【數(shù)學(xué)課件】空間向量及其線性運算2 2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

空間向量及其線性運算一二三教學(xué)目標(biāo)經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的相關(guān)概念經(jīng)歷由平面向量的線性運算與法則推廣到空間向量的過程，掌握空間向量的線性運算掌握空間向量的線性運算與簡單運用教學(xué)目標(biāo)重難點、易錯點重點掌握空間向量的線性運算難點掌握空間向量的線性運算與簡單運用易錯點空間向量的線性運算回顧引入：平面向量1、定義：平面內(nèi)既有大小又有方向的量。幾何表示法:用有向線段表示字母表示法：用小寫字母表示，或者用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。相等向量：長度相等且方向相同的向量ABCD2、表示法：2、平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算向量加法的三角形法則ab向量加法的平行四邊形法則ba向量減法的三角形法則aba－ba＋ba(k>0)ka(k<0)k向量的數(shù)乘a首尾相接,首尾連共起點,對角線共起點,連終點,指向被減向量回顧引入3、平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算律加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：回顧引入推廣:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量；（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量?；仡櫼隖1F2F1=10NF2=15NF3F3=15N新課引入新知探究問題1平面向量是什么？你能類比平面向量給出空間向量的概念嗎？平面向量的概念空間向量的概念

平面內(nèi)，既有大小又有方向的量，稱為平面向量，平面向量的大小叫做向量的長度或模，記作或|a|.空間中，既有大小又有方向的量，稱為空間向量，空間向量的大小叫做向量的長度或模，記作或|a|.空間向量的有關(guān)概念新知探究問題2如何表示平面向量？你能類比平面向量的表示，給出空間向量的表示嗎？平面向量的表示法空間向量的表示法

(1)有向線段(1)有向線段A(起點)B(終點)a(2)字母a，b，c，…(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y)(2)字母a，b，c，…(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y，z)空間向量的有關(guān)概念新知探究問題3在學(xué)習(xí)平面向量時，我們還學(xué)習(xí)了一些新的概念.你還記得有哪些嗎？你能把這些概念推廣到空間向量中嗎？平面向量的相關(guān)概念

零向量：單位向量：相等向量：相反向量：模為0的向量，記作

0；零向量的方向任意；模為1的向量；模和方向都相同的兩個向量，記作a＝b；模相同，方向相反的兩個向量，記作a＝－b；空間向量的相關(guān)概念空間向量的有關(guān)概念新知探究問題3在學(xué)習(xí)平面向量時，我們還學(xué)習(xí)了一些新的概念.你還記得有哪些嗎？你能把這些概念推廣到空間向量中嗎？平面向量的相關(guān)概念

空間向量的相關(guān)概念共線向量：方向相同或相反的兩個非零向量，叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定，零向量和任意向量共線.共線向量：若表示空間向量的有向線段所在直線平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定，零向量和任意向量共線.空間向量的有關(guān)概念新知探究

√√√××××空間向量的有關(guān)概念問題1：平面向量的線性運算由哪些？我們?nèi)绾窝芯窟@些運算的？

空間向量的線性運算平面向量的線性運算由加法、減法和數(shù)乘運算。我們先研究了它們的定義及運算法則，再研究它們的運算律。問題2：平面向量的加法、減法和數(shù)乘運算的定義及運算法則分別是什么？你能類比它們得出空間向量的加法、減法和數(shù)乘運算的定義及運算法則嗎？

平面向量的線性運算空間向量的線性運算1.加、減運算：求兩個平面向量的和與差的運算。法則：三角形和平行四邊形法則1.加、減運算：求兩個空間向量的和與差的運算。法則：三角形和平行四邊形法則平面向量的線性運算空間向量的線性運算2.數(shù)乘運算：實數(shù)λ與平面向量a的積是一個向量，記作λa，起長度和方向規(guī)定如下：。①丨λa丨=丨λ丨丨

a丨②若λ＞0，λa與a方向相同；若λ＜0，λa與a方向相反；若λ=0，λa=0.2.數(shù)乘運算：實數(shù)λ與空間向量a的積是一個向量，記作λa，起長度和方向規(guī)定如下：。①丨λa丨=丨λ丨丨

a丨②若λ＞0，λa與a方向相同；若λ＜0，λa與a方向相反；若λ=0，λa=0.問題3：平面向量線性運算的運算律有哪些？你能類比它們得到空間向量線性運算的運算律嗎？

平面向量的線性運算空間向量的線性運算運算律：①交換律：a+b=b+a②結(jié)合律：a+(b+c)=(a+b)+c

λ(μa)=(λμ)a

③分配律：(λ+μ)a=λa+μa

λ(a+b)=λa+λb運算律：①交換律：a+b=b+a②結(jié)合律：a+(b+c)=(a+b)+c

λ(μa)=(λμ)a

③分配律：(λ+μ)a=λa+μa

λ(a+b)=λa+λb猜想問題：如何證明空間向量加法結(jié)合律？

∴a+(b+c)=(a+b)+c問題：如何證明空間向量加法結(jié)合律？

結(jié)論：一般地，對于三個不共面的向量a，b，c，以點O為起點，a，b，c為鄰邊做平行六面體，則a，b，c的和等于以O(shè)為起點的平行六面體的體對角線所示的向量。問題

平面向量共線的充要條件是什么？它適用于空間向量嗎？提示對任意兩個平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb，由于空間向量共線的定義與平面向量相同，因此也適用于空間向量.1.對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使

.2.如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，可知

＝λa，把與向量a平行的非零向量稱為直線l的

，直線l上任意一點都可以由直線l上的一點和它的方向向量表示.a＝λb方向向量知識梳理注意點：(1)直線可以由其上一點和它的方向向量確定.(2)向量a，b共線時，表示向量a，b的兩條有向線段不一定在同一條直線上.解方法一

∵M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，方法二∵M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，反思感悟向量共線的判定及應(yīng)用(1)判斷或證明兩向量a，b(b≠0)共線，就是尋找實數(shù)λ，使a＝λb成立，為此常結(jié)合題目圖形，運用空間向量的線性運算法則將目標(biāo)向量化簡或用同一組向量表達.(2)判斷或證明空間中的三點(如P，A，B)共線的方法：是否存在實數(shù)λ，例析

當(dāng)堂檢測：1、下列說法正確的