62偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)課件

一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法二、高階偏導(dǎo)數(shù)三、小結(jié)第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法二、高階偏導(dǎo)數(shù)三、小結(jié)1一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法

1、偏增量的概念設(shè)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)從取得改變量而保持不變時(shí)，函數(shù)得到一個(gè)改變量稱為在點(diǎn)關(guān)于的偏增量.稱為在點(diǎn)關(guān)于的偏增量.一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法

1、偏增量的概念設(shè)262偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)課件32、二元函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)記為

2、二元函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)記為4注意:注意:5記為

記為63、偏導(dǎo)函數(shù)3、偏導(dǎo)函數(shù)7偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到三元以上函數(shù)如在處對(duì)

x的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到三元以上函數(shù)如84、偏導(dǎo)數(shù)求法(1)求關(guān)于

x

的偏導(dǎo)數(shù)，把

z=f(x,y)中的

y

看成常數(shù)，對(duì)

x

仍用一元函數(shù)求導(dǎo)法求偏導(dǎo).(2)求關(guān)于

y

的偏導(dǎo)數(shù)，把

z=f(x,y)中的

x

看成常數(shù)，對(duì)

y

仍用一元函數(shù)求導(dǎo)法求偏導(dǎo).4、偏導(dǎo)數(shù)求法(1)求關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，把9例2設(shè)，求證.例2設(shè)10證原結(jié)論成立．例2設(shè)，求證.證原結(jié)論成立．例2設(shè)11解[法一]先求偏導(dǎo)數(shù)再代入具體點(diǎn).[法二]先固定

y=2或

x=1，再對(duì)

x

或

y

求偏導(dǎo)數(shù).解[法一]先求偏導(dǎo)數(shù)再代入具體點(diǎn).[法二]先固定y=212解法2:解法2:13求的兩種常用方法：[法一]先求偏導(dǎo)數(shù)再代入具體點(diǎn).[法二]先將但[法二]并不總是適用，如求求的兩種常用方法：[14例4設(shè)，求例4設(shè)155、有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：例5已知理想氣體的狀態(tài)方程（為常數(shù)），求證：.5、有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：例5已知理想氣體的狀態(tài)方程16證證17(2)求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；解(2)求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；解18(3)

偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，連續(xù).(3)偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏19？多元函數(shù)中在某點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在，連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在.？多元函數(shù)中在某點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在，連20

可見，二元函數(shù)在一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在和連續(xù)沒有必然的聯(lián)系.可見，二元函數(shù)在一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在和連續(xù)沒有必216、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率.偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率.6、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)22二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)

M0處的切線對(duì)x軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線斜率.是曲線對(duì)y軸的二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切線對(duì)x23例6求曲線在點(diǎn)處的切線與y軸正向夾角.解例6求曲線24二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域

D

內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D內(nèi)存在25按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)26例如，z=f(x,y)關(guān)于

x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)先關(guān)于

x

的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于

y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為:類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z27解解28解解2962偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)課件30說明

因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)，而初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的，故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.定理可以推廣，例如：對(duì)三元函數(shù)

u=f(x,y,z),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)

(x,y,z)連續(xù)時(shí),有說明因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)，而初等函數(shù)在其定3162偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)課件32若在f(x,y)的表達(dá)式中將x換為y，同時(shí)把y換為x時(shí)，表達(dá)式不變，則稱f(x,y)對(duì)x,y具有輪換對(duì)稱性.對(duì)有輪換對(duì)稱性的函數(shù)，若已經(jīng)求得，則只要在的表達(dá)式中將換為，同時(shí)把換為即可得到.若在f(x,y)的表達(dá)式中將x換為y，3362偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)課件34解解35例設(shè)，求函數(shù)的輪換對(duì)稱性可推廣到三元以上的函數(shù).例設(shè)36偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義高階偏導(dǎo)數(shù)（偏增量比的極限）純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)（相等的條件）三、小結(jié)偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義