數(shù)X變成X+3再除以26求余數(shù)得到Y(jié),記作Y≡X+3.解密措施自然就是X≡Y-3.為了加強保密性,可以采用更復(fù)雜的函數(shù),例如Y≡3X+5.

解密措施就應(yīng)當(dāng)將3X≡Y-5兩邊乘某個整數(shù)消去3得到X.由9x3=27≡1懂得乘9可以消去,得到解密函數(shù)X≡9(Y-5).福爾摩斯破凱撒福爾摩斯偵探案中有一種破譯密碼的故事.

編制密碼的人將每個英文字母用一種姿勢的小人代表.不一樣姿勢的小人代表不一樣的字母？小人的姿勢可以有無窮多，怎么破譯?

福爾摩斯的妙招是：記錄哪一種姿勢的小人出現(xiàn)得最多，這種小人就代表英文字母e,

由于英文文章出現(xiàn)最多的字母是e.

然后再根據(jù)故事情景和上下文破譯了其他字母.雖然是小說創(chuàng)作，但這個破譯原理是科學(xué)的.公開的密碼密碼應(yīng)當(dāng)保密，豈能公開？不過，假如你但愿諸多素不相識的商人向你發(fā)信討論商業(yè)合作業(yè)務(wù)，信件內(nèi)容又但愿保密，他怎樣加密才能讓你讀懂？除非你將加密措施向全社會公開，讓每個人都能用這種措施加密之后給你發(fā)信，不過都不懂得怎樣解密,只有你可以解密.

就好比你在公共場所設(shè)置一種信箱，每個人都可以將信扔進(jìn)去，但都不能拿出來，只有你有鑰匙可以打開門拿出來.

這就是公開密鑰.老祖宗留下解密法寶本課程簡介的公開密鑰的保密原理是：求兩個很大的素數(shù)p,q的乘積n=pq很輕易，要由n分解成p,q很難.

向社會公布n及一種正整數(shù)h,加密措施是將明文分段用不不小于n的非負(fù)整數(shù)X代表.

將其中每X的h次冪除以n求余數(shù)Y,各個Y構(gòu)成密文.大家都不能由Y算出X,只有你可以求出另一種指數(shù)d，將Y^d除以n求余數(shù)得到X.

怎樣求d?

需要用到老祖宗歐幾里得的輾轉(zhuǎn)相除法.指鹿為馬之幼兒版--糾錯碼有一位父親吹噓他的兩歲小孩博比認(rèn)識所有的動物，而博比卻在識別畫冊上的動物時將長頸鹿、老虎、獅子分別認(rèn)成馬、貓和狗,將黑猩猩認(rèn)成“父親”。博比不認(rèn)識長頸鹿、老虎、獅子、黑猩猩，就將