2020-2021學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末測(cè)試卷01（北師大版河南專(zhuān)用）（解析版）

北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末測(cè)試卷01

一、選擇題（共10小題，每小題3分，計(jì)30分每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）

1.（3分）下列方程中，是一元二次方程是（）

A.2廣3尸4B.V=oC.%-2A+1>0D.工=廣2

x

【分析】一元二次方程必須滿(mǎn)足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)

不為0;（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù).由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿(mǎn)

足這四個(gè)條件者為正確答案.

【解答】解：4、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程：

6、符合一元二次方程的定義，是一元二次方程；

C,含有不等號(hào)，不是一元二次方程；

以含有分式，不是一元二次方程.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要

看是否是整式方程，然后看化簡(jiǎn)后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

2.（3分）下列圖形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.//平行四邊形D.菱形

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形與中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念求解.

【解答】解：爾不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

6、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

〃、既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故此選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要中心對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸,

圖形兩部分沿對(duì)稱(chēng)軸折疊后可重合；中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180度后與

原圖重合.

3.(3分)下列由左到右變形，屬于因式分解的是()

A.x+l=x(1+A)B.(A+2)(X-2)=X-4

x

C.x-x—x(x-1)D.x-2x^1—x(x-2)+1

【分析】多項(xiàng)式的因式分解是將多項(xiàng)式變形為幾個(gè)整式的乘積形式，由此解答即可.

【解答】解：A,項(xiàng)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)式子的積，存在分式，故本選項(xiàng)不合題意；

8、右邊不是整式的積的形式，不符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)不合題意；

6；符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)符合題意；

。、右邊不是整式的積的形式，不符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的定義.今天的關(guān)鍵是掌握因式分解的定義，屬于基礎(chǔ)題型.

4.(3分)如圖，在RtA46C中，CD、龍分別是斜邊上的中線(xiàn)、高線(xiàn).若/4=25°,則/

旌的大小為()

A.50°B.40°C.30°D.25°

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NZO

2

=/4=25°,由三角形外角的性質(zhì)得到/如￡=/4+/〃。=50°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和

即可得到結(jié)論.

【解答】解：???在RtZXIBC中，而是斜邊上的中線(xiàn)，

：.CD=AD=^AB,

2

：.ZDCA=ZA=25°,

/CDE=/A+/DCA=5Q",

是斜邊上的高線(xiàn)，

J.CELAB,

：.ZCED=90°,

：./DCE=9Q°-50°=40°,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，三角形外角的性質(zhì).熟練掌握直角三角

形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

21

5.(3分)能使分式x-1的值為零的x的值是()

x2-2x+l

A._1B.x=1C.X\1X2~~~1D.X\X2~~1

【分析】分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零.

21

【解答】解：?.?分式x-1的值為零,

x^-2x+l

.\2-1=0

??<，

x2-2x+l盧0

解得。=±1,

Ix卉1

的值是-1,

故選：4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式值為零的條件，注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少.

6.(3分)若順次連接四邊形4靦各邊的中點(diǎn)所得四邊形是矩形，則四邊形ABCD一定是

()

A.矩形

B.菱形

C.對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形

D.對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形

【分析】此題要根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形中位線(xiàn)定理求解；首先根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理

知：所得四邊形的對(duì)邊都平行且相等，那么其必為平行四邊形，若所得四邊形是矩形，

那么鄰邊互相垂直，故原四邊形的對(duì)角線(xiàn)必互相垂直，由此得解.

【解答】解：已知：如右圖，四邊形夕但是矩形，且￡、尸、G、，分別是48、BC、CD、

4〃的中點(diǎn)，求證：四邊形48切是對(duì)角線(xiàn)垂直的四邊形.

證明：由于&F、G、〃分別是力氏BC、CD、4〃的中點(diǎn)，

根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得：EH//FG//BD,EF//AC//HG-.

:四邊形EFGH是矩形,即EF1FG,

：.ACLBD,

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和三角形中位線(xiàn)定理，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形利

用三角形的中位線(xiàn)定理解答.

7.（3分）不等式組（P（x-l）>x-7的解集是（）

[2x+2）3x

A.-2cx<2B.x<-2C.x22D.無(wú)解

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小無(wú)解了確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式3（*-1）>x-7,得：x>-2,

解不等式2x+223x,得：xW2,

則不等式組的解集為-2VW2,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知

“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

8.（3分）如圖，在矩形力靦中，AB=4,點(diǎn)區(qū)點(diǎn)尸分別在力〃、BC上.若四邊形

颯力為菱形，則成的長(zhǎng)為（）

C.D.5

【分析】由矩形的性質(zhì)可得N4=90°,利用勾股定理計(jì)算物的長(zhǎng)，設(shè)跖=x,根據(jù)勾股

定理列方程可得x的值，最后菱形的性質(zhì)和勾股定理可解答.

【解答】解：連接劭，交夕7于點(diǎn)。，

:四邊形力比小是矩形，

?.?力8=4,力〃=8,

?*,BD=VAB2+AD2=V42+82=4^

?.?四邊形麗為菱形，

J.EFLBD,BE=DE,0D=l.BD=2yR,

2

設(shè)BE=x,則DE=x,AE=8-x,

在RtA4應(yīng)1中，由勾股定理得：歷+疵=貳，

.\42+（4-x）W

解得：x=5,

:.DE=5,

Rt△加〃中'0E=^/DE2-OD2=A/52-（2V5）2=遙,

?.?四邊形曲》為菱形，

:.EF=2OE=2娓.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是

本題的關(guān)鍵.

9.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y=2x的圖象向上平移皿（必>0）個(gè)單位長(zhǎng)度，使

其與直線(xiàn)了=-廣4的交點(diǎn)位于第二象限，則加的取值范圍為（）

A.0<z?<2B.2<?<4C.勿>4D.m>4

【分析】將直線(xiàn)y=2x的圖象向上平移面?zhèn)€單位可得：y=2x+m,求出直線(xiàn)尸2X+勿，與

直線(xiàn)y=-戶(hù)4的交點(diǎn)，再由此點(diǎn)在第二象限可得出應(yīng)的取值范圍.

【解答】解：將直線(xiàn)y=2x的圖象向上平移w個(gè)單位可得：y=2廣卬

聯(lián)立兩直線(xiàn)解析式得：jy=2x+m

ly=-x+4

4-vm=-----

3

解得：

8-hn

尸3

即交點(diǎn)坐標(biāo)為（生列，佳也）,

33

?.?交點(diǎn)在第二象限，

,等<。

%>0,

3

解得：m>4.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換、兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，注意第二象限的點(diǎn)

的橫坐標(biāo)小于0、縱坐標(biāo)大于0.

10.（3分）如圖，在菱形4%力中，AB=5,對(duì)角線(xiàn)劭=8.點(diǎn)2點(diǎn)0分別是/6、劭上動(dòng)

點(diǎn)，則4仆網(wǎng)的最小值為（）

B.譽(yù)D.號(hào)

A.1V3C.5

【分析】連接/C交物于0,過(guò)「作見(jiàn)仍于P,則此時(shí)，zf＞圖的值最小，且最小值為

”的長(zhǎng)度，根據(jù)菱形的想知道的ACVBD,BO=LB1）=4,根據(jù)勾股定理得到AO=

2

22=3,

VAB-BO求得/°=6,根據(jù)菱形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接然交加于0,過(guò)。作于P,

則此時(shí)，4仆傳的值最小，且最小值為"的長(zhǎng)度,

:在菱形4?必中，AB=5,對(duì)角線(xiàn)被=8,

：.ACLBD,BO=工即=4,

2

?"〃=加2也2=3,

：.AC=6f

,?*S麥彤此BD=AB'CPt

2

7X6X8

CP=±--------=坦

55

...4份掰的最小值為空，

5

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用

垂線(xiàn)段最短解決最短問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用面積法求高，屬于中考?？碱}型.

二、填空題(共4小題，每小題3分，計(jì)12分)

11.(3分)因式分解：xy-4xy=.

【分析】先提取公因式燈，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解.

【解答】解：xy-4xy,

=xy(x-4y),

=xy(x+2y)(x-2y).

故答案為：xy(.x+2y)(x-2y).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提

取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止.

12.(3分)如圖，已知正五邊形48。宏，連接龍，則NC%的大小為°.

【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式求出/口8,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可求出N/跳;

進(jìn)而求出/碗'的度數(shù).

【解答】解：???五邊形4比龍是正五邊形，

NEAB=NABC=，§二2）.”,地二=108。，

5

'：BA=BC,

.*.NW=36°,

:.NCBE=/ABC-/ABE=\Q8°-36°=72°,

故答案為：72.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形的內(nèi)角與外角，掌握正多邊形的內(nèi)角的計(jì)算公式、等腰

三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（3分）如圖，要在一塊長(zhǎng)20米、寬15米的矩形地面上，修建了三條寬度相等的道路

（其中兩條路與寬平行，一條路與長(zhǎng)平行）.若要使剩余部分的面積為208平方米，則道

【分析】把所修的道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個(gè)長(zhǎng)方形,

根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式列方程即可求解.

【解答】解：設(shè)道路的寬為x米，由題意有

（20-2x）（15-x）=208,

解得川=23（舍去），X2—2.

答：道路的寬為2米.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，把中間修建的道路分別平移到矩形地面

的最上邊和最左邊是做本題的關(guān)鍵.

14.（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形4?（力中，點(diǎn)￡在8。邊上，且龐=1.點(diǎn)尸是16邊

上的動(dòng)點(diǎn)，連接置將線(xiàn)段/繞點(diǎn)￡順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段國(guó).若在正方形內(nèi)還存

在一點(diǎn)則點(diǎn)M到點(diǎn)4點(diǎn)〃、點(diǎn)。的距離之和的最小值為.

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)。作QKLBC于K.首先說(shuō)明等0的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線(xiàn)1,將△血物繞點(diǎn)

〃順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到連接4MPN,PM,則△的/都是等邊三角形，推出

MA=PN,鉗)=明推出物+加+初=。附，仍7W,過(guò)點(diǎn)/V作,WJ_直線(xiàn)/于〃，根據(jù)垂線(xiàn)段最

短可知，當(dāng)用P,M,0共線(xiàn)且與胡重合時(shí)，物+M處切的值最小.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作碘8。于

?：4B=NQKE=NPEQ=90°,

:.NPEB^/QEK=9Q°,2QEK+4EQK=90",

N愉=AEQK,

■:EHEQ,

:ZBE^XEKQ(.AAS),

：.BE=QK=\,

點(diǎn)。在直線(xiàn)式、的上方到直線(xiàn)比、的距離為1的直線(xiàn)/上運(yùn)動(dòng)，

將△/1〃〃繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△放自，連接4V,PN,PM,則△/〃,￥,△〃獷都是等邊

三角形，

：.MA=PN,MD=MP,

:..MA+MggQM^aPN；

過(guò)點(diǎn)“作胡_!直線(xiàn)/于〃，

根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)N,P,M,0共線(xiàn)且與A"重合時(shí)，始+機(jī)此"的值最小，最小值

=273+3,

故答案為2?+3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短，

等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形

解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題.

三、解答題（共9小題，計(jì)58分解答應(yīng)寫(xiě)出過(guò)程）

15.（4分）解方程：f-4=6（A+2）.

【分析】先進(jìn)行整理，再根據(jù)公式法求解可得.

【解答】解：Z-4=6（x+2）.

整理得Z-6x-16=0.

；a=l,b=-6,c=-16,

.?.△=36-4XlX（-16）=100>0,

*=三畫(huà)=3±5,

2

解得小=-2,%=8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的

方法是解題的關(guān)犍.

16.（4分）尺規(guī)作圖：如圖，己知△力比；在優(yōu)1上求作一點(diǎn)〃，使得△4?與的面積

比等于18與4C的比.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【分析】根據(jù)△/劭與△力切的面積比等于AB與的比可得，〃到的距離等于〃到

/C的距離，即〃在/胡C的角平分線(xiàn)上.

【解答】解：如圖所示：

所以，〃點(diǎn)為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線(xiàn)的作法，三角形的面積以及角平分線(xiàn)的判定定理，難度適

中.

2

17.（5分）先化簡(jiǎn)（2-工）+苫二1_,然后選一個(gè)你喜歡的x值代入求值.

2

xTxX-2X+1

【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再選取使分式有意義的x的

值代入計(jì)算可得.

【解答】解：原式=[‘X.x-1]

x（x-l）x（x-l）（X-1）2

x+1,x-l

x（x-l）x+1

—_—1,

X

V且x/士L

????。?2,

則原式=上.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算

法則及分式有意義的條件.

18.（5分）如圖，正方形4?曲的對(duì)角線(xiàn)力。、劭相交于點(diǎn)。，E、b分別在煙、勿上，0E=

OF.求證：AE=BF.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到以=仍，做，證明施必△比況根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)證明結(jié)論.

【解答】證明：?.?四邊形4?5為正方形，

：.OA=OB,ACVBD,

在和△6〃尸中，

'OA=OB

<ZAOE=ZBOF>

OE=OF

：./\AOE^/\BOF（S4S）

:.AE=BF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的對(duì)角線(xiàn)

垂直、平分且相等是解題的關(guān)鍵.

19.(6分)已知關(guān)于x的一元二次方程f-2加壯=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)求)的取值范圍；

(2)如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為不，如且為+生+汨?熱=4,求必的值.

【分析】(1)根據(jù)判別式的意義得到△=4后-4(我加20,然后解不等式即可；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到為+版=2/，xtx.—nf+m,則2加■君+小=人然后解關(guān)于勿的

方程，再利用加的范圍確定勿的值.

【解答】解：(1)根據(jù)題意得△=4序-4(>'+加20,

解得mW0；

(2)根據(jù)題意得小+版=2加，x\X2—nf+m,

XI+X2+XI*X2=4,

2研療+加=4,

整理得^+3w-4=0,解得的=-4,ffk—1,

:后0,

二卬的值為-4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若的,型是一元二次方程af+6x+c=0(a#0)的

兩根時(shí)，汨+熱=-且MX2=￡.也考查了根的判別式.

aa

20.(8分)近期某地出現(xiàn)疫情.某愛(ài)心人士緊急籌集資金，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種醫(yī)療物資

送往抗疫一線(xiàn)，已知每件甲種物資的價(jià)格比每件乙種物資的價(jià)格貴10元，用350元購(gòu)買(mǎi)

甲種物資的件數(shù)恰好與用300元購(gòu)買(mǎi)乙種物資的件數(shù)相同.

(1)求甲、乙兩種物資每件的價(jià)格分別為多少元？

(2)該愛(ài)心人士計(jì)劃用不超過(guò)12500元的資金購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種醫(yī)療物資共200件，為了

盡快送到抗疫一線(xiàn)，需要承擔(dān)一定的運(yùn)費(fèi).已知甲種物資每件運(yùn)費(fèi)3元，乙種物資每件

運(yùn)費(fèi)5元，那么他將如何購(gòu)買(mǎi)才能使得運(yùn)費(fèi)最低？最低運(yùn)費(fèi)多少元？

【分析】(1)根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可以計(jì)算出甲、乙兩種物資每

件的價(jià)格分別為多少元；

(2)根據(jù)題意，可以得到運(yùn)費(fèi)與甲種物資件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)計(jì)劃用不超過(guò)12500

元的資金購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種醫(yī)療物資，可以得到甲種物資件數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)一次

函數(shù)的性質(zhì)，即可到最低運(yùn)費(fèi)，從而可以解答本題.

【解答】解：(1)設(shè)乙種物資的價(jià)格是x元/件，則甲種物資的價(jià)格為(戶(hù)10)元/件,

350=300

x+10=x

解得，x=60,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=60是原分式方程的解，

故戶(hù)10=70,

答：甲、乙兩種物資每件的價(jià)格分別為70元、60元；

(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)了x件甲種物資，則購(gòu)買(mǎi)了(200-x)件乙種物資，運(yùn)費(fèi)為1元，

ir=3產(chǎn)5(200-x)=-2x+1000,

???計(jì)劃用不超過(guò)12500元的資金購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種醫(yī)療物資，

.?.70戶(hù)60(200-x)W12500,

解得，xW50,

二當(dāng)x=50時(shí).，獷取得最小值，此時(shí)片=900,200-*=150,

答：當(dāng)購(gòu)買(mǎi)甲種物資50件，乙種物資150件時(shí)，才能使得運(yùn)費(fèi)最低，最低運(yùn)費(fèi)是900元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本

題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答，注意分式方程要檢驗(yàn).

21.(8分)如圖，在。47曲中，對(duì)角線(xiàn)4C、劭相交于點(diǎn)。，ACLAB,NAOB=60°.點(diǎn)、E、

點(diǎn)?分別是破切的中點(diǎn)，連接力￡、EC、CF、FA.

(1)求證：四邊形4即1為矩形；

(2)若四=3,求矩形的面積.

BC.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OC,OB=OD,證出OE=OF,得出四邊形力的

是平行四邊形，再證即可得出結(jié)論；

(2)證△物后是等邊三角形，NOFA=N(MF=30°=ZABO,則/6=%，AF=AB=3,求

出力￡=曲=返46=加，即可得出答案.

3

【解答】(1)證明：???四邊形］豳是平行四邊形,

：.OA=OC,08=OD,

,:氤E、點(diǎn)尸分別是如、陽(yáng)的中點(diǎn)，

:.OE=LOB,OF=LOD,

22

：.OE=OF,

：.四邊形力的1是平行四邊形，

,：ACVAB,ZAOB=60°,

，//必=30°,

:.OA=LOB=OE,

2

:.AC=EF,

四邊形4A不為矩形：

(2)解：由(1)得：OA=OE=OC=OF,如=60°,4AB0=3Q°,

是等邊三角形，N的1=/必尸=30°=NABO,

J.AE^OA,4尸={6=3,

'：ACLAB,

AZ6245=90°,

:.AE=OA=^^AB=g

3

...矩形4舒的面積=//以力f=3?.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三

角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

22.(8分)如圖，直線(xiàn)人y=2e4與x軸交于點(diǎn)4與y軸交于點(diǎn)8,將直線(xiàn)A關(guān)于坐標(biāo)

原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)后得到直線(xiàn)心，人與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)〃.

(1)求直線(xiàn)心的表達(dá)式；

(2)求證：四邊形力靦為菱形；

(3)除菱形ABCD外,是否在直線(xiàn)Z上還存在點(diǎn)P,在直線(xiàn)A上還存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)B、

aA0為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)

明理由.

h：y=2x+4

J

【分析】（1）求出點(diǎn)。、〃的坐標(biāo)分別為（2,0）、（0,-4）,即可求解；

（2）由點(diǎn)4、B、C.〃的坐標(biāo)知，/f）?=J22+42=2^=BC=CD=DA,即可求解；

（3）分比、為邊、比1是對(duì)角線(xiàn)兩種情況，分別求解即可.

【解答】解：（1）直線(xiàn)/：尸;2戶(hù)4與x軸交于點(diǎn)4與y軸交于點(diǎn)8,則點(diǎn)力、8的坐

標(biāo)分別為（-2,0）、（0,4）,

將直線(xiàn)上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)后得到直線(xiàn)心則點(diǎn)C、〃的坐標(biāo)分別為（2,0）、（0,

-4）,

設(shè)直線(xiàn)W的表達(dá)式為：尸k^b,則［°=2k+b,解得卜=2,

lb=-4lb=-4

故直線(xiàn)人的表達(dá)式為：y=2x-4：

（2）由點(diǎn)/!、B、C,〃的坐標(biāo)知，AB=Q*/2遙=BggDA,

故四邊形4%》為菱形；

（3）設(shè)點(diǎn)只。的坐標(biāo)分別為（加，2/4）、（〃，2/7-4）；

而點(diǎn)5、。的坐標(biāo)分別為（0,4）、（2,0）,則初=20；

①當(dāng)6C為邊時(shí)，

則點(diǎn)8向右平移2個(gè)單位得到點(diǎn)G同樣點(diǎn)〃（。）向右平移2個(gè)單位得到點(diǎn)Q（尸）,

故研2=〃且BP=BC或m-2=n且BC=BQ（不合題意舍去），

當(dāng)m2=n且/+（2加"4-4）''=20,解得：0=2或-2（舍去），故點(diǎn)〃（2,8）；

②當(dāng)8c是對(duì)角線(xiàn)時(shí)，

0+2=m/?@且BP=BQ,

,:BgBQ,則序+（2加4-4）2=n+（2/7-8）2@,

聯(lián)立①②并解得：W=-皂，

3

故點(diǎn)。(-5,2)；

33

綜上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,8)或(-且2).

33

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等，其

中(3),要注意分類(lèi)求解，避免遺漏.

23.(10分)問(wèn)題提出

(1)如圖①，在中，/物G=90°,BC=4.若點(diǎn)"為加'的中點(diǎn)，則4"=；

問(wèn)題探究

(2)如圖②，在四邊形徵中，/物力=90°,初=4,求4c的最大值；

問(wèn)題解決

(3)如圖③，四邊形4版是即將開(kāi)發(fā)的休閑廣場(chǎng)用地，要求這一塊地必須臨一條筆直

的公路8c而建，同時(shí)考慮到后期的規(guī)劃建設(shè)，還要求/物片60°,N/Z石1=50°,AB

=AD.已知仁4而，那么這個(gè)四邊形4版的對(duì)角線(xiàn)”■是否存在最大值？若存在，求出

這個(gè)最大值；若不存在，說(shuō)明理由.

圖①圖②圖③

【分析】(1)由直角三角形的性質(zhì)可求解；

(2)取8〃中點(diǎn)￡,連接力區(qū)CE,由直角三角形的性質(zhì)可得力￡=上創(chuàng)=2="，由三角形