四川省成都市李冰中學高三數(shù)學文期末試題含解析

四川省成都市李冰中學高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，集合，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C考查集合的運算。，，考查交集的定義，畫出數(shù)軸可以看出。2.已知為第二象限角，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.若復數(shù)z=﹣+i，則z2的共軛復數(shù)為（） A．﹣﹣i B． ﹣+i C． ﹣1 D． 1參考答案：B4.函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C試題分析：,,;;,所以C正確.考點：1對數(shù)的計算;2對數(shù)的單調(diào)性.5.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B6.4．將函數(shù)的圖像向左平移個長度單位后，所得到的圖像關于（

）對稱.A．軸

B．原點（0，0）

C．直線

D．點

參考答案：A：因為，向左平移個長度單位后，所得到的圖像解析式為y=2cosx為偶函數(shù)，所以關于y軸對稱，則選A.7.設又是一個常數(shù)，已知當或時，只有一個實根，當時，有三個相異實根，給出下列命題：

①和有一個相同的實根；

②和有一個相同的實根；

③的任一實根大于的任一實根；

④的任一實根小于的任一實根；其中正確命題的個數(shù)為

（

）

A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：答案：A8.復數(shù)在復平面上對應的點位于()A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：A略9.宋元時期數(shù)學名著《算學啟蒙》中有關于“松竹并生”的問題：松長五尺,竹長兩尺,松日自半,竹日自倍，松竹何日而長等.如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的n等于（

）A.2

B.3C.4

D.5參考答案：C10.已知，函數(shù)的圖象如右圖所示，則函數(shù)的圖象可能為

參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設全集某產(chǎn)品的廣告費用與銷售額的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用（萬元）3456銷售額（萬元）25304045根據(jù)上表可得回歸方程中的為7.據(jù)此模型預報廣告費用為10萬元時銷售額為

（萬元）.參考答案：73.5易知：，因為=7，把點代入回歸方程，得，所以，當x=10時，。12.已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，同時a9，a1，a5成等比數(shù)列，且a1+3a5+a9=20，則a13=

．參考答案：28【考點】8M：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【分析】設{an}是公差d不為零的等差數(shù)列，運用等差數(shù)列的中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式，可得首項和公差的方程，解方程可得a1=﹣8，d=3，再由等差數(shù)列的通項公式即可得到所求值．【解答】解：{an}是公差d不為零的等差數(shù)列，a9，a1，a5成等比數(shù)列，可得a12=a9a5，即有a12=（a1+8d）（a1+4d），化為3a1+8d=0，①a1+3a5+a9=20，可得a1+3（a1+4d）+a1+8d=20，即有a1+4d=4②由①②可得a1=﹣8，d=3．a(chǎn)n=a1+（n﹣1）d=﹣8+3（n﹣1）=3n﹣11，n∈N*，a13=3×13﹣11=28．故答案為：28．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式的運用，等比數(shù)列中項的性質(zhì)，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．13.下列命題中，正確的命題有．①回歸直線恒過樣本點的中心，且至少過一個樣本點；②將一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)據(jù)都加一個相同的常數(shù)后，方差不變；③用相關指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越接近0，說明模型的擬合效果越好；④用系統(tǒng)抽樣法從160名學生中抽取容量為20的樣本，將160名學生從1～160編號，按編號順序平均分成20組（1～8號，9～16號，…，153～160號），若第16組抽出的號碼為126，則第一組中用抽簽法確定的號碼為6號．參考答案：②④【考點】BK：線性回歸方程．【分析】根據(jù)回歸直線恒過樣本點的中心，不一定過樣本點判斷①錯誤；根據(jù)方差是表示數(shù)據(jù)波動大小的量，判斷②正確；用相關指數(shù)R2刻畫回歸效果時，R2越接近1說明模型的擬合效果越好判斷③錯誤；根據(jù)系統(tǒng)抽樣原理求出第1組中抽取的號碼值，判斷④正確．【解答】解：對于①，回歸直線恒過樣本點的中心，不一定過任一樣本點，∴①錯誤；對于②，因為方差是表示數(shù)據(jù)波動大小的量，將一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)都加一個相同的常數(shù)后，方差不變，∴②正確；對于③，用相關指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越接近1，說明模型的擬合效果越好，∴③錯誤；對于④，根據(jù)系統(tǒng)抽樣原理，樣本間隔為=8，第16組抽出的號碼為15×8+a0=126，解得a0=6，即第1組中抽取的號碼為6號，④正確．綜上，正確的命題序號是②④．故答案為：②④．14.在△ABC中，|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F(xiàn)為BC的三等分點，則?=．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【專題】平面向量及應用．【分析】根據(jù)題意，得到三角形為直角三角形，由、求出，，即可求出?的值．【解答】解：由于在△ABC中，|+|=|﹣|，則∠BAC=90°，由于E，F(xiàn)為BC的三等分點，則=﹣，=，，又有=，=，則=，=，又由AB=2，AC=1，故?==故答案為：．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的運算，熟練掌握向量的運算法則和數(shù)量積運算是解題的關鍵．15.已知，則=

。參考答案：416.(幾何證明選講選做題)如圖4所示，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，過作圓的切線，過A作的垂線AD，垂足為D，則∠DAC=

．參考答案：略17.在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往臨近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)，現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用，每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛甲型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺，若每輛至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為

元.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，函數(shù)的最大值為最小值為，求和的值，并求出使取得最大值和最小值時的值.參考答案：19.已知曲線的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程是：

.（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程，直線的普通方程；

（Ⅱ）將曲線橫坐標縮短為原來的，再向左平移1個單位，得到曲線曲線，求曲線上的點到直線距離的最小值.

參考答案：(Ⅰ)曲線的方程為，直線的方程是：

…4分（Ⅱ）將曲線橫坐標縮短為原來的，再向左平移1個單位，得到曲線曲線的方程為，設曲線上的任意點到直線距離.到直線距離的最小值為。

…10分20.已知右焦點為F的橢圓M：+=1（a＞）與直線y=相交于P，Q兩點，且PF⊥QF．（1）求橢圓M的方程：（2）O為坐標原點，A，B，C是橢圓E上不同三點，并且O為△ABC的重心，試探究△ABC的面積是否為定值，若是，求出這個定值；若不是．說明理由．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．【分析】（1）設F（c，0），P（t，），Q（﹣t，），代入橢圓方程，由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，解方程可得a=2，c=1，即可得到所求橢圓方程；（2）設直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，運用韋達定理，由O為△ABC的重心，可得=﹣（+），可得C的坐標，代入橢圓方程，可得4m2=3+4k2，由弦長公式和點到直線的距離公式可得三角形的面積，化簡整理，可得定值；再驗證直線AB的斜率不存在，即可得到△ABC的面積為定值．【解答】解：（1）設F（c，0），P（t，），Q（﹣t，），代入橢圓方程可得+=1，即t2=a2①且PF⊥QF，可得?=﹣1，即c2﹣t2=﹣，②由①②可得c2=a2﹣．又a2﹣c2=3，解得a=2，c=1，即有橢圓方程為+=1；（2）設直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程3x2+4y2=12，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1x2=，x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由O為△ABC的重心，可得=﹣（+）=（，﹣），由C在橢圓上，則有3（）2+4（﹣）2=12，化簡可得4m2=3+4k2，|AB|=?=?=?，C到直線AB的距離d==，S△ABC=|AB|?d=?=?=．當直線AB的斜率不存在時，|AB|=3，d=3，S△ABC=|AB|?d=．綜上可得，△ABC的面積為定值．21.（14分）在斜三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且.求角A；若，求角C的取值范圍。參考答案：解析：⑴∵，…2分又∵，∴而為斜三角形，∵，∴.

………………4分∵，∴

.

……6分⑵∵，∴

…12分即，∵，∴.…………………14分22.某高校在2013年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組得到的頻率分布表如下：組號分組頻數(shù)頻率第一組[160，165）50.050第二組[165，170）a0.350第三組[170，175）30b第四組[175，180）c0.200第五組

100.100合計

1001.00（1）為了能選拔出優(yōu)秀的學生，高校決定在筆試成績高的第三、四、五組中用分層抽樣法抽取6名學生進入第二輪面試，試確定a，b，c的值并求第三、四、五組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試；（2）在（1）的前提下，學校決定在6名學生中隨機抽取2名學生接受A考官的面試，求第四組中至少有一名學生被A考官面試的概率．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式；頻率分布直方圖．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】本題的關鍵是找到頻率分布直方圖每一組的頻數(shù)，在根據(jù)古典概型的計算公式求得概率．【解答】解：（1）由頻率分布表知a=100×0.35=35，，c=100×0.2=20因為第三、四、五組共有60名學生，所以利用分層抽樣法在60名學生中抽取6名學生，每組分別為：第三組人，第四組人，第五組人．所以第三、四、五組分別抽取3人、2人、1人進入第二輪面試．（2）設第三組的3名學生為A1、A2、A3，第四組的2名學生為B1、B2，第五組的1名學生為C