2020-2021學年河南省天一大聯(lián)考高二（上）期末（文科）數(shù)學試卷 （解析版）

2020-2021學年河南省天一大聯(lián)考高二（±）期末數(shù)學試卷（文

科）

一、選擇題（共12小題）.

1.命題“若x=2,則/=4”的逆否命題是（)

A.若xW2,則》2片4B.若x=2,則NH4

C.若/#4,則xW2D.若NW4,則x=2

2.不等式0—<-1的解集為（）

X2+2

A.（-3,2）B.（-3,-2）C.(-3,4)D.(-2,4)

3.已知直線x+2y=4過雙曲線C：與-《=1（。>0,b>0）的一個焦點及虛軸的一個端

abz

點，則此雙曲線的標準方程是（）

A.Z.Z22

=1B.2—匚=1

1612164

c.Z_Z=1D.式上Li

1241258,

4.4知｛?。秊榈炔顢?shù)列,公差d=2,。2+。4+。6=18,則。5+。7=()

A.8B.12C.16D.20

5.已知直線/和兩個不同的平面a,0,若a_L0,則''/〃a”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.在△A8C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,A=60°,c=4,a=2有，則四攻

sinB

=（）

A.告B.近C.V7D.3

33

7.已知點P為函數(shù)y=N伍r+4始的圖象上的一點，且點P的橫坐標為1,則該函數(shù)圖象在

點尸處的切線方程為（）

A.8x-y-4=0B.13x-y-9=0C.8x-y-3=0D.13x-y-8=0

8.當x>l時，/（x）=->的最大值為（）

x”+4

A.—B.—C.1D.2

42

9.函數(shù)/（x）=R-12x在區(qū)間［-3,1］上的最小值是（）

A.-10B.-11C.-15D.-18

10.已知拋物線V=2px（p>0）上一橫坐標為5的點到焦點的距離為6,且該拋物線的準

22_

線與雙曲線C：號-%=1（。>°，方>°）的兩條漸近線所圍成的三角形面積為2&,

則雙曲線C的離心率為（）

A.3B.4C.6D.9

11.已知等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S〃,公比4>0,0=1,〃3=〃2+2.若數(shù)列｛d｝的前n

)

項和為A,an+l=b?Sn+iSn,則租=(

B1023r1022D.1

'1024,10231023

12.已知函數(shù)。有且僅有兩個不同的零點,則實數(shù)。的取值范圍是（）

4

A.[--g-,0)B.(-1,0]

e

42

c-]D.(-1,0)

ee

二、填空題（共4小題）?

13.若命題p：uR,M）2+6〃〈8R（）”為假命題,則實數(shù)〃的取值范圍是.

x-y-11CO

14.已知X,y滿足約束條件｛x-2y+2>0,則z=x-3），的最大值是.

15.函數(shù)-轉-96x+8的極小值是.

16.已知雙曲線Cb>0）的左、右焦點分別為Ft（-c,0）,Fl（C,

0）,其漸近線方程為丫=±2%,焦距為2氏.點P在雙曲線C上，且在第一象限內,

若△PQF2的面積為4^10，則點P的坐標為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

A

17.已知集合A="|---->1},B=[x\x2+(1-2。)x+d1-6f<0}.

1-x

（I）求集合A,

（II）若求實數(shù)。的取值范圍.

18.已知。，b,c分別是△ABC的內角A,B,。所對的邊，且滿足

a(sinA-—sinB)=(sinC+sinB)(c-bzc=4.

(I)求△ABC的外接圓的半徑；

(II)求AABC的面積的最大值.

19.已知數(shù)列｛如｝的前〃項和S〃滿足Sn=2a,i-1,數(shù)列｛d｝滿足兒=log24〃+1og2〃〃+l.

(I)求｛〃"｝,｛兒｝的通項公式；

(II)若數(shù)列｛5｝滿足Cn=z及，求｛Cn｝的前〃項和

20.已知函數(shù)/(x)=exa-Inx(?GR).

(I)若/(x)的圖象在點(1,/(I))處的切線與無軸負半軸有公共點，求〃的取值

范圍；

(II)當a=\時，求/(元)的最值.

21.已知焦點在x軸上的橢圓的長軸長是短軸長的2倍，橢圓上的動點P到左焦點距離的

最大值為2+\左.

(I)求橢圓的方程；

(II)過點(1,0)的直線/與橢圓C有兩個交點A,B,△048(。為坐標原點)的面

積為金求直線/的方程.

5

22.已知函數(shù)，(x)=a2lnx+cb且/(e)22,f(^2)W3.

(I)求。的值；

(II)若0</W2,求證：當x>l時，f(x)>%(1-旦).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.命題“若x=2,則N=4”的逆否命題是()

A.若x#2,則/W4B.若x=2,則N#4

C.若N#4,則D.若N關4,則x=2

解：根據(jù)命題“若P，則q”的逆否命題是“若「q,則「p”，

所以命題“若x=2,則/=4”的逆否命題是：“若/W4,則x#2”.

故選：C.

2.不等式3-<-1的解集為()

X2+2

A.(-3,2)B.(-3,-2)C.(-3,4)D.(-2,4)

x6

解：由屋一<-1化簡可得：--t---<0,

x"+2X2+2

即解x2+x-6<0,

解得：-3<x<2,

故解集為：(-3,2).

故選：A.

3.已知直線x+2y=4過雙曲線C：b>0)的一個焦點及虛軸的一個端

點，則此雙曲線的標準方程是()

22

cxy1D.

124258

解：設雙曲線的半焦距為c,?.,直線x+2y=4過點(4,0)和(0,2),

22=

；.c=4,b=2,：.3=A/4-22V3,

22

雙曲線C的標準方程是1_匚=1.

124

故選：C.

4.已知｛〃〃｝為等差數(shù)列，公差。=2,〃2+〃4+。6=18,則。5+。7=（）

A.8B.12C.16D.20

解：根據(jù)題意知，2〃4=以2+。6,。5+〃7=2。4+4",

:〃2+44+。6=18,

3〃4=18,

??C14~~6.

/.。5+。7=2。4+41=2X6+4X2=20.

故選：D.

5.已知直線/和兩個不同的平面a,p,若aJ_0,則“/〃a”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解：已知直線/和兩個不同的平面a,仇a±p,

若/〃a,則/與8平行，相交或在平面0內都有可能；

若LL0,則/ua或/〃a,

故“/〃a”推不出推不出“/〃a”，

故“/〃a”是的既不充分也不必要條件.

故選：D.

6.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,A=60°,c=4,a=2j，，則怨吟

sinB

=（）

A.—B.且C.JlD.3

33

解：由余弦定理，得〃2=b2+c2-2〃OCOSA,

即28=6+16-46,也即岳-4b-12=0,

解得b=6或6=-2（舍去），

所以駟心互NI

sinBb63

故選：B.

7.已知點尸為函數(shù)），=,歷計43的圖象上的一點，且點尸的橫坐標為1,則該函數(shù)圖象在

點P處的切線方程為()

A.8x-y-4=0B.13x-y-9=0C.8x-y-3=0D.13x-y-8=0

解：由y=x2//tr+4x3,得y'=2x*lnx+x+12x2,

k=i=13,

又冗=1時，y=4,

，該函數(shù)圖象在點尸處的切線方程為y-4=13(x-1),即13x-y-9=0.

故選：B.

8.當x>l時，/(x)=一自一的最大值為()

/+4

A.--B.--C.D.2

42

解：因為%>1,

當且僅當X4，即x=2時取等號，

X

X1

故/(x)=-2―的最大值為；.

X2+44

故選：A.

9.函數(shù)/(x)=R-12x在區(qū)間［-3,1］上的最小值是()

A.-10B.-11C.-15D.-18

解：f(x)=-12+3N=3(x+2)(x-2),

當-3Wx<-2時，f'(x)>0,f(x)遞增；當-2VxWl時，f(x)<0,f(x)遞

減,

所以當x=-2時f(x)取得極大值，即最大值，為了(-2)=22,

又-3)=15,/(1)=-5,

所以f(x)的最小值為/(1)=-11.

故選：B.

10.已知拋物線f=2px(p>0)上一橫坐標為5的點到焦點的距離為6,且該拋物線的準

22_

線與雙曲線C：號-%=1(〃>°，匕>°)的兩條漸近線所圍成的三角形面積為2員，

則雙曲線C的離心率為()

A.3B.4C.6D.9

解：由題意，5+步6,即P=2,則拋物線V=2px（p>0）的直線方程為x=-l,

22

雙曲線C：豈5-上］=1（。>0,6>0）的兩條漸近線方程為y=±—x，取x=-l,

az/a

可得A（-1,衛(wèi)），B（-1,—）,如圖,

a

11.已知等比數(shù)列｛〃〃｝的前n項和為Sn,公比q>0,ai=l,。3=。2+2.若數(shù)列｛5｝的前n

項和為Tn,Cln+1=bnSn+1Sn,則7^=（）

A?察B1023r1022D.1

'1024'10231023

解：根據(jù)題意，設等比數(shù)列｛〃“｝的公比為q,（q>0）

若m=l,〃3=〃2+2.貝lj爐=q+2,解可得4=2或-1,

又由q>0,則4=2,

則S,,=ai（1-q）=2"-1,

1-q

又由斯+尸6,￡+5“則包=小0=2會?=/1

bn+lbnbn+l'bnnSn+l

貝!1n=（；-；）+（/--；）+...+）=91

>1>2>3>9b10blS10

又由Sn=2n-i,

11022

則79=—；-

2-1210-1-1023,

故選：C.

12.已知函數(shù)=xe，-6-。有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

4、

A.[--0)B.(-1,0]

e

42

c-]D.(-I,0)

ee

解：函數(shù)/（x）=工小-eJa有且僅有兩個不同的零點,

則4=（X-1）?r有且僅有兩個不同的零點,

則>=。和且=（x-1）資的圖象有且只有2個不同的交點，

gr（x）=xeS令g'（x）>0,解得：x>0,令g'（x）<0,解得：x<0,

故g（K）在（-8,0）遞減，在（0,+°°）遞增，故g（x）min=g（0）=-1,

而X-—8時，g（X）-0,1f+8時，g（X）f+8,如圖示：

結合圖象，-1V〃VO,

故選：D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若命題p："meR,x（）2+6aW8xo”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是_+8）

解：根據(jù)命題與它的否定命題一真一假，

因為命題p：u3xoGR,x（）2+6aW8xo"為假命題，

所以它的否定命題是「p："Vx€R,爐+6〃>8/’為真命題；

即“VxeR,N-8x+6a>0”為真命題，

所以△=64-24a<0,解得“>&?；

3

則實數(shù)a的取值范圍是喙+8).

故答案為：(與+8).

x-y-140

14.已知x,y滿足約束條件［x-2y+2>0,則Z=x-3y的最大值是3

x》0

解：由約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分所示，

由x-y-1=0,取x=0,解得A(0,-1),

化目標函數(shù)z—x-3y為y-—

33

由圖可知，當直線過點4(0,-1)時，直線在y軸上的截距最小，

Z取得最大值，代入得0-3X(-1)=3,故z=x-3y的最大值為3.

故答案為：3.

15.函數(shù)y=/3-2x2-96x+8的極小值是-856.

解：*/y=—x3-2x2-96x+8,

3

：.y'=x2-4x-96,

令y'>0,解得：x>12或x<-8,

令y'<0,解得：-8<xV12,

故函數(shù)在(-8,-8)遞增，在(-8,12)遞減，在(12,+8)遞增，

故函數(shù)丁=字3-2x2-96A+8的極小值是y\x=\2=-856,

故答案為：-856.

16.己知雙曲線C：4-5=l(a>0,6>0)的左、右焦點分別為Q(-c,0),F23

azbz

0),其漸近線方程為丫=±版，焦距為2百5.點尸在雙曲線C上，且在第一象限內,

若△PAR的面積為4百5,則點P的坐標為_(遍，4).

解：如圖，

22

方=2衣，則雙曲線方程為1_J=i.

28

由已知可得，恒1尸21=2內，設〃)(沉>0,〃>0),

則*X2，I3Xn=WI5,得〃=4，

2

「?:一=解得/(相>0).

28

的坐標為(逐，4).

故答案為：(返，4).

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.已知集合人={川——>1},B={x\x2+(1-2a)x+a2-a<0}.

1-x

(I)求集合A,B；

(ID若408=8,求實數(shù)。的取值范圍.

解：(I)A={x0)={x|B={M(x-a)(x-a+\)V0}={M。-1

x-1

<x<a}；

(II)*：AQB=Bf：.BQAf

解得-2WaWl,

la<l

???實數(shù)a的取值范圍是[-2,1].

18.已知a,b,c分別是△ABC的內角A,B,C所對的邊，且滿足

a(sinA—^sinB)=(sinC+sinB)(c-bzc=4.

(I)求aABC的外接圓的半徑;

(II)求△ABC的面積的最大值.

解：(I)由題意及正弦定理得到a(a-/b)=(c+b)(c-b)，

即2622ab

即a+b-c=-^-，

由余弦定理可得cosC=《，

4

所以sinC=W^.

設△A8C的外接圓的半徑為R.

4

因為三-21?，即在""R,

sinC—■-

4

解得RJ席.

15

(II)因為理=。2+爐-2H?COSC,且C=4,

所以16=a?+b2-普〉2ab-普即ab《夸’

所以江甌fbsinCqX竽XV15=4/15>

當且僅當〃時取等號.

故△ABC的面積的最大值為亞運.

3

19.已知數(shù)列｛斯｝的前n項和Sn滿足Sn=2a,i-1,數(shù)列｛d｝滿足bn-Iog2an+log2fln+1.

(I)求｛“"｝,｛兒｝的通項公式；

(II)若數(shù)列｛/｝滿足Cn=anb“,求｛.｝的前n項和T,,.

解：(I)由題意，當”=1時，ai=Si=2ai-1,解得0=1,

當〃》2時，由S“=2a“-1,可得

Sn-t=2an-l-1,

兩式相減，可得

(1"=2即-2。"-1,

化簡整理，得知=2%一

.??數(shù)列｛〃“｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，

'.an=1*2"''=2"'〃6N*,

rtrt

.".^/I=log2an+log2an+i=log22'+log22=n-l+n=2n-1,〃eN*,

(II)由(I),可得

Cn=anbn=(2?-1)*2"'

A7],=C1+C2+C3+―+Cn=1X1+3X2'+5X22+-+(2w-1)X2nl,

24=IX21+3X22+…+(2n-3)X2nl+(2n-1)X2",

兩式相減，可得

-7；,=l+2X21+2X22+—+2X2nl-(2n-1)X2n

=1+2X(2'+22+-+2,rl)-(2/?-l)X2"

o_on

=1+2義N乙-(2n-1)X2?

1-2

=-(2n-3)X2"-3,

：.Tn=(2n-3)X2"+3.

20.已知函數(shù)/(x)=-Inx(aeR).

(I)若/(X)的圖象在點(1,/(1))處的切線與X軸負半軸有公共點，求。的取值

范圍：

(II)當4=1時，求/(X)的最值.

解：(I)/(x)=eK'a-lux,則f(x)=^"°-—,

x

故/(1)=el'a,f(1)=el'a-1,

故切線方程是：y-e,a=(ela-1)(x-1),即y=(ela-1)x+1,

切線過定點(0,I),若/(x)的圖象在點(1,/(I))處的切線與x軸負半軸有公共

點，

則解得：a<1；

(II)a—1時，f(x)1-Inx,函數(shù)的定義域是(0,+8),

f(x)=ex1-—,f"(x)=evl+-V>0,故/(x)在(0,+°°)遞增，

xx

而，(i)=0,故xe(0,1)時，#(X)<o,xe(1,+8)時，f(尤)>0,

故/a)在(0,1)遞減，在(1,+8)遞增，

故/(x)min=f(1)=1.

21.已知焦點在X軸上的橢圓的長軸長是短軸長的2倍，橢圓上的動點P到左焦點距離的

最大值為2+\石.

(I)求橢圓的方程；

(II)過點(1,0)的直線/與橢圓C有兩個交點A,B,△OAB(。為坐標原點)的面

積為占求直線/的方程.

5

22

解：（/）設橢圓的方程為半焦距為c,

azbz

’2a=2?(2b)f=2

a2「

由已知得<a+c=2+聰，解得<b=l，.?.橢圓的方程為午+y2

2-2.2dG

a-bK+ccvo

（II）由題可知直線/的斜率不為0,可設直線/的方程為X=，"），+1,A（XI,yi）,8（X2,

”），

—--+V=1c、cZmo

+=yy=

<4V，=(m2+4)V+2加y-3=0,Ay22-，l2"~2~

.m+4m+4

x=my+l

△OAB的面積S=yX|yj-y2|,/.|Yj-y2I

22

|y1-y2|=(y1+y2)-4y1y2=(—|y-)