北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) （弧長及扇形的面積）圓課件教學(xué)

3.9弧長及扇形的面積

復(fù)習(xí)舊知1.已知⊙O的半徑為R，⊙O的周長是多少？⊙O的面積是多少？2.什么叫圓心角？頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角

情境導(dǎo)入如圖，某傳送帶的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為10cm.（1）轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？（2）轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)1°，傳送帶上的物品A

被傳送多少厘米？20πcmA

新知講解（3）轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)n°，傳送帶上的物品A

被傳送多少厘米?A

歸納總結(jié)O

1°的圓心角所對(duì)的弧長是_______,即______．2πR360πR180弧長公式：n°的圓心角所對(duì)的弧長l=

nπR180n°新知講解

典例精析例1制作彎形管道時(shí)，需要先按中心線計(jì)算“展直長度”再下料。試計(jì)算如圖所示的管道的展直長度，即弧AB的長度（精確到0.1mm）.典例精析解：R=40mm，n=110，

≈76.8（mm）.因此，管道的展直長度約為76.8mm.練一練如圖，在同心圓中，大圓半徑OA、OB交小圓于C、D，且OC∶OA=1∶2，則弧CD與弧AB長度之比為（）OABCDA.1∶1B.1∶2C.2∶1D.1∶4B探究新知在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上栓著一條長3m的繩子，繩子的另一端栓著一只狗。（1）這只狗的最大活動(dòng)區(qū)域有多大？n°（2）如果這只狗只能繞柱子轉(zhuǎn)過n°角，那么它的最大活動(dòng)區(qū)域有多大？

探究新知一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.n°RRl扇形的周長是_______.扇形的面積是____________.在（2）問里狗活動(dòng)的區(qū)域是一個(gè)什么圖形呢？2R+l思考S=πR2

（2）圓心角為1°的扇形的面積是多少?（3）圓心角為n°的扇形的面積是圓心角為1°的扇形的面積的多少倍？n倍（4）圓心角為n°的扇形的面積是多少?（1）半徑為R的圓,面積是多少？歸納總結(jié)OBA如果扇形的半徑為R，圓心角為n°，那么扇形面積的計(jì)算公式為

①公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的；②公式要理解記憶（即按照上面推導(dǎo)過程記憶）.注意想一想扇形的弧長公式與面積公式有聯(lián)系嗎？思考（1）當(dāng)已知弧長l和半徑R，求扇形面積時(shí)，應(yīng)選用（2）當(dāng)已知半徑和圓心角的度數(shù)，求扇形面積時(shí)，應(yīng)選用典例精析

練一練已知扇形的圓心角為120o，半徑為6，則扇形的弧長是（），扇形面積為（），陰影部分的面積為

.A.3πB.4πC.5πD.12πBD

方法點(diǎn)撥左圖：

S弓形=S扇形-S三角形右圖：S弓形=S扇形+S三角形OO弓形的面積=扇形的面積±三角形的面積弓形面積公式課堂練習(xí)

CB課堂練習(xí)

2π180°4.若一個(gè)扇形的半徑為2cm,面積為2πcm2,則此扇形的圓心角為

.

5.如圖,扇形的圓心角為90°,半徑OC=2,∠AOC=30°,CD⊥OB于點(diǎn)D,求陰影部分的面積.

課堂小結(jié)1.弧長公式：2.扇形面積公式：注意：或

求圖形的面積：割補(bǔ)法、組合法第一章直角三角形的邊角關(guān)系解直角三角形

1課堂講解已知兩邊解直角三角形已知一邊及一銳角解直角三角形已知一邊及一銳角三角函數(shù)值解直角三角形2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升(2)兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°(3)邊角之間的關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系A(chǔ)BabcC在直角三角形中，我們把兩個(gè)銳角、三條邊稱為直角三角形的五個(gè)元素.圖中∠A，∠B，a，b，c即為直角三角形的五個(gè)元素.銳角三角函數(shù)ABabcC什么是解直角三角形解直角三角形：

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程，叫做解直角三角形．

一個(gè)直角三角形中，若已知五個(gè)元素中的兩個(gè)元素(其中必須有一個(gè)元素是邊)，則這樣的直角三角形可解.1知識(shí)點(diǎn)已知兩邊解直角三角形在Rt△ABC中，如果已知其中兩邊的長，你能求出這個(gè)三角形的其他元素嗎？知1－講(1)三邊之間的關(guān)系；(2)兩銳角之間的關(guān)系；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA＝

＝cosB，cosA＝

＝sinB，tanA＝知1－講（來自《點(diǎn)撥》）知1－講應(yīng)用勾股定理求斜邊，應(yīng)用角的正切值求出一銳角，再利用直角三角形的兩銳角互余，求出另一銳角．一般不用正弦或余弦值求銳角，因?yàn)樾边吺且粋€(gè)中間量，如果是近似值，會(huì)影響結(jié)果的精確度．已知斜邊和直角邊：先利用勾股定理求出另一直角邊，再求一銳角的正弦和余弦值，即可求出一銳角，再利用直角三角形的兩銳角互余，求出另一銳角．已知兩直角邊：已知斜邊和直角邊：例1在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊

分別為a,b,c，且a=

b=求這個(gè)三角形的其

他元素.在Rt△ABC

中，a2+b2=c2，

在Rt△ABC

中，sinB=

∴∠B=30°.∴∠

A=60°.知1－講（來自教材）解：例2已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C

的對(duì)邊分別為a，b，c，且c＝5，b＝4，求這個(gè)三角

形的其他元素．(角度精確到1′)

求這個(gè)直角三角形的其他元素，與“解這個(gè)直角三角

形”的含義相同．求角時(shí)，可以先求∠A，也可以先

求∠B，因?yàn)?/p>

＝sinB＝cosA.知1－講導(dǎo)引：由c＝5，b＝4，得sinB＝

＝0.8，∴∠B≈53°8′.∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.由勾股定理得知1－講解：例3

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)

邊分別為a，b，c，且a＝1，b＝2.求這個(gè)三角形的

其他元素．(角度精確到1′，邊長精確到0.01)

已知兩邊，根據(jù)勾股定理可求出第三邊．求銳角，

需要由邊的比值，運(yùn)用三角函數(shù)求得．知1－講導(dǎo)引：由勾股定理得由tanA＝＝0.5，得∠A≈26°34′，∴∠B＝90°－∠A≈63°26′.知1－講解：知1－練在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝，則∠A的度數(shù)為(

)A．90°

B．60°C．45°

D．30°（來自《典中點(diǎn)》）1D2在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求∠A的值，最適宜的做法是(

)A．計(jì)算tanA的值求出B．計(jì)算sinA的值求出C．計(jì)算cosA的值求出D．先根據(jù)sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出知1－練（來自《典中點(diǎn)》）C知1－練【中考·蘭州】如圖，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，則cosA＝(

)A.

B.

C.

D.（來自《典中點(diǎn)》）3D知1－練如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分線，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，則tanB＝(

)A．

B．

C.D.（來自《典中點(diǎn)》）4B2知識(shí)點(diǎn)已知一邊及一銳角解直角三角形知2－導(dǎo)已知直角三角形的一邊和一銳角，解直角三角形時(shí)，若已知一直角邊a和一銳角A：①∠B=90

°-

∠A；②c=若已知斜邊c和一個(gè)銳角A：①∠B=90°-

∠A；②a=c·sinA;③b=c·cosA.知2－講例4在Rt△ABC，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分

別為a，b，c，且b=30,∠B=25°求這個(gè)三角形的其他

元素（邊長精確到1).在沿Rt△ABC，∠C=90°，∠B=25°

∴∠A=65°.

∵

∴

∵∴解：總

結(jié)知2－講（來自《點(diǎn)撥》）在直角三角形的6個(gè)元素中，直角是已知元素，如果再知道一條邊和第三個(gè)元素，那么這個(gè)三角形的所有元素就都可以確定下來.知2－講例5在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分

別為a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求這個(gè)三角形

的其他元素．(長度精確到0.01)

已知∠A，可根據(jù)∠B＝90°－∠A得到∠B的大?。?/p>

已知斜邊，必然要用到正弦或余弦函數(shù)．

∵∠A＝26°44′，∠C＝90°，

∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.由sinA＝得a＝c·sinA＝100·sin26°44′≈44.98.由cosA＝

得b＝c·cosA＝100·cos26°44′≈89.31.解：導(dǎo)引：在Rt△ABC中，由勾股定理得c＝＝.∵sinA＝＝＝，∴∠A≈27°.∵∠C＝90°，∴∠B＝90°－∠A≈63°.知2－練（來自教材）1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a,b,c，根據(jù)下列條件求出直角三角形的其他元素（角度精確到1°):

(1)已知a=4,b

=8;

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，

∴∠A＝30°.∵sinB＝，b＝10，∴c＝＝＝.由勾股定理得a＝＝.知2－練（來自教材）

(2)已知b

=10，∠B＝60°;

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°.∵sinA＝，c＝20，∴a＝c·sinA＝20×sin60°＝20×＝.由勾股定理得b＝＝10.知2－練（來自教材）

(3)已知c

=20，∠A＝60°;

解：知2－練(2016·沈陽)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，則BC的長是(

)A.B．4C．8D．4（來自《典中點(diǎn)》）2D知2－練3在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，

則a等于(

)A.B.C．6D.（來自《典中點(diǎn)》）B知2－練【2017·益陽】如圖，電線桿CD的高度為h，兩根拉線AC與BC相互垂直，∠CAB＝α，則拉線BC的長度為(A，D，B在同一條直線上)(

)A.B.C.D．h·cosα（來自《典中點(diǎn)》）4B知2－練【2017·濱州】如圖，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，點(diǎn)D是CB延長線上的一點(diǎn)，且BD＝BA，則tan∠DAC的值為(

)A．2＋

B．2C．3＋

D．3（來自《典中點(diǎn)》）5A知3－講3知識(shí)點(diǎn)已知一邊及一銳角的三角函數(shù)解直角三角形例6如圖，在△ABC中，AB＝1，AC＝sinB＝

求BC的長．要求的BC邊不在直角

三角形中，已知條件中

有∠B的正弦值，作BC邊上的高，

將∠B置于直角三角形中，利用解直角三角形就可

解決問題．導(dǎo)引：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.∵AB＝1，sinB＝∴AD＝AB·sinB＝1×＝∴BD＝

CD＝∴BC＝（來自《點(diǎn)撥》）知3－講解：總

結(jié)知3－講（來自《點(diǎn)撥》）通過作垂線(高)，將斜三角形分割成兩個(gè)直角三角形，然后利用解直角三角形來解決邊或角的問題，這種“化斜為直”的思想很常見．在作垂線時(shí)，要結(jié)合已知條件，充分利用已知條件，如本題若過B點(diǎn)作AC的垂線，則∠B的正弦值就無法利用．1(2016·蘭州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，

BC＝6，則AB＝(

)A．4