2020-2021學(xué)年高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年上海市崇明中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（共12小題）.

1.設(shè)集合A={1,2,3},集合B={3,4},則4UB=.

2.集合{x|0WxW3,X6Z}用列舉法可以表示為.

3.不等式卜-1|<3的解集為.

4.已知集合A={（x,y）\2x+y=5],B={（x,y）|3x+2y=8},則APB=.

5.已知方程2?+4x-3=0的兩個根為乃、X2,則!」=

X1x2-----------

6.已知集合4={-1,3,2m-1）,集合B={3,，/}.若BuA,則實數(shù)機=.

7.已知/?GR,CGR,關(guān)于x的一元二次不等式x2+/?x+c<0的解集為（1,2）,則b+c=.

8.某服裝公司生產(chǎn)的襯衫每件銷售價80元，在某城市年銷售8萬件.現(xiàn)服裝公司將每件襯

衫的銷售價降低到菖-元，但降價后每年的銷售量會增加062「萬件，則降價后，公司

1+T%

在該城市的銷售額（銷售額=銷售價X銷售量）等于（單位：萬元）.

9.已知x,y都是正實數(shù)，且孫=2,則當(dāng)x=時，x+2y取得最小值.

10.不等式區(qū)工->0的解集為M,且2CM,則實數(shù)〃的取值范圍是.

x+a

11.已知a>0,b>0且“+6=3.式子2021+2021的最小值是_____

a+2019b+2020

12.從集合。={1,2,3,4,5}的子集中選出兩個非空集合A,B,滿足以下兩個條件：

①AU8=U,AA3=0；②若xWA,則x+lwB.共有種不同的選擇.

二、選擇題（共4小題）?

13.以下對數(shù)式中，與指數(shù)式5、=6等價的是（）

A.Iog56=xB.log5X=6C.log6X=5D.log,￡=5

14.下列選項是真命題的是（）

22

A.若a<bf貝ljac<bc

B.若c<d,JJ10a-c<b-d

C.若Q>Z?>0,cVdVO,貝ij

D.若力<a<0,則L<工

ab

15.已知命題“若a,則0”是真命題，集合M={M尤滿足a},集合N={x僅滿足0}.下列

判斷正確的是（）

A.MuNB.MGNC.M=ND.M3N

16.已知不等式f+qx+bX)(a>0)的解集是{x|xWd},則下列四個命題:

①下-反?4：

②，+/24；

③若不等式/+以-bVO的解集為(X1，“2)，則工工2>0；

④若不等式f+ax+bvc的解集為(兩，必)，且比-間=4,則c=4.

其中真命題的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

三、解答題

17.(1)計算：21og510+log53-logsl2；

2_J_J_

(2)已知a>0,b>0,化簡：」也匯上「)；'一增】七'二，

15

□6,6

3ab

18.解下列不等式：

(1)-2X2+3X-y<0?

(2)織法3.

X-1

19.已知全集為R,集合A={X0<2x+?W3},B={x|-y<x<2}.

(1)當(dāng)a=l時，求AL)E；

(2)若AC8=A,求實數(shù)。的范圍.

20.(1)己知機是實數(shù)，集合M={2,3,利+6},N={0,7}.求證：“機=1”是“MAN

={7}”的充要條件.

(2)設(shè)x,yeR.用反證法證明命題"若x+y>2,則尤>1或y>l."

21.若實數(shù)x,y,相滿足則稱x比y遠離機.

(1)若x+y=l且x比y遠離1,求實數(shù)x的取值范圍；

(2)設(shè)丫工?，其中x￡(O,V2)U(V2-Ka)，求證：x比y更遠離加；

x+1

(3)若x+y=2,請判斷y與f+y哪一個更遠離處,并說明理由.

參考答案

一、填空題(共12小題).

1.設(shè)集合A={1,2,3},集合B={3,4},則AU8=[1,2,3,4}.

【分析】根據(jù)集合的并集的定義求出A、B的并集即可.

解：集合A={1,2,3},

集合8={3,4},

則AUB={1,2,3,4),

故答案為：{1，2,3,4).

2.集合{M0WxW3,—Z}用列舉法可以表示為{0,1,2,3}.

【分析】根據(jù)條件一一列舉集合中的所有元素，并用大括號表示即可.

解：由于0WxW3,xGZ,可取0,1,2,3.

則集合&|0WxW3,xeZ}用列舉法可以表示為{0,1,2,3},

故答案為：{0,1,2,3).

3.不等式lx-1|<3的解集為(-2,4).

【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值，求出不等式的解集即可.

解：V|x-1|<3,

-3<x-1<3,

-2cx<4,

故不等式的解集是(-2,4),

故答案為：(-2,4).

4.已知集合A={(x,y)|2x+y=5},B—[(x,y)|3x+2y=8},則AC8={(2,1)}.

【分析】根據(jù)交集的定義，解方程組[幼蛇”即可得出ACB.

l3x+2y=8

解:U?(2x+y=5得卜=2,

[3x+2y=8Iy=l

；.AnB={(2,1)}.

故答案為：{(2,1)}.

5.己知方程2f+4x-3=0的兩個根為樸X2,則!」=4?

X1x2-3-

【分析】由題意利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和與兩根之積，進而求得

結(jié)論.

解：由題意利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：X|+X2=-^-=-2,Xi-X2=-=-?1，

aa2

故答案為：y.

6.己知集合4={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若3UA,則實數(shù)〃?

【分析】根據(jù)題意，若BUA,必有，7=2,〃-1,而，〃2=-1不合題意，舍去，解可得答

案，注意最后進行集合元素互異性的驗證.

解：由BCA,"F2-1,

.\m2=2m-1.解得m=1.

驗證可得符合集合元素的互異性，

此時8={3,1},A=[-1,3,1},滿足題意.

故答案為：1

7.已知bwR,cWR,關(guān)于x的一元二次不等式加;+c〈0的解集為（1,2）,則力+c=-

1.

解：不等式￡+bx+cVO的解集為（1,2）,

所以對應(yīng)方程f+/?+c=O的解是1和2,

由根與系數(shù)的關(guān)系知，["2=-b,

llX2=c

解得分=-3,c=2,

所以b+c=-3+2=-1.

故答案為：-1.

8.某服裝公司生產(chǎn)的襯衫每件銷售價80元，在某城市年銷售8萬件.現(xiàn)服裝公司將每件襯

衫的銷售價降低到元，但降價后每年的銷售量會增加0.62r萬件，則降價后，公司

l-hr%

在該城市的銷售額（銷售額=銷售價X銷售量）等于_不*（8+0.62=）_（單位：萬

元）.

【分析】由己知可得銷售價與銷售量，再由銷售額=銷售價X銷售量得答案.

解：降價后每件襯衫的銷售價為?元，

降價前的銷售量為8萬件，降價后每年的銷售量為（8+0.62r）萬件，

由銷售額=銷售價X銷售量可得，降價后，公司在該城市的年銷售額等于

法(8+0.62r)萬元?

1+r%

故答案為：■—-(8+0.62r).

1+r%

9.已知x,y都是正實數(shù)，且孫=2,則當(dāng)尸2時,x+2y取得最小值.

【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可直接求解.

解：因為x,y都是正實數(shù)，且孫=2,

所以x+2y>2y2xy=4

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y且肛=2即x=2時取等號.

故答案為：2

10.不等式空工->0的解集為且2cM則實數(shù)a的取值范圍是(-8,-2]2[4,+

x+a

8).

解：由題意可知，夫?《()或2+a=O,

解得，a24或aW-2.

故答案為：[4,+8)u(-8.-2]

11.已知”>0,b>0且a+b=3.式子2。21+2021的最小值是2.

a+2019b+2020----

【分析】令a+2019=x,6+2020=y,則x>2019,y>2020且x+y=4042,然后利用乘1

法，結(jié)合基本不等式可求.

解：令a+2019=x,Z?+2020=y,則x>2019,y>2020且x+y=4042,

—--(x+y)=1，

4042y

.202120211、ccc,，l1、1

-V^=2021(]丁)=2021(]?)?覘6切)，

=(二工/*=2,

2xy2Vxy

當(dāng)且僅當(dāng)工J且x+y=4042,即》=>=2021,a=2,6=1時成立.

xy

故答案為：2.

12.從集合U={1,2,3,4,5}的子集中選出兩個非空集合A,B,滿足以下兩個條件：

①AUB=U,ACB=0；②若x€A,則x+l€B.共有7種不同的選擇.

【分析】根據(jù)題意可知，集合A要么含一個元素，要么含兩個元素，只有這兩種情況，

然后分別寫出A含一個元素和兩個元素時的集合A,B,從而得出共有幾種不同的選擇.

解：（1）A中只有一個元素：A={1},B={2,3,4,5}；A={2},8={1,3,4,5）；

A={3},B={1,2,4,5}；A={4},8={1,2,3,5）；

（2）4中有兩個元素：A={1,3},B={2,4,5}；A={1,4},B={2,3,5}；A={2,

4},B={1,3,5）；

綜上，共7種不同的選擇.

故答案為：7.

二、選擇題

13.以下對數(shù)式中，與指數(shù)式5'=6等價的是（）

A.Iogs6=%B.logs%=6C.Iog6%=5D.logA6=5

解：把指數(shù)式5“=6化為對數(shù)式得：log56=x,

所以與指數(shù)式5r=6等價的對數(shù)式為：10g56=X.

故選：A.

14.下列選項是真命題的是（）

A.若a<b,則ac^<bc2

B.若aVb,c<d9貝a-cVZ?-d

C.若Q>Z?>0,c<d<Ot貝ij

D.若b〈a〈0,則

ab

【分析】通過舉反例可以說明4不正確.舉反例可以說明8的推理是錯誤的，舉反例可

以說明。中的推理不正確；對于。，通過作差推導(dǎo)其成立即可.

解：由aV/b不能推出ac2V加L因為c=0時，取等號，故A不正確.

由4個數(shù)構(gòu)成的不等式，較大的兩個數(shù)的差不一定大于較小的兩個數(shù)的差，如3>2,2

>0,但3-2>2-0并不成立，故8不正確.

取2>1>0,-2V-1V0,得至卜4V-1,即訛>切不成立，故。不正確.

由b<a<0,則1-工="<0,即上〈工?成立，故。正確.

ababab

故選：D.

15.已知命題“若a,則|T是真命題，集合"="|x滿足a},集合N={x|x滿足0}.下列

判斷正確的是（）

A.MuNB.MCNC.M=ND.M3N

【分析】命題“若a,則|T是真命題，即滿足a,一定滿足由故MGN.

解:命題“若a,則0”是真命題，

即滿足a,一定滿足0,

故MUN.

故選：B.

16.已知不等式f+ax+b>0（a>0）的解集是“以金4},則下列四個命題：

①“2--W4：

②?+告“

③若不等式『+ax-Z?<0的解集為（xi，及），則內(nèi)必>0；

④若不等式，+以+匕<。的解集為（X,,忿），且由-對=4,則c=4.

其中真命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用二次不等式的解集求出a,b關(guān)系，化簡d-/推出小于等于4判斷①：

利用基本不等式判斷②；利用韋達定理判斷③；不等式的解集判斷④.

解：由題意，A=/-48=0,b——.

4

①d-y=4匕-/=-（，-2）2+4W4,等號當(dāng)且僅當(dāng)a=2&,b=2時成立，，①正確；

@a2-t^-=a2+-y>2^a2-y=4,等號當(dāng)且僅當(dāng)a?鳥，即a=正時成立，，②正

確；

2

③由韋達定理，知x,xc=-b=-^—<0，③錯誤；

124

2

④由韋達定理，知右+乂2=一&，x1x=b-c=-^7--c,

141a24

2-=2=

則IX[-乂2I=TJ（Xj+x2）4XJx2y^~4-c）=2Vc4,解得c=4,..④正確:

綜上，真命題的個數(shù)是3,

故選：C.

三、解答題

17.（1）計算：21ogslO+logs3-logsl2；

2__1_±

(2)已知a>0,b>0,化簡：-(229.；"二與亡蟲-.

10

n6,6

3ab

解：(1)原式=log5100+log53-log512=log5(")；；」)=k)g525=2,

2J“1L

1O32,231O6,6

(2)原式=__a,2----12ab=_

15=1D

n6,66,6

3ab3oab

18.解下列不等式：

(1)-2X2+3X-y

(2)

x-l

【分析】(1)由已知結(jié)合二次不等式的求解方法即可求解，

(2)利用移項，通分，轉(zhuǎn)化不等式求解即可.

解：(1)由-2X2+3X-y<0可得4x-6x+\》0,

解可得，X》如區(qū)或x《老正，

44_

原不等式的解集為(-8,蘭普］IJ［史普，Q)；

(2)由囪咚W3可得三一340，

X-lX-1

整理可得，W40，

X-l

解得，-3<KV1,

原不等式的解集［-3,1).

19.已知全集為R,集合A={x|0<2x+?W3},B={x|-y<x<2］.

(1)當(dāng)。=1時，求AUB；

(2)若4G8=A,求實數(shù)。的范圍.

【分析】(1)。=1時，可得出集合A,然后進行并集的運算即可;

(2)可得出A=,根據(jù)AG8=A可得出AG8,從而得出<

解出。的范圍即可.

解：(1)a=1時,A={x|x<1},且8={x|x《-，?或x>2},

?*-AUB=(XIx<1或x>2}；

⑵A={x|-,B=(x|-y<x<2},

'：AHB=A,

：.AQB,

-^-<2

2

的取值范圍為(-1,1].

20.(1)已知〃，是實數(shù)，集合M={2,3,朋+6},N={0,7}.求證：“〃?=1”是“MCN

=⑺”的充要條件.

(2)設(shè)x,y￡R.用反證法證明命題"若x+y>2,則x>l或y>l."

【分析】Q)先根據(jù)，"=1證明充分性，再根據(jù)MCIN={7}證明必要性即可；

(2)假設(shè)xWl且y<l,到與x+y>2矛盾的結(jié)論x+yW2,即可證明原命題成立.

【解答】證明：(1)充分性：當(dāng)山=1時，M={2,3,7),

；N={0,7},；.MnN={7}.

必要性：當(dāng)MAN={7}時，由7eM,得，*+6=7,因此山=1.

綜上，是"MCN={7}”的充要條件.

(2)假設(shè)xWl且yWl,則x+yW2,

這與已知條件x+y>2矛盾，

二假設(shè)不成立，原命題成立，

/.若x+y>2,則x>1或y>1.

21.若實數(shù)x,y,m滿足|x-m|>|y-刑,則稱x比y遠離，

(1)若x+y=l且x比)，遠離1,求實數(shù)x的取值范圍；

(2)設(shè)了="詈，其中x€(o,V2)U(V2?K°)，求證：X比y更遠離加；

(3)