自編高數(shù)ppt課件（修改版）上冊(cè)第四章D4習(xí)題課

習(xí)題課一、與積分概念有關(guān)的問題的解法二、求不定積分的基本方法積分計(jì)算

第四章三、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法四、幾種特殊類型的積分習(xí)題課一、與積分概念有關(guān)的問題的解法二、求不定積分的基本方法一、與積分概念有關(guān)的問題的解法1.用定積分概念與性質(zhì)求極限2.用定積分性質(zhì)估值3.與變限積分有關(guān)的問題例1.求解:

因?yàn)闀r(shí),所以利用夾逼準(zhǔn)則得一、與積分概念有關(guān)的問題的解法1.用定積分概念與性質(zhì)求極限1)思考例1下列做法對(duì)嗎?利用積分中值定理不對(duì)!因?yàn)橐蕾囉谇艺f明:2)

此類問題放大或縮小時(shí)一般應(yīng)保留含參數(shù)的項(xiàng).

如,故沒理由認(rèn)為1)思考例1下列做法對(duì)嗎?利用積分中值定理不對(duì)!因?yàn)榻猓簩?shù)列適當(dāng)放大和縮小，以簡(jiǎn)化成積分和形式已知利用夾逼準(zhǔn)則可知(1998考研)例2.求解：將數(shù)列適當(dāng)放大和縮小，以簡(jiǎn)化成積分和形式已知利用夾逼準(zhǔn)則思考:提示:由上題故思考:提示:由上題故練習(xí):

1.求極限解：原式2.

求極限提示：原式左邊=右邊練習(xí):1.求極限解：原式2.求極限提示：原式左邊=右例3.估計(jì)下列積分值解:

因?yàn)椤嗉蠢?.估計(jì)下列積分值解:因?yàn)椤嗉蠢?.

證明證:

令則令得故例4.證明證:令則令得故例5.設(shè)在上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，試證都有不等式證明：顯然時(shí)結(jié)論成立.(用積分中值定理)當(dāng)時(shí),故所給不等式成立.明對(duì)于任何例5.設(shè)在上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，試證都有不等式證明：顯然時(shí)例6.且由方程確定y

是x

的函數(shù),求解：方程兩端對(duì)x求導(dǎo),得令x=1,得再對(duì)y求導(dǎo),得故例6.且由方程確定y是x的函數(shù),求解：方程兩端對(duì)例7.求可微函數(shù)f(x)使?jié)M足解:

等式兩邊對(duì)

x

求導(dǎo),得不妨設(shè)f(x)≠0,則例7.求可微函數(shù)f(x)使?jié)M足解:等式兩邊對(duì)x求注意f(0)=0,得注意f(0)=0,得例8.

求多項(xiàng)式f(x)

使它滿足方程解:

令則代入原方程得兩邊求導(dǎo):可見f(x)應(yīng)為二次多項(xiàng)式,設(shè)代入①

式比較同次冪系數(shù),得故①再求導(dǎo):例8.求多項(xiàng)式f(x)使它滿足方程解:令則代入原方二、求不定積分的基本方法1.直接積分法通過簡(jiǎn)單變形,利用基本積分公式和運(yùn)算法則求不定積分的方法.2.換元積分法

第一類換元法

第二類換元法

注意常見的換元積分類型,如掌握

P190公式(14)~(22)的推導(dǎo)方法(代換:)二、求不定積分的基本方法1.直接積分法通過簡(jiǎn)單變形,利3.分部積分法使用原則:1)由易求出v;2)比好求.一般經(jīng)驗(yàn):按“反,對(duì),冪,指,三”的順序,排前者取為u,排后者取為計(jì)算格式:列表計(jì)算3.分部積分法使用原則:1)由易求出v;2)比好求多次分部積分的規(guī)律快速計(jì)算表格:特別:當(dāng)

u為n次多項(xiàng)式時(shí),計(jì)算大為簡(jiǎn)便.多次分部積分的規(guī)律快速計(jì)算表格:特別:當(dāng)u為n例9.

求解:原式例9.求解:原式例10.

求解:原式分析:例10.求解:原式分析:例11.

求解:原式分部積分例11.求解:原式分部積分例12.

設(shè)解:令求積分即而例12.設(shè)解:令求積分即而例13.

求解:例13.求解:例14.

求解:取說明:此法特別適用于如下類型的積分:例14.求解:取說明:此法特別適用于如下類型的積分:例15.

證明遞推公式證:注:或例15.證明遞推公式證:注:或例16.

求解:設(shè)則因連續(xù),得記作得利用例16.求解:設(shè)則因連續(xù),得記作得利用例17.設(shè)解:為的原函數(shù),且求由題設(shè)則故即,因此故又例17.設(shè)解:為的原函數(shù),且求由題設(shè)則故即,因此故又三、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法1.熟練掌握定積分計(jì)算的常用公式和方法2.注意特殊形式定積分的計(jì)算3.利用各種積分技巧計(jì)算定積分4.有關(guān)定積分命題的證明方法思考:

下列作法是否正確?三、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法1.熟練掌握定積分計(jì)算的常用例18.

求解:

令則原式例18.求解:令則原式例19.

選擇一個(gè)常數(shù)c,使解:

令則因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù),故選擇c使即可使原式為0.例19.選擇一個(gè)常數(shù)c,使解:令則因?yàn)楸环e函數(shù)為奇例20.

設(shè)解:

例20.設(shè)解:例21.

如圖,曲線C的方程為解:

是它的一個(gè)拐點(diǎn),線,其交點(diǎn)為(2,4),設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),計(jì)算定積分直線l1與l2

分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處的切(2005考研)＝043211234xO例21.如圖,曲線C的方程為解:是它的一個(gè)拐點(diǎn),例22.若解:

令試證:則例22.若解:令試證:則因?yàn)閷?duì)右端第二個(gè)積分令綜上所述因?yàn)閷?duì)右端第二個(gè)積分令綜上所述例23.

證明恒等式證:

令則因此又故所證等式成立.例23.證明恒等式證:令則因此又故所證等式成立.例24.試證使分析:即證故作輔助函數(shù)至少存在一點(diǎn)即例24.試證使分析:即證故作輔助函數(shù)至少存在一點(diǎn)即證明:

令在上連續(xù),在至少使即因在上連續(xù)且不為0,從而不變號(hào),因此故所證等式成立.故由羅爾定理知,存在一點(diǎn)證明:令在上連續(xù),在至少使即因在上連續(xù)且不為0,從而不思考:

本題能否用柯西中值定理證明?如果能,怎樣設(shè)輔助函數(shù)?要證:提示:設(shè)輔助函數(shù)例15思考:本題能否用柯西中值定理證明?如果能,怎樣設(shè)輔助例25.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且(1)在(a,b)內(nèi)

f(x)>0;(2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)

,使

(3)在(a,b)內(nèi)存在與

相異的點(diǎn)

,

使(2003考研)例25.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,證:

(1)

由f(x)在[a,b]上連續(xù),知

f(a)=0.所以f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增,因此(2)

設(shè)滿足柯西中值定理?xiàng)l件,于是存在證:(1)由f(x)在[a,b]上連續(xù),知f即(3)

因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中結(jié)論得因此得即(3)因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2例26.設(shè)證:

設(shè)且試證:則故

F(x)單調(diào)不減,即②成立.②例26.設(shè)證:設(shè)且試證:則故F(x)單調(diào)不減,四、幾種特殊類型的積分1.一般積分方法有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和指數(shù)函數(shù)有理式指數(shù)代換三角函數(shù)有理式萬能代換簡(jiǎn)單無理函數(shù)三角代換根式代換四、幾種特殊類型的積分1.一般積分方法有理函數(shù)分解多項(xiàng)式2.需要注意的問題(1)一般方法不一定是最簡(jiǎn)便的方法,(2)初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù),要注意綜合使用各種基本積分法,簡(jiǎn)便計(jì)算.因此不一定都能積出.例如,2.需要注意的問題(1)一般方法不一定是最簡(jiǎn)便的方法,例27.

求解:令則原式例27.求解:令則原式例28.

求解:令比較同類項(xiàng)系數(shù)