離散數(shù)學(xué) 代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)-1

第5章代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)

代數(shù)結(jié)構(gòu)【引例】（1）在Z集合上，x∈Z,則f(x)=-x是將x映為它的相反數(shù)。-x是由x唯一確定的，它是對(duì)一個(gè)數(shù)施行求相反數(shù)運(yùn)算的結(jié)果。這個(gè)運(yùn)算可表示為函數(shù)：

f：Z→Z

5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)（2）在R+集合上，x∈R+,則f(x)=1/x是將x映為它的倒數(shù)。1/x是由x唯一確定的，它是對(duì)R+中的一個(gè)數(shù)施行倒數(shù)運(yùn)算的結(jié)果。這個(gè)元算可以表示為函數(shù)f:R+

→R+。（3）設(shè)a,b∈R,則f(a,b)=a+b(a-b，a×b)是將兩個(gè)數(shù)a，b映為R中的唯一的一個(gè)數(shù)，它是對(duì)R中的兩個(gè)數(shù)施行加（減，乘）法運(yùn)算的結(jié)果。這個(gè)運(yùn)算可以表示為函數(shù)f:R2

→R。上述例子都是我們熟悉的數(shù)與數(shù)的運(yùn)算,它們有一個(gè)共同特征,就是其運(yùn)算結(jié)果都在原來(lái)的集合中且運(yùn)算結(jié)果是唯一的,它們都是函數(shù)。

把這種數(shù)集中的代數(shù)運(yùn)算,抽象概括推廣到一般集合上，就得到代數(shù)運(yùn)算的概念。集合中的代數(shù)運(yùn)算實(shí)質(zhì)上是集合中的一類函數(shù)。5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)二元運(yùn)算的定義及其實(shí)例定義設(shè)S為集合,函數(shù)f：S×S→S稱為S上的二元運(yùn)算,簡(jiǎn)稱為二元運(yùn)算.也稱S對(duì)f

封閉.特點(diǎn)：變量和函數(shù)值的取值限定在同一個(gè)集合上。例1

(1)N上的二元運(yùn)算：加法、乘法.(2)Z上的二元運(yùn)算：加法、減法、乘法.

(3)非零實(shí)數(shù)集R*上的二元運(yùn)算:乘法、除法.(4)設(shè)S={a1,a2,…,an},ai

°aj=ai，°為S上二元運(yùn)算.二元運(yùn)算的實(shí)例（續(xù)）

(5)設(shè)Mn(R)表示所有n階(n≥2)實(shí)矩陣的集合，即

矩陣加法和乘法都是Mn(R)上的二元運(yùn)算.(6)冪集P(S)上的二元運(yùn)算：∪,∩,－,

.(7)SS

為S上的所有函數(shù)的集合：合成運(yùn)算°.

一元運(yùn)算的定義與實(shí)例定義設(shè)S為集合，函數(shù)f：S→S稱為S上的一元運(yùn)算，簡(jiǎn)稱為一元運(yùn)算.例2(1)Z,Q和R上的一元運(yùn)算:求相反數(shù)

(2)非零有理數(shù)集Q*，非零實(shí)數(shù)集R*上的一元運(yùn)算:

求倒數(shù)

(3)復(fù)數(shù)集合C上的一元運(yùn)算:

求共軛復(fù)數(shù)

(4)冪集P(S)上,全集為S:求絕對(duì)補(bǔ)運(yùn)算~

(5)A為S上所有雙射函數(shù)的集合，A

SS:求反函數(shù)

(6)在

Mn(R)(n≥2)上，求轉(zhuǎn)置矩陣運(yùn)算符

為了簡(jiǎn)化n元運(yùn)算的表示，引入運(yùn)算符來(lái)代替函數(shù)。如符號(hào)“?！薄ⅰ?”、“·”、“Δ”、“

”等。①前綴表示法*(a)=b*(a1,a2)=b*(a1,a2,a3)=b②非前綴表示，將運(yùn)算符寫(xiě)于n個(gè)元素之間，如Z×Z→Z的加法：

f(〈2,3〉)=+(〈2,3〉)=2+3=5

通常將f(〈2,3〉)寫(xiě)成f(2,3)或2+3.5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)運(yùn)算表表示運(yùn)算

°

a1

a2

…

an

°ai

a1a2...ana1°a1

a1°a2

…

a1°ana2°a1

a2°a2

…

a2°an.........an°a1

an°a2

…

an°an

a1a2...an°a1°a2

...°an運(yùn)算表的實(shí)例例4A=P({a,b}),

,～分別為對(duì)稱差和絕對(duì)補(bǔ)運(yùn)算（{a,b}為全集）

的運(yùn)算表～的運(yùn)算表

{a}{a,b}

X

～X

{a}{a,b}

{a}{a,b}{a}

{a,b}{a,b}

{a}{a,b}{a}

{a}{a,b}{a,b}{a}

運(yùn)算表的實(shí)例（續(xù)）例5Z5={0,1,2,3,4},

,

分別為模5加法與乘法

的運(yùn)算表

的運(yùn)算表

01234

0123401234

0123412340234013401240123

01234

0000001234024130314204321例：設(shè)N3={0,1,2},則N3上的模3加法+3可以使用運(yùn)算表來(lái)表示,如表4.1所示。注意到，運(yùn)算表是對(duì)稱的，這表明運(yùn)算+3滿足交換律。+3012001211202201

定義5.2

設(shè)S是集合，n為正整數(shù)，函數(shù)f:S

S

...S→S稱為集合S上的n元運(yùn)算，整數(shù)n稱為運(yùn)算的階。從n元代數(shù)運(yùn)算的定義可知它有三點(diǎn)涵義:A中任意n個(gè)元素都有運(yùn)算結(jié)果;運(yùn)算是封閉的,即運(yùn)算結(jié)果仍在A中;結(jié)果是唯一的。5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)二元運(yùn)算的性質(zhì)定義5.3-5.11

設(shè)“*”，“

”均為集合S上的二元運(yùn)算。（1）若

x,y∈S:x*y=y*x，則稱運(yùn)算“*”在S上滿足交換律。

實(shí)數(shù)集合上的加法運(yùn)算；冪集上的交運(yùn)算。（2）若

x,y,z∈S:x*(y*z)=(x*y)*z，則稱運(yùn)算“*”在S上滿足結(jié)合律。實(shí)數(shù)集合上的加法運(yùn)算；冪集上的交運(yùn)算。

如果一個(gè)表達(dá)式中只有一種運(yùn)算，該運(yùn)算滿足結(jié)合律，則可去掉標(biāo)記運(yùn)算順序的括號(hào)：

（x+y）＋（z+w）＝x+y+z+w

5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)如果參與運(yùn)算的是同一個(gè)元素，則可以用冪的形式表示。

x*x*...*x=xn

冪運(yùn)算的性質(zhì)(m,n都為正整數(shù)，＋是正整數(shù)上的普通加法，乘是普通乘法)：

xm*xn=xm+n(xm)n=xmn（3）若

x∈A，x*x=x,則稱“*”運(yùn)算滿足冪等律

。同時(shí)稱S中的全體元素都是冪等元。冪集上的滿足冪等律；不滿足冪等律，但運(yùn)算有一個(gè)冪等元。

5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)（4）若

x,y,z∈S：x*(y

z)=(x*y)

(x*z),則稱“*”運(yùn)算對(duì)“

”運(yùn)算滿足左分配律；

(y

z)*x=(y*x)

(z*x)，則稱“*”運(yùn)算對(duì)“

”運(yùn)算滿足右分配律。若二者均成立，則稱“*”運(yùn)算對(duì)“

”運(yùn)算滿足分配律。

(5）設(shè)“*”，“

”均可交換，若

x，y∈A,有

x*(x

y)=xx

(x*y)=x

則稱運(yùn)算“*”和“

”運(yùn)算滿足吸收律。冪集上的和運(yùn)算滿足吸收律。

5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)Z,Q,R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；Mn(R)為n階實(shí)矩陣集合,n

2；P(B)為冪集；AA為A上全體函數(shù)，|A|

2.集合運(yùn)算交換律結(jié)合律冪等律Z,Q,R普通加法+有有無(wú)普通乘法

有有無(wú)Mn(R)矩陣加法+有有無(wú)矩陣乘法

無(wú)有無(wú)P(B)并

有有有交有有有相對(duì)補(bǔ)無(wú)無(wú)無(wú)對(duì)稱差有有無(wú)AA函數(shù)復(fù)合

無(wú)有無(wú)5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)集合運(yùn)算分配律吸收律

Z,Q,R普通加法+與乘法

對(duì)+可分配無(wú)+對(duì)不分配

Mn(R)矩陣加法+與乘法

對(duì)+可分配無(wú)+對(duì)不分配

P(B)并

與交

對(duì)

可分配有

對(duì)

可分配交

與對(duì)稱差

對(duì)可分配無(wú)對(duì)不分配5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)例3

設(shè)A={a,b},A上的運(yùn)算“*”、“?！狈謩e如表所示。*abababba從“*”運(yùn)算表可知，“*”是可交換的。因?yàn)?/p>

(a*a)*b=a*b=b

a*(a*b)=a*b=b

(a*b)*b=b*b=aa*(b*b)=a*a=a所以“*”是可結(jié)合的。5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)

ababaaab從“

”運(yùn)算表可知，“

”是可交換的。因?yàn)?/p>

(a

a)

b=a

b=aa

(a

b)=a

a=a(a

b)

b=a

b=aa

(b

b)=a

b=a所以“

”是可結(jié)合的。5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)（1）b

(a*b)=b

b=b(b

a)*(b

b)=a*b=b（2）a

(a*b)=a

b=a,(a

a)*(a

b)=a*a=ab

(a*a)=b

a=a,(b

a)*(b

a)=a*a=ab

(b*b)=b

a=a,(b

b)*(b

b)=b*b=aa

(a*a)=a

a=a,(a

a)*(a

a)=a*a=aa

(b*b)=a

a=a,(a

b)*(a

b)=a*a=a

所以“

”對(duì)“*”是可分配的。（由于“

”運(yùn)算滿足交換律成立，因此右分配也成立。）（3）b*(a

b)=b*a=b(b*a)

(b*b)=b

a=a故“*”對(duì)“

”是不可分配的。又由b*(b

b)=b*a=a可知“

”和“*”不滿足吸收律。由運(yùn)算表可知，“

”滿足冪等律，而“*”不滿足冪等律。5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)消去律定義設(shè)°為V上二元運(yùn)算，

x,y,zV，若x°y=x°z,且x不是零元，則y=z

若y°x=z°x,且x不是零元，則y=z那么稱°

運(yùn)算滿足消去律.實(shí)例:Z,Q,R關(guān)于普通加法和乘法滿足消去律.Mn(R)關(guān)于矩陣加法滿足消去律;冪集P(S)上

滿足消去律Zn關(guān)于模n加法滿足消去律，當(dāng)n為素?cái)?shù)時(shí)關(guān)于模n乘法滿足消去律.當(dāng)n為合數(shù)時(shí)關(guān)于模n乘法不滿足消去律.5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)二元運(yùn)算的特異元素單位元定義設(shè)°為S上的二元運(yùn)算,如果存在el（或er）

S，使得對(duì)任意x∈S都有

el°x=x(或x°er=x)，則稱el(或er)是S中關(guān)于°運(yùn)算的左(或右)幺元（單位元）.若e∈S關(guān)于°運(yùn)算既是左單位元又是右單位元，則稱e為S上關(guān)于°運(yùn)算的幺元.例：N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1

Mn(R)上加法的么元是0矩陣，乘法的幺元是單位陣

P(S)上

的么元是

，

的幺元是S5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)例：R*是非零實(shí)數(shù)集，

是R*上的二元運(yùn)算，對(duì)R*中任意a,b,有a

b＝a

則

運(yùn)算不存在左幺元，存在無(wú)數(shù)個(gè)右幺元，因此不存在幺元定理5.1設(shè)

為S上的二元運(yùn)算，el和er分別為S中關(guān)于運(yùn)算的左和右幺元，則el=er=e，且e為S上關(guān)于°運(yùn)算的惟一的幺元.

證：el=el

er=el

er=er

所以el=er,將這個(gè)幺元記作e.假設(shè)e’也是S中的幺元，則有e’=e

e’=e.惟一性得證.5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)零元

設(shè)°為S上的二元運(yùn)算,如果存在θl（或θr）∈S，使得對(duì)任意x∈S都有

θl°x=θl(或x°θr=θr)，則稱θl(或θr)是S中關(guān)于°運(yùn)算的左(或右)零元.若θ∈S關(guān)于°運(yùn)算既是左零元又是右零元，則稱θ為S上關(guān)于運(yùn)算°

的零元.類似地可以證明關(guān)于零元的惟一性定理（定理5.2）.例：N上乘法的零元是0，加法沒(méi)有零元

Mn(R)上乘法的零元是0矩陣，加法沒(méi)有零元

P(S)上

的零元是S

，

的零元是

5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)【例4.3.5】

在實(shí)數(shù)集

R中，對(duì)加法“+”運(yùn)算，沒(méi)有零元；在實(shí)數(shù)集

R中，對(duì)乘法"×"運(yùn)算，0是零元；對(duì)于全集E的子集的并"∪"運(yùn)算，E是零元；對(duì)于全集E的子集的交"∩"運(yùn)算，

是零元;5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)可逆元素及其逆元

令e為S中關(guān)于運(yùn)算°的幺元.對(duì)于x∈S，如果存在yl（或yr）∈S使得

yl

x=e（或x

yr=e），則稱yl(或yr)是x的左逆元(或右逆元

).

關(guān)于

運(yùn)算，若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，則稱y為x的逆元.